专题09 点和圆、直线和圆的位置关系【四大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题09 点和圆、直线和圆的位置关系【五大题型】 点与圆的位置关系 1．（2023•门头沟区校级期末）⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　） A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜4 2．（2023•延庆区校级期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（　　） A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上 3．（2023•大兴区校级期末）若点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围为（　　） A．﹣2＜a＜4 B．a＜4 C．a＞﹣2 D．a＞4或a＜﹣2 4．（2023•密云区校级期末）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 5．（2023•门头沟区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以A为圆心，以3为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系为　 　． 6．（2023•顺义区校级期末）在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，以点A为圆心画圆，且点D在⊙A的内部，点B在⊙A的外部，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　． 7．（2023•西城区期末统考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 　 　． 8．（2023•东城区校级期末）如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 　 　． 三角形的外接圆与外心 9．（2023•房山区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（2，2） D．（3，3） 10．（2023•昌平区校级期末）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 11．（2023•海淀区期末统考）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 12．（2023•海淀区校级期末）已知线段AB＝4，动点P满足∠APB＝45°，C、D是线段AB、BP的中点，则线段CD长度的最大值为 　 　． 13．（2023•门头沟区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC＝2，那么⊙O的半径为　 　． 14．（2023•顺义区校级期末）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（﹣2，1）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标是　 　；△ABC外接圆的半径为　 　． 15．（2023•平谷区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的外部，AB＝AC＝4，BC＝4，求⊙O的半径． 16．（2023•密云区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE⊥BC，垂足为D． （1）求证：∠ABO＝∠CAE； （2）已知⊙O的半径为5，DE＝2，求BC长． 直线与圆的位置关系 17．（2023•昌平区期末统考）如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 18．（2023•昌平区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（　　） A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切 19．（2023•密云区校级期末）已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能 20．（2023•怀柔区校级期末）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 　 　． 21．（2023•延庆区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是　 　． 22．（2023•顺义区校级期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是　 　． 切线的性质 23．（2023•东城区校级期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．20° D．40° 24．（2023•海淀区校级期末）如图，⊙O　的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB＝60°，则△PAB的周长为（　　） A． B． C．6 D．3 25．（2023•大兴区校级期末）如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB＝90°，OP＝4，则OC的长为（　　） A．8 B． C． D． 26．（2023•东城区校级期末）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 27．（2023•海淀区校级期末）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 28．（2023•朝阳区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的圆M与x轴相切，若点B的坐标为（﹣2，3），则圆心M的坐标为（　　） A．（﹣1，） B． C． D． 29．（2023•东城区校级期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 　 　． 30．（2023•石景山区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作半圆E，过点D作DF切半圆E于点G，交AB于点F，则BF的长为　 　． 31．（2023•通州区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA＝40°，则∠CAD的度数为 　 　． 32．（2023•海淀区校级期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为 　 　． 33．（2023•平谷区校级期末）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8，则BE+GC的长为　 　． 34．（2023•海淀区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上的一点，PE切⊙O于E．BE交CD于F．若AB＝6，DP＝2，则BF＝　 　． 35．（2023秋•西城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 36．（2023•海淀区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC． （1）求证：OEAC； （2）若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，求PB的长． 37．（2023•房山区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E． （1）求证：BC是∠ABD的平分线； （2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长． 38．（2023•海淀区期末统考）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD． （1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）； （2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长． 三角形的内切圆与内心 39．（2023•大兴区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝74°，点O是△ABC的内心．则∠BOC等于（　　） A．124° B．118° C．112° D．62° 40．（2023•东城区期末统考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　） A． B．24 C．26 D．52 41．（2023•大兴区期末统考）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若AD＝2，BC＝6，则△ABC的周长为 　 　． 42．（2023•密云区校级期末）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　 　步． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 点和圆、直线和圆的位置关系【五大题型】 点与圆的位置关系 1．（2023•门头沟区校级期末）⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　） A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜4 解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为4， ∴0≤d＜4， 答案：D． 2．（2023•延庆区校级期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（　　） A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上 解：∵d≥R， ∴点P在⊙O上或点P在⊙O外． 答案：D． 3．（2023•大兴区校级期末）若点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围为（　　） A．﹣2＜a＜4 B．a＜4 C．a＞﹣2 D．a＞4或a＜﹣2 解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内， ∴|a﹣1|＜3， ∴﹣2＜a＜4． 答案：A． 4．（2023•密云区校级期末）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2， ∴当d＝r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a＝1、5时点B在⊙A上； 当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内； 当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外． 由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误． 答案：A． 5．（2023•门头沟区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以A为圆心，以3为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系为　点C在⊙A上　． 解：由勾股定理得：AC3， ∵AC＝3＝3， ∴点C与⊙A的位置关系是点C在⊙A上， 答案：点C在⊙A上． 6．（2023•顺义区校级期末）在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，以点A为圆心画圆，且点D在⊙A的内部，点B在⊙A的外部，则⊙A的半径r的取值范围是 　6＜r＜8　． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝6， ∵点D在⊙A内，点B在⊙A外， ∴6＜r＜8． 答案：6＜r＜8． 7．（2023•西城区期末统考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 　　． 解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′， 因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大， 由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′OA＝1＝O′M， 在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1， ∴O′C， ∴CM＝CO′+O′M1， 答案：1． 8．（2023•东城区校级期末）如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 　　． 解：∵OM⊥AB，点A坐标为（1，0）， ∴OA＝OB＝1， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∴OD∥BC，ODBC， ∴当BC是⊙M的直径时，线段OD取得最大值，如图， ∵点M坐标为（0，1）， ∴OM＝1， 在Rt△OBM中，BM， ∴BC＝2BM＝2， ∴OD， 即线段OD的最大值为． 答案：． 三角形的外接圆与外心 9．（2023•房山区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（2，2） D．（3，3） 解：如图所示，△ABC外接圆圆心的坐标为（3，2）． 答案：A． 10．（2023•昌平区校级期末）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴点A，B，C，D在⊙O上， ∵∠BCA＝50°， ∴∠ADB＝∠BCA＝50° ∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°， 答案：B． 11．（2023•海淀区期末统考）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 解：如图，AB＝OA，即AB的长度等于半径， 以AB为边的圆的内接三角形有无数个， ∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确； ∵OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， 当点C在优弧AB上时，∠C＝30°， 当点C在劣弧AB上时，∠C＝150°， 当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°， ∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确； 由以上可知，∠C可以是30°或150°， 当AC＝AB，∠C＝30°时，∠CAB＝180°﹣30°3﹣30°＝120°， ∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确； 过点O作OH⊥AB于H， 则AH＝HBAB＝1， ∴OH， 当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：2×（2）＝2，故④结论错误； 答案：C． 12．（2023•海淀区校级期末）已知线段AB＝4，动点P满足∠APB＝45°，C、D是线段AB、BP的中点，则线段CD长度的最大值为 　2　． 解：∵C、D是线段AB、BP的中点， ∴CDPA， ∴当AP长度最大时，CD的长度最大， ∵线段AB＝4，动点P满足∠APB＝45°， ∴点P在以AB为弦、圆周角∠APB＝45°的圆上， ∴当AP′为圆的直径时，AP′最大， 此时∠ABP′＝90°， ∴AP′AB＝4， ∴线段CD长度的最大值为2， 答案：2． 13．（2023•门头沟区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC＝2，那么⊙O的半径为　2　． 解：连接OC、OB，作OD⊥BC， ∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠DOC＝60°，∠ODC＝90°， ∴OC， 答案：2． 14．（2023•顺义区校级期末）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（﹣2，1）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标是　（1，2）　；△ABC外接圆的半径为　　． 解：∵A（4，3）、B（﹣2，1）、C（0，﹣1）， ∴AB2＝（4+2）2+（3﹣1）2＝40，AC2＝（4﹣0）2+（3+1）2＝32，BC2＝（﹣2﹣0）2+（1+1）2＝8， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵AB2， ∴△ABC的外接圆的半径是2， 过B作BM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N，过O′作O′E⊥x轴于E， ∵A（4，3）、B（﹣2，1）， ∴BM＝1，AN＝3，MN＝4+2＝6，BM∥O′E∥AN， ∵O′为AB中点， ∴E为MN中点， ∴O′E（BM+AN）＝2，ENMN＝3， ∴OE＝4﹣3＝1， 即O′的坐标是（1，2）， 答案：（1，2），． 15．（2023•平谷区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的外部，AB＝AC＝4，BC＝4，求⊙O的半径． 解：连接AO，交BC于点D，连接BO． ∵AB＝AC， ∴． 又∵AO是半径， ∴AO⊥BC，BD＝CD． ∵， ∴． 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， ∵BD2+AD2＝AB2，AB＝4， ∴AD＝2． 设⊙O半径为r． 在Rt△BDO中， ∵BD2+DO2＝BO2， ∴， ∴r＝4 ∴⊙O的半径为4． 16．（2023•密云区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE⊥BC，垂足为D． （1）求证：∠ABO＝∠CAE； （2）已知⊙O的半径为5，DE＝2，求BC长． （1）证明：∵AE是⊙O的直径，AE⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AB＝AC， ∵AE⊥BC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵OB＝OA， ∴∠BAE＝∠ABO， ∴∠ABO＝∠CAE； （2）解：∵⊙O的半径为5，DE＝2， ∴OD＝OE﹣DE＝3， ∵AE⊥BC， ∴BD4， ∵AE是⊙O的直径，AE⊥BC， ∴BC＝2BD＝8． 直线与圆的位置关系 17．（2023•昌平区期末统考）如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 解：根据图形可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交． 答案：C． 18．（2023•昌平区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（　　） A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切 解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆， 则有2＝2，3＞2， ∴这个圆与x轴相切，与y轴相离． 答案：C． 19．（2023•密云区校级期末）已知⊙O的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能 解：∵⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4， ∵4＜2，即：d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离． 答案：A． 20．（2023•怀柔区校级期末）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 　相交　． 解：∴⊙O的半径为5cm，如果圆心O到直线l的距离为4cm， ∴4＜5， 即d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 答案：相交． 21．（2023•延庆区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是　相交　． 解：以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交；理由如下： 过C作CD⊥AB于D，如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝3， ∴由勾股定理得：AB5， ∵△ABC的面积AC×BCAB×CD， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝2.4＜2.5， 即d＜r， ∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交， 答案：相交． 22．（2023•顺义区校级期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是　3≤r≤5　． 解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3， ∴BD＝AC5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4， ∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点， ∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5； 答案：3≤r≤5 切线的判定与性质 23．（2023•东城区校级期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．20° D．40° 解：连接OA、OB， ∵∠ACB＝70°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝140°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°， 答案：D． 24．（2023•海淀区校级期末）如图，⊙O　的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB＝60°，则△PAB的周长为（　　） A． B． C．6 D．3 解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB， 而∠APB＝60°， ∴∠APO＝30°，△PAB是等边三角形， ∴OAOP， ∴OP＝2OA＝2×1＝2， ∴PA， ∴△PAB的周长＝3． 答案：B． 25．（2023•大兴区校级期末）如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB＝90°，OP＝4，则OC的长为（　　） A．8 B． C． D． 解：连接CP，如图， ∵OA边与OC相切于点P， ∴CP⊥OA， ∴∠OPC＝90°， ∵⊙C与∠AOB的两边分别相切， ∴OC平分∠AOB， ∴∠COP∠AOB90°＝45°， ∴△OCP为等腰直角三角形， ∴OCOP＝4． 答案：C． 26．（2023•东城区校级期末）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 解：连接OC， ∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°， ∴AB是直径， ∵∠A＝25°， ∴∠BOC＝2∠A＝50°， ∵CD是圆O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D＝90°﹣∠BOC＝40°． 答案：B． 27．（2023•海淀区校级期末）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 解：∵AB、AC为⊙O的切线， ∴AC＝AB， ∵FD、FC为⊙O的切线， ∴FD＝FC， 同理，ED＝EB， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝4， ∴AC＝AB＝2， ∴BCAB＝2． 答案：B． 28．（2023•朝阳区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的圆M与x轴相切，若点B的坐标为（﹣2，3），则圆心M的坐标为（　　） A．（﹣1，） B． C． D． 解：∵点B的坐标为（﹣2，3）， ∴AB＝OC＝2，BC＝AO＝3， ∵圆M与x轴相切， ∴OD＝CDOC＝1， ∴M的横坐标为﹣1， 在Rt△BMN中，BM2＝MN2+BN2， BM2＝（3﹣BM）2+12， 解得BM ∴M的坐标为（﹣1，）． 答案：C． 29．（2023•东城区校级期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 　20°　． 解：连接OA，如图， ∵AB切⊙O于点A， ∴∠OAB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠AOB＝40°， ∴∠ADC∠AOB＝20°， ∵AD∥OB， ∴∠OCD＝∠ADC＝20°， 答案：20°． 30．（2023•石景山区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作半圆E，过点D作DF切半圆E于点G，交AB于点F，则BF的长为　1　． 解：∵AB⊥BC， ∴AB为圆O的切线， 又DF为圆O的切线， ∴DC＝DG＝4， 同理得到FB＝FG，设FB＝FG＝x，则有AF＝AB﹣BF＝4﹣x，DF＝DG+FG＝4+x， 在Rt△ADF中，利用勾股定理得：DF2＝AF2+AD2，即（4+x）2＝42+（4﹣x）2， 解得：x＝1， ∴BF＝1， 答案：1． 31．（2023•通州区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA＝40°，则∠CAD的度数为 　50°　． 解：连接OC，OD，如图， ∵PC，PD分别与⊙O相切于点C，D， ∴OC⊥PC，OD⊥PD，∠CPO＝∠DPO＝40°， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∠CPD＝80°． ∵四边形PCOD的内角和为360°， ∴∠CPD+∠COD＝180°， ∴∠COD＝100°． ∴∠CAD∠COD＝50°． 答案：50°． 32．（2023•海淀区校级期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为 　16　． 解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线， ∴DA＝DC，EB＝EC； ∴DE＝DA+EB， ∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB， ∵PA、PB分别是⊙O的切线， ∴PA＝PB＝8， ∴△PDE的周长＝16． 答案：16 33．（2023•平谷区校级期末）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8，则BE+GC的长为　10　． 解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E、F、G三点， ∴BF＝BE，CF＝CG，BO平分∠ABC，CO平分∠BCD， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠BCD）， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBC+∠OCB180°＝90°， ∴∠BOC＝90°， 在Rt△OBC中，∵BO＝6，CO＝8， ∴BC10， ∴BE+CG＝10． 答案：10． 34．（2023•海淀区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上的一点，PE切⊙O于E．BE交CD于F．若AB＝6，DP＝2，则BF＝　　． 解：如图，连接OE， ∵∠PEF＝90°﹣∠OEB＝90°﹣∠OBE＝∠OFB＝∠EFP， ∴PF＝PE， ∵AB＝6，AB，CD是⊙O的直径， ∴OE＝OD＝OC＝OB＝OA＝3， ∵PE切⊙O于E， ∴∠PEO＝90°， 在Rt△OPE中，DP＝2， OP＝3+2＝5， 由勾股定理可得OP2＝PE2+OE2， ∴52＝PE2+32，解得PE＝4， ∴PF＝PE＝4，OF＝OP﹣PF＝5﹣4＝1， ∵AB⊥CD， ∴∠BOF＝90°， 在Rt△OBF中，由勾定理可得BF2＝OB2+OF2， 即BF2＝32+12＝10， ∴FB． 答案：． 35．（2023秋•西城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 36．（2023•海淀区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC． （1）求证：OEAC； （2）若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，求PB的长． 证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C， ∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO． ∴PO⊥BC，BE＝CE． ∵OB＝OA， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OEAC； （2）∵PB是⊙O的切线， ∴∠OBP＝90°． 由（1）可得∠BEO＝90°， ∵点E是OD的中点，⊙O的半径为6， ∴OEOD＝3， ∵∠OBP＝∠BEO＝90°． ∴tan∠BOE， 在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝6， ∴BE＝3． ∴PB＝6． 37．（2023•房山区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E． （1）求证：BC是∠ABD的平分线； （2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长． （1）证明：连接OC， ∵直线MC与⊙O相切于点C ∴∠OCM＝90°， ∵BD⊥CD， ∴∠BDM＝90°， ∴∠OCM＝∠ADM， ∴OC∥BD， ∴∠DBC＝∠BCO， ∵OA＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO， ∴∠DBC＝∠CBA，即BC是∠ABD的平分线； （2）连接AC，连接AE交OC于点F， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴AE8， 由（1）知OC∥BD，O为AB的中点， ∴AF＝4， ∴OF3， ∴CF＝OC﹣OF＝2， ∴AC2， ∴BC4． 38．（2023•海淀区期末统考）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD． （1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）； （2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长． 解：（1）∵CM∥AD， ∴∠ADC＝∠MCD＝α， ∴∠COA＝2∠ADC＝2α； （2）∵直线CM与半圆O相切于点C， ∴OC⊥CM， ∴∠OCE＝90°， ∵CM∥AD， ∴OC⊥AD， ∵OE⊥CD，CD∥AB， ∴CE⊥AB，∠ADC＝∠OAD， ∴∠AOE＝90°， ∵∠AOC+∠OAD＝90°，∠AOC+∠COE＝90°， ∴∠COE＝∠OAD， ∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠AOC＝2∠COE， ∴2∠COE+∠COE＝90°， 解得∠COE＝30°， ∵直线CM与半圆O相切于点C， ∴OC⊥CM， ∴∠OCE＝90°， ∵AB＝6， ∴OC＝3， 在Rt△COE中，∵∠COE＝30°， ∴CEOC． 三角形的内切圆与内心 39．（2023•大兴区校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝74°，点O是△ABC的内心．则∠BOC等于（　　） A．124° B．118° C．112° D．62° 解：∵点O是△ABC的内心， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC50°＝25°，∠OCB∠ACB74°＝37°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣25°﹣37°＝118°． 答案：B． 40．（2023•东城区期末统考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　） A． B．24 C．26 D．52 解：连接OD、OE、OF、OA、OB、OC， ∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵OD＝OE＝OF＝2，AB＝6，AC＝8，BC＝12， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC6×212×28×2＝26， 答案：C． 41．（2023•大兴区期末统考）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若AD＝2，BC＝6，则△ABC的周长为 　16　． 解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F， ∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF， 设BD＝x，则BE＝x，CE＝CF＝6﹣x，AD＝AF＝2， ∴△ABC的周长为AD+AF+BD+BE+EC+CF＝（2+x+6﹣x）×2＝16． 答案：16． 42．（2023•密云区校级期末）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　4　步． 解：如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F， 连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r， ∵AC、BC与⊙O相切， ∴OD⊥BC，OE⊥AC， ∴四边形ODCE为矩形， 而CD＝CE， ∴矩形ODCE为正方形， ∴CD＝CE＝OD＝r， ∴BD＝5﹣r，AE＝12﹣r， ∵BD＝BF，AF＝AE， ∴BF＝5﹣r，AF＝12﹣r， ∵AB13， ∴5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2， ∴⊙O的直径为4． 答案：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$