2025年中考数学臻选专题 三角函数

2025年中考数学臻选专题三角函数 三角函数解题技巧： 1、 理解三角函数的基本概念 锐角三角函数的意义：锐角三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。例如，在一个直角三角形中，正弦值定义为对边与斜边的比值，余弦值定义为邻边与斜边的比值，而正切值则是对边与邻边的比值。 特殊角的三角函数值：熟悉30°、45°和60°等特殊角度的三角函数值，如，，tan60°=等，这些值在解题时可以直接使用，有助于简化计算过程。 2、 运用三角函数的性质和公式 公式应用：熟练掌握并运用基本的三角函数公式，如倍角公式、和差公式、积化和差公式等。这些公式在解题中能帮助我们简化问题，提高解题效率。 图像分析：通过分析三角函数图像的形状、位置、单调性等特征，可以帮助我们直观地找到答案。例如，正弦函数和余弦函数的周期性和奇偶性，以及它们的图像变化规律。 3、 构造模型解决实际问题 解直角三角形：在解决几何问题时，通过建立直角三角形或坐标系，将问题转化为三角函数问题。例如，利用勾股定理和三角函数的关系求解未知元素。 实际应用题的思路：解直角三角形的应用主要涉及测量、航空、航海、工程等领域。一般步骤包括标出已知长度和角度，构造直角三角形，转化数据求出未知量。 臻选专题 一、单选题 1．已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(       ) A．＜tanα＜ B．＜tanα＜ C．＜tanα＜ D．＜tanα＜ 【答案】C 【详解】解：∵tan30°=，tan60°=，30°＜α＜60°， ∵当0°＜α＜90°，tanα随α的增大而增大， ∴＜tanα＜． 故选C． 2．已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，，， 故选：A． 3．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 4．如图，在中，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 5．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 6．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 7．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：设，交于点，， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 由旋转可知：， ， ， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 9．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 10．如图，在菱形中，，点从点出发，沿方向匀速运动，过点作交菱形的另一边于点，设点的运动路程为，的面积为，则与之间的函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设与交于点，与交于点， 当点在上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是在边上的高，， 由菱形的性质得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 所以该部分是开口向下的二次函数， 当点在上时，如图， 设菱形的边长为， ∴， ∵ ∴， ∴， 所以该部分是开口向上的二次函数， 由此判断只有C选项符合题意． 故选：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】/ 【详解】解： ， 故答案为：． 12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：设扇形的半径为r．则 ，解得， ∴扇形的面积， 故答案为：． 13．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ． 【答案】 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， ∴， 故答案为： 14．如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 【答案】 【详解】解：(已知)， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 三、解答题 15．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 16．小明从点A出发向北偏西方向走了3米到达点B，小林从点A出发向南偏西方向走了4米到达点C，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示1米），并从图上通过测量估算出B点到C点的实际距离． 【答案】图见解析，5米 【详解】解：根据题意，如图： 由题意，，，， ∴； ∴B点到C点的实际距离是5米． 17．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【详解】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 18．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      【答案】米 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，    依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 19．如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 20．在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【答案】米 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 21．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【详解】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    22．如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ， 平分， ， ， ， , , 是的切线； （2）解：设，则， ，解得， ， ， 根据勾股定理可得，, ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ．    23．综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学臻选专题三角函数 三角函数解题技巧： 1、 理解三角函数的基本概念 锐角三角函数的意义：锐角三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。例如，在一个直角三角形中，正弦值定义为对边与斜边的比值，余弦值定义为邻边与斜边的比值，而正切值则是对边与邻边的比值。 特殊角的三角函数值：熟悉30°、45°和60°等特殊角度的三角函数值，如，，tan60°=等，这些值在解题时可以直接使用，有助于简化计算过程。 2、 运用三角函数的性质和公式 公式应用：熟练掌握并运用基本的三角函数公式，如倍角公式、和差公式、积化和差公式等。这些公式在解题中能帮助我们简化问题，提高解题效率。 图像分析：通过分析三角函数图像的形状、位置、单调性等特征，可以帮助我们直观地找到答案。例如，正弦函数和余弦函数的周期性和奇偶性，以及它们的图像变化规律。 3、 构造模型解决实际问题 解直角三角形：在解决几何问题时，通过建立直角三角形或坐标系，将问题转化为三角函数问题。例如，利用勾股定理和三角函数的关系求解未知元素。 实际应用题的思路：解直角三角形的应用主要涉及测量、航空、航海、工程等领域。一般步骤包括标出已知长度和角度，构造直角三角形，转化数据求出未知量。 臻选专题 一、单选题 1．已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(       ) A．＜tanα＜ B．＜tanα＜ C．＜tanα＜ D．＜tanα＜ 2．已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 5．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 6．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 7．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，点从点出发，沿方向匀速运动，过点作交菱形的另一边于点，设点的运动路程为，的面积为，则与之间的函数图象可能为（    ） A．B．C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 13．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ． 14．如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 三、解答题 15．计算：． 16．小明从点A出发向北偏西方向走了3米到达点B，小林从点A出发向南偏西方向走了4米到达点C，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示1米），并从图上通过测量估算出B点到C点的实际距离． 17．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 18．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      19．如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 20．在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    21．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 22．如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 23．综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$