专题02 一元二次方程（考题猜想，必刷压轴50题9种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题02 一元二次方程（必刷压轴50题9种题型专项训练） · 试卷第2页，共72页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 · 根的判别式的应用 · 一元二次方程根与系数关系 · 配方法的应用 · 与图形有关的一元二次方程 · 与动点有关的一元二次方程 · 一元二次方程的营销问题 · 百分数为未知数的一元二次方程 一、解一元二次方程（共5小题） 1．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：． 2．已知实数x满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、完全平方公式、解分式方程等知识点，利用完全平方公式对方程进行变形是解题的关键． 根据完全平方公式可得，然后代入原方程可得，设，然后解关于y的方程，最后根据y的值再分别运用根的判别式以及解分式方程检验即可解答． 【详解】解：由完全平方公式可得：完全平方公式可得， ∴原方程可化为． 设，则方程变形为，解得． 当，则，即， 因为， ∴该方程无实数根， 当，则， 即，解得． 经检验，是原方程的根， ∴原方程的根是． ． 3．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 5．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 二、一元二次方程的解（共5小题） 6．已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解． 【详解】解：①∵是完全平方式， ∴， ∴，故结论正确； ②∵，而， ∴， ∴的最小值是2，故结论正确； ③∵ 把代入，得： ， 即， 此时， ∴，即， ∴， ∴故结论错误； ④∵， ∴， ∴，故结论错误； 故选B． 7．若方程的根也是方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（其中k为常数）的相应的系数间的关系． 设m是方程的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设m是方程的一个根， 则，所以． 由题意，m也是方程的根， 所以， 把代入此式，得， 整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（（其中k为常数）， 所以，，， 所以 ，，， 因此，． 故答案为： 8．已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 【详解】∵是方程的一个根． ∴，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ∴． 故答案为：-2021． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 9．已知是一元二次方程的解，求的值． 【答案】17 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值问题，根据已知代数式化简所求代数式是解题的关键．根据题意可知，从而得到，，然后代入化简得到，由，故方程两边同时除以得到，代入即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的解 ， 方程两边同时除以得到，即 的值为17． 10．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为； （3）∵，分别满足，，且， ∴， ∴和可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 三、根的判别式的应用（共5小题） 11．一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． (1)当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 (2)下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． (3)当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 【答案】(1)B (2)①②③⑤ (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，涉及因式分解法解一元二次方程，根的判别式判断根的情况，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到，则或，解方程即可； （2）分别判断每个方程化为两个一元二次方程后的根的判别式值即可； （3）先得到，然后利用根的判别式进行讨论． 【详解】（1）解： ∴或 解得：， 故选：B． （2）解：①中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴①符合题意； ②中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴②符合题意； ③， 或， 分别解得， ∴③符合题意； ④，则或，分别解得， ∴④不符合题意； ⑤中，则， ∴有两个相等的实数根， ∴⑤符合题意， 故答案为：①②③⑤； （3）解：由题意得， ①当，即时，没有实数根； ②当，即时，有四个实数根， 则或， 分别解得， 当且时，该方程有四个实数根互不相等（即互不相等）； 当时，该方程的四个实数根有且只有两个根相等（即互不相等，） 当时，该方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等（即） 12．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 13．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 14．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”． (1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”； (2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)不是“快乐数”；最大的“快乐数”为 (2) 【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可； （2）根据“快乐数”可得出，根据一元二次方程根的情况可得，再结合及、、，、、为自然数可得出、、的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴不是“快乐数”， ∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为， 又∵， ∴最大的“快乐数”为． （2）∵为“快乐数”， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得：，，， ∴， 综上所述，满足条件的所有的值为． ∴满足条件的所有的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，不等式组应用．解题的关键是理解“快乐数”的定义． 15．若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． (1)判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； (2)代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 【答案】(1)不存在；理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，理解新定义“优值”，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，求代数式的值是解决问题的关键． （1）假设存在优值为，根据“优值”的定义可得，再由一元二次方程的根的判别式可知关于的一元二次方程没有实数根，从而即可得出结论； （2）设“优值”为，根据“优值”的定义可得，解该方程可得或，然后根据这两个“优值”的差为5即可得出的值． 【详解】（1）解：不存在“优值” 理由如下：假设存在优值为，则有， 整理得：， 关于的一元二次方程根的判别式为： ， 这个关于的一元二次方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”； （2）解：设“优值”为，则有， 整理得， ， 或， 由，解得， 由，解得， 两个“优值”差为， 或， 或． 四、一元二次方程根与系数关系（共5小题） 16．定义：我们把关于x的一元二次方程M：与N：（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的根等知识点，根据两方程的系数找出两方程的根的关系是解题的关键． 由根的判别式可知方程M、N的根的判别式相同，从而判定A；将代入方程M中，即可得出，等式两边同时除以36即可得出，从而判定B选项；根据方程M、N有相同的根，可得出，再结合，，即可得出，求出x的值即可得出C选项；根据题意，选择两方程的一个根，代入条件即可判断D选项． 【详解】解：A．方程M：的根的判别式，方程N：的根的判别式， ∴方程M有实数根，则方程N也有实数根，故该选项正确，不符合题意； B．若6是方程M的一个根，则有：，等式两边同时除以36即可得出，即也是方程N的一个根，故该选项正确，不符合题意； C．若方程M和N有一个相同的根， ∴， ∴， ∴， ∴或，故该选项符合题意； D．假设， 方程M的根为：， 若，则， 方程N的根为：， 若，则，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 17．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； (2)k的值为或． 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系． （1）求出其根的判别式的值即可判断； （2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再整体代入得到，解出k的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； （2）解：∵为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴k的值为或． 18．定义：①如果关于x的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．②如果关于x的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是________（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值． 【答案】(1)“倍根方程” (2) 【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据方程的解，判断是否是倍根方程； （2）设方程的两个根是，根据定义可知，再根据根与系数的关系求出答案； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：“倍根方程”： （2）解：设是“倍根方程”的两个根，且． ， ， 解得：， ， ． 19．阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系；熟记一元二次方程的两个根分别为，，则，是解本题的关键； （1）由根与系数的关系：，可得答案； （2）由根与系数的关系：，，再建立方程即可得答案； （3）由根与系数的关系：，，结合：可得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根分别为，， 则，； （2）解：设一元二次方程的两个根分别为，，若，， ∴，， ∴，； （3）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， ∴ ； 20．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 五、配方法的应用（共6小题） 21．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 22．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合，代入后配方得，即可得到答案． 【详解】（1）解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为3． 故答案为：3． （2）解： （3）解：四边形面积为： 四边形面积的最大值为． 23．已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2) (3)时，有最小值，为 【分析】（1）设，则，根据勾股定理得计算即可． （2）分和不垂直，两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，配方，利用非负性质计算即可． 【详解】（1）解：设，则． ， ， 故， 解得， 故． （2）解：时，点与点重合，由（1）知，此时． 当与不垂直，且点在点右侧时，如图2，过点作于点，由（1）可得，， ． ， ． 为绕点顺时针旋转得到， 且， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 点在点右侧， 此时， 即，， ． 当点在点的左侧时，同理可得． ； （3）解：由（2）得， ， 当，即时，有最小值，为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，配方法求最小值问题，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 24．已知： 如图，在菱形中，，点E， F分别是上的动点(不与菱形的顶点重合)，． (1)求证∶是等边三角形； (2)探究四边形与菱形的面积关系，并说明理由： (3)若菱形的边长为，则面积的最大值是 (直接写出答案)． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积等于菱形的面积的一半，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形是菱形，，可得，，可得出和是等边三角形，从而得出，，再证明 ，可得，，再用等边三角形的判定证明即可； （2）由菱形的性质可得，再由，可得，从而得出，可得结论； （3）过点作，交的延长线于，设，可得， 再由，可得，再由，可得，，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，， ，， 和是等边三角形， ，， 又， ， ，， ， 是等边三角形， （2）四边形的面积等于菱形的面积的一半，理由如下： 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 即四边形的面积等于菱形的面积的一半； （3）如图，过点作，交的延长线于， 设， ， ， ， ， ，， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，配方法的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 26．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【答案】(1)， (2) (3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元 【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值； （）把代入化成的 形式，即可求出最小值； （）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案； 本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式． 【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，     ∴的最小值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 六、与图形有关的一元二次方程（共6小题） 27．在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： (1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】： (2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 【答案】(1)前行的点数和是； (2)能；理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据题目的探究过程列出一元二次方程是解题的关键． （1）理解题意，并按照探究的方法得到，再列出方程，即可求解； （2）设，，依据（1）中的方法可求得：，进而得到，再列出方程并判断是否有符合题意的解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 ①， 由①式倒序： ②， ①②：， 所以，即前行点数为个． 当时，解得或（舍）， 即前行的点数和是； （2）这个点阵的点数和能是，理由如下： 设，， 则， 依据（1）中的方法同理可求得：， 所以， 当时，解得或（不合题意，舍去）， 所以当时，这个点阵的点数和能是． 28．解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 【答案】初步应用：储物盒的容积为  储物收纳：这个玩具不能完全放入该储物盒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． 初步应用：设裁去小正方形边长为，根据底面积，列出方程求解即可； 储物收纳：设裁去小长方形长为，宽为，推出，根据底面积得出，将n的代数式代入，求出m的值，再得出制作储物盒长为cm，高为，宽为，即可解答． 【详解】初步应用： 解：设裁去的正方形的边长为， ， 解得：（舍去），， ∴这个储物盒的容积为． 储物收纳： 解：设减去的长方形的长为，宽为， 则， 解得， ∵， ∴， 解得：（舍去），， 即高为， ∴储物盒的底面的两边长为cm，， ∵，，， ∴这个玩具不能完全放入该储物盒． 29．某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 【答案】预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米，根据冰场的面积是原空地面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入中即可求出预留的左、中、右通道的宽度． 【详解】解：设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米． 30．苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． (1)请你计算出上述方案中绿地的宽； (2)九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 【答案】(1)4米 (2)或 【分析】（1）设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意，解方程即可． （2）分两种情况解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设绿地的宽为x米，绿地的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 故绿地的宽为4米． （2）解：方案1如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意． 方案2如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意． 31．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 32．小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D直线右侧的一动点．作点关于直线的对称点为点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】 当时，根据题意，在图①上画出图形， 在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角， 第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，如图②，当时，若，，请继续研究并求的值． 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合． （1）根据要求作出点C关于直线AD的对称点E，再连接对应线段即可作图，根据轴对称性质可知对应角相等； （2）根据等边对等角证明，结合（1）的结论得出，再由勾股定理即可得出，，根据对称性质得，由此得出结论； （3）同理可得，进而可得，在利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由轴对称性质可知：，，， 故答案为：，， （2）结论：，， ∵点C关于直线AD的对称点是点E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3）由对称的性质可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分别过点C、B作、垂足分别为、， ∴在中，， ∴，， ∴， ∴在中， ， 设， 在中，， ∴，， ∴在中，，即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 七、与动点有关的一元二次方程（共6小题） 33．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1)t，； (2)当时，； (3)的值不可能为5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】（1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 34．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 35．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)当时，四边形为矩形； (2)当时，四边形为菱形； (3)不存在某一时刻使得，理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； （4）根据折叠的性质得出，进而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，， ，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：，， ∴， 即， ∵， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在；理由如下： 过作，交于，如图所示： 则， ∵， 四边形是矩形， ，， ， 矩形中， ∴为直角三角形， ， ， ， 即： ， ， 此方程无实数根， 不存在某一时刻使得； （4）解：如图所示， 根据折叠可知： ，， 在矩形中， ， ， ， ， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， ， 即：， 解得：， 答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 36．如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）当点落到边上时，则点与点重合，从而有，即可求出得值； （）分当时，当时，当时情况讨论即可求解； （）当时（）时，（）时（）时，（），讨论即可求解； 此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）当点落到边上时， 则点与点重合， ∴， ∴； （2）当时，如图， ， 当时，如图， ， 当时，如图， ， 综上可知：； （3）如图，， （）时，即， 整理得：， 解得：（舍去），， （），即， 无解， 如图，当，延长交于点， （）时，即， 解得：，， 以上解均不符合题意， （），即， 整理得：， 解得：（舍去），， 综上可知：或． 37．如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．      (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①当的面积为5时，求点的坐标； ②连结，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或或或；②或 【分析】（1）分别求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，则，，求出，再由，求出的值后即可求点坐标；②分两种情况讨论：当点在线段上时，利用角的关系推导出，再由勾股定理得，求出的值即可求点的坐标；当点在线段上时，同理可求点的另一个坐标． 【详解】（1）在中，令得， ， 令得， ， 点与点关于轴对称， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）①设， 轴， ，， ， ∵，， ∴， ， 整理：， 解得，或者， 的坐标为或或或； ②点在线段上运动， ， 设，即有， 当点在线段上时，如图：   点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得， ； 当点在线段上时，如图：    同理可证明， ， 同理可得， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 38．如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接． (1)求出__________； (2)若平分，求点的坐标； (3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标. 【答案】(1)40 (2) 或 (3)或. 【分析】（1）先求出点的纵坐标，再根据三角形的面积公式计算即可. （2）设根据平分可得，再根据两点之间的距离公式求出的值即可得点的坐标. （3）设,分两种情况讨论：①当且时；②当,且时.画出图形，构造三垂直模型，根据全等三角形的对应边相等列出关于的方程组，求出的值即可求得点的坐标. 【详解】（1） 如图1，作轴与， ∵， 轴，点是在直线， （2）设 平分，      解得， ∴点的坐标 或. （3）设 当，且时， ①如图2，点在直线上方时， 过点作直线则轴于点，过点作于点, 则 又 ，解得. 则 则. ② 如图3，由得 解得. 则 ∴.     当,且时,如图4     作轴于，轴于, 则， 则，解得， 则， . 综上，点的坐标为或. 【点睛】本题综合性较强，难度较大.主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及数形结合思想和分类讨论思想.注意第（3）小题考虑问题要全面.正确的画出图形是解题的关键. 八、一元二次方程的营销问题（共8小题） 39．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，列分式方程先求出“抱竹熊猫”和“打坐熊猫”的售价，再根据第二天两款熊猫玩偶的总利润，列出一元二次方程求出的值即可，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， ∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， ∴根据第二天总利润为元可得， ， 整理得，， 解得，， 当时，，， ∵， ∴符合题意； 当，， ∵， ∴不合题意，舍去； ∴， 故选：． 40．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 41．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，根据“2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出，根据“销售额成本利润”，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为． （2）解：设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出， ， 解得，（舍）， 答：需将“阳光玫瑰”储藏10天后一次性售出． 42．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张，利用数量总价单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入，中，即可求出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 43．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①30元或80元②八折 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元 【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无解，故不能达到要求． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得： ． 解得：． 答：每千克茶叶应降价30元或80元． ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元． 此时，售价为：元，． 答：该店应按原售价的八折出售． （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得： , 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， 即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 44．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ (3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)9元 【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式； （2）根据（1）的解析式将x=3代入求出销售量，再根据每千克利润×销售量=总利润列式求解即可； （3）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b， 把（2，120）和（4，140）代入得，， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y=10x+100（0＜x＜20）； （2）解：根据题意得，x=3时销售量， （元）， 答：当每千克干果降价元时，超市获利元； （3）解：根据题意得，(60-x-40)(10x+100)=2090； 解得：x1=1，x2=9；整理得：x2-10x+9=0 为了让顾客获得更大实惠，x=9 答：这种干果每千克应降价9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 45．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元． (1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？ (2)该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值． 【答案】(1)《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000本、500本、1000本． (2)12． 【分析】（1）设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根据三本书共4500本，共花费52000元．即可列出方程组求解； （2）根据每天总利润=三种书每天利润和列方程即可解答． 【详解】（1）解：设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根据三本书共4500本，共花费52000元．可得： ， 解得：， 《乐山乐水》的的数量是本． 答：书店老板购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000本、500本、1000本． （2）依题意可知：调整售价后， 《乐山乐水》的售价为25元，每本利润为（25-10）=15元，每天售卖本； 《艾青诗选》的每本售价为元，每本利润为元，每天售卖本； 《朝花夕拾》每本售价为元，每本利润为元，每天售卖20本； 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：a的值为12． 【点睛】本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系． 46．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元． (1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价； (2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低销售，桑葚酒比预计单价降低元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值 【答案】(1)预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，销售桑葚酒的单价为40元/千克 (2)20 【分析】（1）设预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为元/千克，根据销售桑菩酒和桑菩酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元，列分式方程，解此分式方程即可解答； （2）根据题意分别计算出降价后，桑葚酱的销售单价、销售量，桑葚酒的销售单价、销售量，再由销售总额比预计减少了3500a元列方程，解此方程即可解答． 【详解】（1）解：设桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为元/千克， 根据题意得：， 解得： 经检验，是方程的解， 答：预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，则销售桑葚酒的单价为40元/千克． （2）桑葚酱降价后的单价为，桑葚酒降价后的单价为元， 桑葚酱的销量为千克，桑葚酒的销量为千克， ∴ 解得：a=20或a=0（舍去）， ∴a=20 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 九、百分数为未知数的一元二次方程（共4小题） 47．实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元. 求甲、乙两种智能设备单价； 垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？ 【答案】（1）甲设备万元每台，乙设备万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为元. 【分析】（1）设甲单价为万元，则乙单价为万元，再根据购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可； （2）先求出每吨燃料棒成本为元，然后根据题意列出一元二次方程解答即可. 【详解】解：设甲单价为万元，则乙单价为万元，则: 解得 经检验，是所列方程的根. 答：甲设备万元每台，乙设备万元每台. 设每吨燃料棒成本为元，则其物资成本为，则: ，解得 设每吨燃料棒在元基础上降价元，则 解得 . 每吨燃料棒售价应为元. 【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键在于弄懂题意、找到等量关系、并正确列出方程. 48．一段路的“拥堵延时指数”计算公式为：拥堵延时指数=，指数越大，道路越堵。高德大数据显示第二季度重庆拥堵延时指数首次排全国榜首。为此，交管部门在A、B两拥堵路段进行调研：A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/时，B路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的倍，且A路段比B路段长1千米． （1）分别求平峰时A、B两路段的通行时间； （2）第二季度大数据显示：在高峰时，A路段的拥堵延时指数为2，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段。第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况有明显改善，在高峰时，A路段拥堵延时指数下降了a%，每分钟进入该路段的车辆增加了；B路段拥堵延时指数下降，每分钟进入该路段的车辆增加了a辆。这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入这两段路的车辆通过这两路段所用时间总和多小时，求a的值． 【答案】（1）平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时；（2）的值是15． 【分析】（1）根据题意，设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意，先求出整治前A、B路段的时间总和，然后利用含a的代数式求出整治后A、B路段的时间总和，再列出方程，求出a的值． 【详解】解：（1）设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，则 ， 解得：， ∴（小时）； ∴平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时； （2）根据题意，整治前有： 高峰时，通过A路段的总时间为：（分钟）， 高峰时，通过B路段的总时间为：（分钟）； 整治前的时间总和为：（分钟）； 整治后有：通过A路段的总时间为： ； 通过B路段的总时间为：； ∴整治后的时间总和为： ； ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）； ∴的值是15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程进行解题．注意寻找题目的等量关系进行列方程． 49．中国基础建设速度惊艳世界，“基建狂魔”的称号名不虚传，中国铁路有许多超级工程正处在建设之中，某公司主营铁路建设施工． （1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ （2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少千米，隧道施工里程里程会减少千米，桥梁施工里程里程会增加千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加亿元，若二季度总成本与一季度相同，求的值． 【答案】（1）原计划今年一季度，桥梁施工最多是4千米．（2）2． 【分析】（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米，根据隧道施工至少是桥梁施工的9倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元，根据第一季度施工的总成本为254亿元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再由第二季度总成本与第一季度相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米， 依题意，得：146﹣106﹣x≥9x， 解得：x≤4． 答：原计划今年一季度，桥梁施工最多是4千米． （2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元， 依题意，得：106m+（146﹣106﹣4）×3m+4×10m＝254， 解得：m＝1． ∴（106﹣7a）×1+（146﹣106﹣4﹣2a）×3+（4+a）（10+a）＝254， 整理，得：a2﹣2a＝0， 解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝2． 答：a的值为2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程（一元一次方程）． 50．甲和乙工程队同时施工合修一段长度为米的公路，原计划甲工程队与乙工程队的人数比为，且甲工程队每人每天可修20米，乙工程队每人每天可修10米．修筑了天后，施工进行调整，从甲队抽调了a名工人到乙队，抽调后甲、乙两队人数比为且甲工程队每人每天比原来多修，乙工程队每人每天比原来多修，结果比原计划提前10天完成任务，求a的值． 【答案】a的值为20 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程（分式方程）是解题的关键． 设原计划甲工程队有人，则乙工程队有人，由抽调后甲、乙两队人数比为可求出，利用工作时间工作总量工作效率可求出原计划的工作时间，由抽调后比原计划提前10天完成任务，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设原计划甲工程队有人，则乙工程队有人， 依题意得：， 解得：， 原计划的工作时间为（天． 抽调后比原计划提前10天完成任务， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为20． $$专题02 一元二次方程（必刷压轴50题9种题型专项训练） · 试卷第2页，共72页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 · 根的判别式的应用 · 一元二次方程根与系数关系 · 配方法的应用 · 与图形有关的一元二次方程 · 与动点有关的一元二次方程 · 一元二次方程的营销问题 · 百分数为未知数的一元二次方程 一、解一元二次方程（共5小题） 1．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．已知实数x满足，则的值为 ． 3．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 5．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 二、一元二次方程的解（共5小题） 6．已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若方程的根也是方程的根，则 ． 8．已知是方程的一个根，则 ． 9．已知是一元二次方程的解，求的值． 10．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 三、根的判别式的应用（共5小题） 11．一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况． (1)当，时，该类型方程的根的情况是（   ） A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 (2)下列“”型的方程： ①； ②； ③； ④； ⑤． 至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）． (3)当，（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围． 12．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 13．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 14．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”． (1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”； (2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值． 15．若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． (1)判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； (2)代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 四、一元二次方程根与系数关系（共5小题） 16．定义：我们把关于x的一元二次方程M：与N：（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 17．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 18．定义：①如果关于x的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．②如果关于x的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是________（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值． 19．阅读材料：设一元二次方程的两个根分别为，，则，．例如设一元二次方程两个根分别为，，则，． (1)设一元二次方程的两个根分别为，，则________，________． (2)设一元二次方程的两个根分别为，，若，，则________，________． (3)设一元二次方程的两个根分别为，，求代数式的值． 20．若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 五、配方法的应用（共6小题） 21．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 22．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 23．已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 24．已知： 如图，在菱形中，，点E， F分别是上的动点(不与菱形的顶点重合)，． (1)求证∶是等边三角形； (2)探究四边形与菱形的面积关系，并说明理由： (3)若菱形的边长为，则面积的最大值是 (直接写出答案)． 25．（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 26．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 六、与图形有关的一元二次方程（共6小题） 27．在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： (1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】： (2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 28．解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 29．某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 30．苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． (1)请你计算出上述方案中绿地的宽； (2)九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 31．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 32．小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D直线右侧的一动点．作点关于直线的对称点为点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】 当时，根据题意，在图①上画出图形， 在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角， 第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，如图②，当时，若，，请继续研究并求的值． 七、与动点有关的一元二次方程（共6小题） 33．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 34．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 35．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 36．如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 37．如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．      (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①当的面积为5时，求点的坐标； ②连结，如图2，若，求点的坐标．    38．如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接． (1)求出__________； (2)若平分，求点的坐标； (3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标. 八、一元二次方程的营销问题（共8小题） 39．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 40．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 41．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 42．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 43．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 44．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ (3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 45．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元． (1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？ (2)该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值． 46．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元． (1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价； (2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低销售，桑葚酒比预计单价降低元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值 九、百分数为未知数的一元二次方程（共4小题） 47．实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元. 求甲、乙两种智能设备单价； 垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？ 48．一段路的“拥堵延时指数”计算公式为：拥堵延时指数=，指数越大，道路越堵。高德大数据显示第二季度重庆拥堵延时指数首次排全国榜首。为此，交管部门在A、B两拥堵路段进行调研：A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/时，B路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的倍，且A路段比B路段长1千米． （1）分别求平峰时A、B两路段的通行时间； （2）第二季度大数据显示：在高峰时，A路段的拥堵延时指数为2，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段。第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况有明显改善，在高峰时，A路段拥堵延时指数下降了a%，每分钟进入该路段的车辆增加了；B路段拥堵延时指数下降，每分钟进入该路段的车辆增加了a辆。这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入这两段路的车辆通过这两路段所用时间总和多小时，求a的值． 49．中国基础建设速度惊艳世界，“基建狂魔”的称号名不虚传，中国铁路有许多超级工程正处在建设之中，某公司主营铁路建设施工． （1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ （2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少千米，隧道施工里程里程会减少千米，桥梁施工里程里程会增加千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加亿元，若二季度总成本与一季度相同，求的值． 50．甲和乙工程队同时施工合修一段长度为米的公路，原计划甲工程队与乙工程队的人数比为，且甲工程队每人每天可修20米，乙工程队每人每天可修10米．修筑了天后，施工进行调整，从甲队抽调了a名工人到乙队，抽调后甲、乙两队人数比为且甲工程队每人每天比原来多修，乙工程队每人每天比原来多修，结果比原计划提前10天完成任务，求a的值． $$