专题14 期末解答题压轴25题-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题14 期末解答题压轴25题 一．解答题（共25小题） 1．（2023秋•开福区校级期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求的度数； （2）如图，连接、、，点在直线上运动，若和相似，求点的坐标； （3）点为线段上任意一点（不与、重合），经过、、三点的圆交直线于点，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点的坐标． 2．（2023秋•开福区校级期末）“黄金分割”是一种最能引起美感的分割比例，如图1，如果，那么称点为线段的“黄金分割点”．“黄金分割”是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，这个比值称为“黄金分割比”，众所周知“黄金分割比”等于．根据条件完成下列问题： （1）如图1，点为线段的“黄金分割点”，若，求和的长． （2）如图2，尺规作图：已知线段，过点作，使，连结，以为圆心，为半径作弧，交于，以为圆心，为半径作弧，交于，证明：为线段的“黄金分割点”． （3）若直线将一个面积为图形分成和两部分，若，那么直线为图形的“黄金分割线”，如图3，在中，，点是边上一点，过作交于，连接，交于，请问直线是不是四边形的“黄金分割线”，并证明你的结论． 3．（2023秋•岳麓区校级期末）定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． （1）已知为边的“幸福线”， ，，，求的长； （2）如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线” 交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 4．（2023秋•长沙期末）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）点为直线上的一点，它的“级变换点” 在直线上，在，上分别取点，，，．若，求证：； （3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围． 5．（2023秋•长沙县期末）我们把与轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”． （1）判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”； ① 　　；② 　　； （2）求出“五好函数” 的“五好距”； （3）①已知“五好函数” 左侧的“五好点”位于和之间（含，两点），求的取值范围； ②不论取何值，不等式恒成立，在①的条件下，函数为常数）的最小值为，求的值． 6．（2024春•长沙期末）已知抛物线过点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，，点在线段上（与点，不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点，不重合），使得，求的取值范围． 7．（2023秋•长沙期末）如图，为的外接圆，点为的中点，点为上一点，连接，且，连接交于点，过点作的切线交延长线于点． （1）判断的形状； （2）求证：； （3）已知的半径为，且平分； ①求； ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用表示） 8．（2023秋•雨花区期末）如图，二次函数的图象经过点，，点为二次函数第一象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆与交于点． （1）求，的值； （2）当周长最大时，求此时点坐标及周长； （3）连接、，当时，求出点坐标． 9．（2023秋•浏阳市期末）已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）连接、、，判断的形状并说明理由； （3）在对称轴右侧抛物线上找一点，使得、、构成以为底边的等腰三角形，求出点的坐标及此时四边形的面积． 10．（2022秋•浏阳市期末）规定：我们把直线叫做抛物线的“温暖直线”．若该直线与该抛物线还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线与抛物线具备“温暖而幸福关系”，否则称直线与抛物线不具备“温暖而幸福关系”． （1）已知直线是抛物线的“温暖直线”，请判断直线与抛物线是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由； （2）已知直线与抛物线不具备“温暖而幸福关系”，当时，抛物线的最小值是，求直线的解析式； 11．（2022秋•芙蓉区校级期末）已知抛物线经过，两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图1，连接，为线段上一点且横坐标为1，是外接圆，求圆心点的坐标； （3）如图2，连接，为线段上任意一点（不与、重合）经过、、三点的圆交直线于点； ①点在运动过程中四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； ②求出当的面积取得最大值时，点的坐标． 12．（2023秋•长沙期末）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价的范围． 13．（2022秋•岳麓区校级期末）若抛物线与直线有且只有一个交点，我们就称此直线与抛物线的相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点． （1）若点为抛物线与轴的交点，求以点为切点的该抛物线的切线的解析式； （2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； （3）已知直线、直线是抛物线的两条切线，当与的交点的纵坐标为5时，试判断是否为定值，并说明理由． 14．（2022秋•长沙期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，已知直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求点到直线的距离； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2022秋•开福区校级期末）如图，已知是半圆的直径，过线段上一动点，作交半圆于点，联结，过点作，垂足为点，的延长线交半圆于点． （1）求证：； （2）若，设，，求关于的函数关系式； （3）如图2，若连接并延长交的延长线于点，当与相似时，求的值． 16．（2022秋•望城区期末）如图①，抛物线，与轴交于，两点在的左边），与轴交于点，顶点为，其中，点坐标为，对称轴为直线． （1）求此抛物线解析式； （2）在第四象限的抛物线上找一点，使，求点的坐标； （3）如图②，点是轴上一点，点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称，当以点，，为顶点三角形是直角三角形时，求的坐标． 17．（2023秋•长沙期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点． （1）求点，，的坐标； （2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形； （3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023秋•长沙期末）问题发现： （1）如图1，内接于半径为4的，若，则　　； 问题探究： （2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值； 解决问题： （3）如图3，一块空地由三条直路（线段、、和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由． 19．（2022秋•开福区校级期末）如图1，在矩形中，点是边的中点，点在边上，，垂足为． （1）如图2，当矩形为正方形时，则　　； （2）如图3，在（1）的条件下即矩形为正方形时，已知，过点作交于点，使得，求的长； （3）如果，，，求与的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围． 20．（2022秋•长沙期末州）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点． （1）请直接写出点的坐标：　 　； （2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标及此时与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 21．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有 　 　； ②若矩形是“美丽四边形”，且，则　 　； （2）如图1，“美丽四边形” 内接于，与相交于点，且对角线，为直径，，，求另一条对角线的长； （3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形” 的四个顶点，，在第三象限，在第一象限，与交于点，且四边形的面积为，若二次函数、、为常数，且的图象同时经过这四个顶点，求的值． 22．（2022秋•长沙期末）如图，圆的半径，弦交的延长线于圆外一点． （1）如图1，连接，，若，求； （2）如图2，连接，若，求的取值范围； （3）如图3，连接，，若此时，求的值． 23．（2021秋•开福区校级期末）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在和中，若，且，则和是“青竹三角形”． （1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 　 　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）如图2，中，，，点是上任意一点（不与点、重合），设、、的长分别为、、，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含、的式子来表示； （3）如图3，的半径为4，四边形是的内接四边形，且和是“青竹三角形”． ①求的值； ②若，，求和的周长之差． 24．（2021秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，点的坐标为，与轴于交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图，过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 5．（2021秋•开福区校级期末）如图，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是线段上方抛物线上一点，过点作，交轴于点，连接交于点，当取得最小值时，求点的横坐标； （3）点为抛物线的顶点，抛物线对称轴与轴交于点，连接，点是抛物线上的动点，设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②过点作轴，与抛物线交于点，为轴上一点，连接，，将沿着翻折，得，若四边形恰好为正方形，求的值． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 期末解答题压轴25题 一．解答题（共25小题） 1．（2023秋•开福区校级期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求的度数； （2）如图，连接、、，点在直线上运动，若和相似，求点的坐标； （3）点为线段上任意一点（不与、重合），经过、、三点的圆交直线于点，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）； （2）点坐标为，或，或； （3）的面积有最大值为4，此时． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形即可； （2）设，则，当时，，利用相似比可求，或，；当时，点与点关于点对称，可求； （3）设经过、、三点的圆的圆心为，设，，根据，可得，再由点与点关于点对称，求出，则，当时，的面积有最大值为4，此时． 【解答】解：（1）当时，， ， 当时，， ， ，，， ， 是直角三角形， ； （2）设， ， 当时，， ， ， 解得或， ，或，； 当时，点与点关于点对称， ； 综上所述：点坐标为，或，或； （3）设经过、、三点的圆的圆心为， 点在的垂直平分线上， 点横坐标为2， 设，， ， ， 整理得， 点与点关于点对称， ， ，， ， 当时，的面积有最大值为4，此时． 【点评】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理及逆定理，三角形外接圆的性质是解题的关键． 2．（2023秋•开福区校级期末）“黄金分割”是一种最能引起美感的分割比例，如图1，如果，那么称点为线段的“黄金分割点”．“黄金分割”是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，这个比值称为“黄金分割比”，众所周知“黄金分割比”等于．根据条件完成下列问题： （1）如图1，点为线段的“黄金分割点”，若，求和的长． （2）如图2，尺规作图：已知线段，过点作，使，连结，以为圆心，为半径作弧，交于，以为圆心，为半径作弧，交于，证明：为线段的“黄金分割点”． （3）若直线将一个面积为图形分成和两部分，若，那么直线为图形的“黄金分割线”，如图3，在中，，点是边上一点，过作交于，连接，交于，请问直线是不是四边形的“黄金分割线”，并证明你的结论． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）直线不是直角梯形的黄金分割线．理由见解析． 【分析】（1）根据黄金分割比和，列方程即可得到结论； （2）设长为，则长为，利用勾股定理可得，进而可得，即可得，问题得解； （3）根据相似三角形比例线段关系，证明，，则梯形与梯形上下底分别相等，高也相等，，所以不是直角梯形的黄金分割线． 【解答】（1）解：点为线段的“黄金分割点”， ， ， ，； （2）证明：， 设长为，则长为， ， ， ， ， ， ， 即点是线段的黄金分割点； （3）解：直线不是直角梯形的黄金分割线．理由如下： ， ，， ，， ，即 ①， 同理，由，得： ，即②， 由①、②得：， ， ． 梯形与梯形上下底分别相等，高也相等， ． 不是直角梯形的黄金分割线． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、含角的等腰三角形、黄金分割、直角梯形等知识点．试题难度不大，理解题中给出的黄金分割点、黄金分割线的概念是正确解题的基础． 3．（2023秋•岳麓区校级期末）定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． （1）已知为边的“幸福线”， ，，，求的长； （2）如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线”，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线” 交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）根据定义推导出，由此可证明，再由相似的性质得到，代入数据即可求； （2）连接，由是边的“幸福线”，推导出，由是的外心，推导出，由是的中点，得到，由此可得是的平分线，推理出，，即可得即可； （3）设，则，由，得，连接延长交于点，求出，即可求出，同理可得，则，四边形面积，当时，四边形面积最大，过点作交于点，根据，求出，再判断出是等腰三角形，进一步求出，再由，，分别求出，，从而得到，，利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，即可求． 【解答】（1）解：为边的“幸福线”， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得； （2）证明：连接， 是边的“幸福线”， ， ， ， 是的外心， ， ， 是的中点， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知是等腰三角形， 设，则， ， ， ， 连接延长交于点， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 同理可得，则， 四边形面积， 当时，四边形面积最大， 此时， 过点作交于点， ， ，即， 解得， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ，， ，， ， 在中，， 在中，， 是直角三角形， ， ． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，弄懂定义是解题的关键． 4．（2023秋•长沙期末）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）点为直线上的一点，它的“级变换点” 在直线上，在，上分别取点，，，．若，求证：； （3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）见证明过程． （3）． 【分析】（1）找出的“级变换点”为：，代入可得． （2）设 ，，找出“级变换点”为，得到直线，把点，，，代入即可． （3）由，，，的“1级变换点”都在直线上，得、都在直线上．联立和得，故，，计算．由得，当时，的值最小；当时，的值最大，再计算即可． 【解答】解：（1）存在． 理由：的“级变换点”为：， 代入得， ． （2）点为直线上的一点， 设 ，， 它的“级变换点”为， ， 直线， ，上分别取点，，，． ，， ， ， ， ， 即， ， ， 即； （3），， 的“1级变换点”为，， 代入直线上得：， 即， 在直线上， 、都在直线上． 由和得： ， ，， ． ， ， ， ， 当时， 的值最小， 最小值是． 当时， 的值最大， 最大值是． ． ，， ． ． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及到新定义、函数的性质和图象，解不等式，理解题意是解题的关键． 5．（2023秋•长沙县期末）我们把与轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”． （1）判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”； ① 　　；② 　　； （2）求出“五好函数” 的“五好距”； （3）①已知“五好函数” 左侧的“五好点”位于和之间（含，两点），求的取值范围； ②不论取何值，不等式恒成立，在①的条件下，函数为常数）的最小值为，求的值． 【答案】（1），； （2）4； （3）①； ②的值为9或． 【分析】（1）根据定义结合函数的性质直接判断即可； （2）利用根与系数的关系求解即可； （3）①当时，对应的，当时，对应的，求出的范围即可； ②令，可知关于的函数有最小值，再由题意可得，即，根据的情况分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）①与轴没有交点，故不是“五好函数”； ②当时，解得或， 与轴有两个不同的交点，故是“五好函数”； 故答案为：，； （2）时，，， “五好距”为； （3）①由题可知当时，，解得或， 当时，，解得， 的取值范围是； ②令， ， 关于的函数有最小值， 不论取何值，不等式恒成立， ，即， ， ， 当时，当时有最小值，即， 此时无解； 当时，当时有最小值，即， 解得（舍或； 当时，， 解得； 综上所述：的值为9或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，弄清定义是解题的关键． 6．（2024春•长沙期末）已知抛物线过点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，，点在线段上（与点，不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点，不重合），使得，求的取值范围． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【分析】（1）运用待定系数法将点、点坐标代入解析式可求解； （2）用待定系数法求得直线的解析式为，可证是等腰直角三角形，设，通过证明，相似三角形的性质得出，则，可证，由面积关系列出方程可求解； （3）通过证明，可得，由待定系数法可求的解析式，联立方程组可求点坐标，由勾股定理可求的长，由二次函数的性质可求解． 【解答】解：（1）抛物线过点和点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线与轴交于点， 当时，， ，则， ， 轴，， 点是的中点， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 如图1，过点作交的延长线于， 则， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 设，则，， ， ， ， ， ， ，即， ， 即， ， ， 即， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 当面积是面积的3倍时， 即， ， 在中，， ， ， 解得：或（舍去）， ，； （3）， 又， ， ， ， 设交轴于点，过点作轴于点，如图2， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ，， ， ， 设，则， ， 整理得：， 点在线段上（与点，不重合）， ， ， 当时，取得的最大值为， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 7．（2023秋•长沙期末）如图，为的外接圆，点为的中点，点为上一点，连接，且，连接交于点，过点作的切线交延长线于点． （1）判断的形状； （2）求证：； （3）已知的半径为，且平分； ①求； ②是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用表示） 【答案】（1）是等边三角形，理由如解析所示； （2）如解析所示； （3）①如解析所示； ②，理由如解析所示． 【分析】（1）是等边三角形．证明，再证明，从而证明结论； （2）连接，延长交于点，连接、、，证明，再证明，从而证明结论； （3）①连接，证明，证明，得到，从而求出结果； ②为定值．设，，，得，，结合，，证明，整理得，从而证明结论． 【解答】（1）证明：是等边三角形，理由如下： 点为的中点， ， ， ， ， ，， 是等边三角形； （2）证明：连接，延长交于点，连接、、， ，， 是线段的垂直平分线， ， 是的切线， ， ， ， ， ； （3）解：①连接， 由（2）得，，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ，且， ， ， ， ， ； ②为定值，理由如下： 设，，， ，， 平分， 点到，的距离相等，设距离为， ， ， ，即， 整理得，即， ． 【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，切线定理，相似三角形的性质与判定，熟练运用圆的性质与相似三角形的性质是解题的关键． 8．（2023秋•雨花区期末）如图，二次函数的图象经过点，，点为二次函数第一象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆与交于点． （1）求，的值； （2）当周长最大时，求此时点坐标及周长； （3）连接、，当时，求出点坐标． 【答案】（1），； （2）点的坐标为，的周长为； （3）点的坐标为或，． 【分析】（1）将，代入中，即可求得函数解析式； （2）证明为等腰直角三角形，得当周长最大时，最长，设，，得到的解析式，根据二次函数的性质求出最值； （3）若，则，得，分两种情况讨论，构造相似三角形，列出方程从而求出点的坐标． 【解答】解：（1）将，代入中， 得， 解得， （2）以为直径的圆与交于点， ， ， ， ， 又， ， 为等腰直角三角形， 当周长最大时，最长， ，， 即可得到直线解析式为：， 设，， ， 当时，， 点的坐标为， 在中，，的周长为； （3）若，则， ， 设，过点和分别作平行于轴、轴的直线，垂足为，直线交于点， ，， ， 又， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 当点在对称轴左边时， ， ， ， ， 延长交轴于， 直线的解析式为， ，， ，，垂直平分线段， ， 解得， 点，； 综上所述，点的坐标为或，． 【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，周长最大值问题，线段最值问题以及相似三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用二次函数的性质及相似三角形的性质解题． 9．（2023秋•浏阳市期末）已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）连接、、，判断的形状并说明理由； （3）在对称轴右侧抛物线上找一点，使得、、构成以为底边的等腰三角形，求出点的坐标及此时四边形的面积． 【答案】（1）； （2）是直角三角形； （3）4． 【分析】（1）将，两点坐标代入二次函数的解析式，求得，，进而求得结果； （2）作轴于，根据得，，，从而得出，从而，求得点坐标，进而得出是等腰直角三角形，进一步得出结果； （3）由对称性可知，与点关于直线对称，从而得出根据求得结果． 【解答】解：（1）由题意得， ， ， ； （2）如图1， 是直角三角形，理由如下： 作轴于， 由得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）如图2， 是以为底的等腰三角形，由对称性可知， 点与点关于直线对称， ， ． 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 10．（2022秋•浏阳市期末）规定：我们把直线叫做抛物线的“温暖直线”．若该直线与该抛物线还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线与抛物线具备“温暖而幸福关系”，否则称直线与抛物线不具备“温暖而幸福关系”． （1）已知直线是抛物线的“温暖直线”，请判断直线与抛物线是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由； （2）已知直线与抛物线不具备“温暖而幸福关系”，当时，抛物线的最小值是，求直线的解析式； 【答案】（1），；（2）或． 【分析】（1）由“温暖直线”的定义得到和的值，然后得到直线和抛物线的解析式，再求两个函数的交点，得到结果； （2）由“温暖而幸福关系”的定义得到与的关系，然后结合二次函数的性质和的取值范围求得与的值，得到直线的解析式． 【解答】解：（1）直线是抛物线的“温暖直线”， ，， 直线，抛物线， 由，得：或， “幸福点”的坐标为，； （2）直线与抛物线不具备“温暖而幸福关系”， 方程，即无解或有两个相等的实数根， ， ， 直线，抛物线， 当时，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ， 解得：， ， 直线的解析式为； 当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 解得：， ， 直线的解析式为； 直线的解析式为或． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解“温暖直线”的定义是解题的关键． 11．（2022秋•芙蓉区校级期末）已知抛物线经过，两点，且与轴交于点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图1，连接，为线段上一点且横坐标为1，是外接圆，求圆心点的坐标； （3）如图2，连接，为线段上任意一点（不与、重合）经过、、三点的圆交直线于点； ①点在运动过程中四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； ②求出当的面积取得最大值时，点的坐标． 【答案】（1）； （2）圆心点的坐标为，； （3）①四边形的面积是定值，这个定值为；②当的面积取得最小值时，点坐标为，． 【分析】（1）根据，两点利用待定系数法求二次函数解析式； （2）先求出直线解析式以及的坐标，再根据是外接圆得圆心必在弦的垂直平分线上，设，，由求得，即可求得圆心点的坐标为，； （3）①如图，作于．根据点、、的坐标可得，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得，然后根据等角对等边可得，再证明，进而得，再证明，即可说明四边形的面积是定值，这个定值为； ②根据四边形的面积是定值，当的面积取得最大值时，的面积最小，当最小时，的面积最小，求得此时的坐标即可． 【解答】解：（1）抛物线经过，两点， ， 解得， 抛物线解析式为：； （2）当时，； ， 设直线， 将代入直线， 得， ， 直线， 为线段上一点且横坐标为1， ， 是外接圆， 圆心必在弦的垂直平分线上， 设，， ， ， 解得， 圆心点的坐标为，； （3）①如图，过作轴于， ，，， ，， ，， 又，， ， ，，即是直角三角形； ， 在与中， ， ， ， ， 四边形的面积是定值，这个定值为； ②四边形的面积是定值， 当的面积取得最大值时，的面积最小， 当最小时，的面积最小， 时，最小，， ，即为中点， ，， 当的面积取得最小值时，点坐标为，． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求三角形外接圆圆心，全等三角形的判定与性质，根据点、、的坐标证明出是直角三角形是解决此题的关键． 12．（2023秋•长沙期末）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是． 【分析】（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可 【解答】解：（1）根据题意得：， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）依题意剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于2200元， ，即， 由得或， ，， 捐款后每天剩余利润不低于2200元，， 答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是． 【点评】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 13．（2022秋•岳麓区校级期末）若抛物线与直线有且只有一个交点，我们就称此直线与抛物线的相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点． （1）若点为抛物线与轴的交点，求以点为切点的该抛物线的切线的解析式； （2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； （3）已知直线、直线是抛物线的两条切线，当与的交点的纵坐标为5时，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，的解析式为； （3）是定值，，理由见解析． 【分析】（1）联立得，根据“抛物线的切点”的定义即可求解； （2）联立得，可得切点为，根据直线与，都相切于同一点，可得经过点，，利用待定系数法得，联立得，由△，可得，，，即可得的解析式为； （3）由与的交点的纵坐标为5，令，则直线、直线，根据“抛物线的切点”的定义得，，即，为的两根，由根与系数的关系可得． 【解答】解：（1）点为抛物线与轴的交点，为切点， ， 设过点的切线的解析式为， 联立， 整理得， 解得，， 由“抛物线的切点”的定义得， ， ， 以点为切点的该抛物线的切线的解析式为； （2）直线与相切， 联立， 整理得， 解得， 切点为， 又直线与，都相切于同一点， 经过点，， ，解得， ， 联立， 整理得， △， ，，， 的解析式为； （3）是定值，，理由如下： 与的交点的纵坐标为5， 令， 直线、直线， 、直线， 直线、直线， 联立得， 由抛物线的切线得：， 同理可得， ，为的两根， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了新定义、二次函数函数的性质、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 14．（2022秋•长沙期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，已知直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求点到直线的距离； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或或或． 【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再求点到直线的距离即可； （3）设，分别求出，，，根据等腰三角形三边关系，分情况建立方程，求出的值即可． 【解答】解：（1）令，则， ， 令，则， ， 将，代入， ， 解得， 函数的解析式为； （2）， ， ，， ，，， ， 是直角三角形， 点到直线的距离为的长， ； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，， ，，， 当时，， 解得， ； 当时，， 解得或（舍， ； 当时，， 解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，勾股定理逆定理是解题的关键． 15．（2022秋•开福区校级期末）如图，已知是半圆的直径，过线段上一动点，作交半圆于点，联结，过点作，垂足为点，的延长线交半圆于点． （1）求证：； （2）若，设，，求关于的函数关系式； （3）如图2，若连接并延长交的延长线于点，当与相似时，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【分析】（1）直接证明即可求解； （2）先证明，再利用相似三角形的性质即可求解； （3）先证明，再证明，即可求解． 【解答】解：（1），， ， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ，设，， ； （3）当与相似时， 则， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 【点评】本题考查了圆的综合应用，掌握相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识是解题的关键． 16．（2022秋•望城区期末）如图①，抛物线，与轴交于，两点在的左边），与轴交于点，顶点为，其中，点坐标为，对称轴为直线． （1）求此抛物线解析式； （2）在第四象限的抛物线上找一点，使，求点的坐标； （3）如图②，点是轴上一点，点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称，当以点，，为顶点三角形是直角三角形时，求的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）点的坐标为； （3）当点坐标为，或，时，以点，，为顶点的三角形是直角三角形． 【分析】（1）根据对称轴为．可得，把代入抛物线即可解决问题； （2）根据对称轴为．，可得求出直线解析式为，由第四象限的抛物线上找一点，使，可得，然后求出直线的解析式为，联立方程组即可解决问题； （3）设对称轴交轴于点，作轴于，作对称轴于，然后分三种情况讨论解答即可． 【解答】解：（1）对称轴为． ， ， 把代入抛物线， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）对称轴为．， ， 直线过，点， 直线解析式为， 在第四象限的抛物线上找一点，使， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 直线的解析式为， 联立方程组得， 解得，（舍去）， 点的坐标为； （3）如图，设对称轴交轴于点，作轴于，作对称轴于， 点是轴上一点， 设， 点与点关于点成中心对称， ， 点坐标为， ， ， ， 点与点关于点成中心对称，顶点， 坐标为，坐标为， 根据勾股定理得： ， ， ， ①当时，，解得， 点坐标为，． ②当时，，解得， 点坐标为，． ③， ， ， 综上所得，当点坐标为，或，时，以点，，为顶点的三角形是直角三角形． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，对称的性质，掌握二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． 17．（2023秋•长沙期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点． （1）求点，，的坐标； （2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形； （3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）当时，四边形是平行四边形； （3）存在，点的坐标为，，． 【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论； （2）如图所示：根据平行四边形的性质得到，设点的坐标为，则，列方程即可得到结论； （3）设点的坐标为，分两种情况：①当时，根据勾股定理列方程求得，（不合题意，舍去），②当时，根据勾股定理列方程求得：，，于是得到结论． 【解答】解：（1）， 令，得：， 解得：，， 令得，， ，，； （2）当时，四边形是平行四边形， 点与点关于轴对称， 点，， 直线为， 由题可得，， 则， 解得，（舍去）， 因此当时，四边形是平行四边形； （3）存在， 当时，有， 即， 解得：，（舍去）， 有； 当时，有， 即， 解得：，， 有，； 综上所述：点的坐标为，，． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，掌握坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 18．（2023秋•长沙期末）问题发现： （1）如图1，内接于半径为4的，若，则　　； 问题探究： （2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值； 解决问题： （3）如图3，一块空地由三条直路（线段、、和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）证明，则，即可求解； （2）证明、、、四点共线且为直径时，四边形的面积最大，即可求解； （3）证明、、、四点共圆，，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，连接、，过点作于点， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， 则； 故答案为； （2）如图2，连接，过点作于点，过点作于点， 四边形的面积， 当、、、四点共线且为直径时，四边形的面积最大； ， ， ， 在中，由（1）知，， 四边形的面积的最大值为：， 故四边形的面积的最大值为； （3）如图3，过点作于点，连接， 在中，，同理， 则，则 ，故为直角三角形，同理为直角三角形， 在中，， ，，， ， ， 为等边三角形； 设所在的圆的圆心为，连接、、， ，，， ， ， 在中，，，， 过点作于点， 则， 故、、、四点共圆， ， 如图4，连接，在上取， 为等边三角形， ， △为等边三角形，则， ，，， △， ， ， 故当是直径时，最大值为2； 四边形的周长， 而最大值为2； 故四边形的周长的最大值为：， 即四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大为． 【点评】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 19．（2022秋•开福区校级期末）如图1，在矩形中，点是边的中点，点在边上，，垂足为． （1）如图2，当矩形为正方形时，则　　； （2）如图3，在（1）的条件下即矩形为正方形时，已知，过点作交于点，使得，求的长； （3）如果，，，求与的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）的长是； （3）与的函数关系式为，自变量的取值范围是． 【分析】（1）设，由正方形的性质得，，所以，根据勾股定理求得，由，得，则，所以，，则； （2）作于点，连接，可证明，得，，再证明，得，由勾股定理得，则； （3）延长、交于点，设，由，得，则，，所以，则，，再证明，则，即可求得与的函数关系式为，自变量的取值范围是． 【解答】解：（1）如图2，设， 四边形是正方形，点是边的中点， ，，， ，， 于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）如图3，作于点，连接， ，点是边的中点， ， ，，， ， ，， ，，， ， ， ，且，， ， 解得， 的长是． （3）如图4，延长、交于点，设， 四边形是矩形，点是边的中点， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 于点， ， ， ， ， ， ， 线段的长为正数， ， 与的函数关系式为，自变量的取值范围是． 【点评】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、根据相似三角形的对应边成比例求函数关系式等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考查压轴题． 20．（2022秋•长沙期末州）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点． （1）请直接写出点的坐标：　　； （2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标及此时与正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点的坐标即可求得正方形的边长，从而求得点的纵坐标； （2），，利用得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可； （3）分点位于轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积． 【解答】解：（1）将点的坐标代入二次函数的解析式得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：，， ， ； （2）设，， 由得， ， ， ， 当时，有最大值， 即为中点时，的最大值为； （3）存在． ①点点在轴左侧时，交于点， 由得， ， ，可得， ， ， ， 重叠部分的面积， ②当点在轴右侧时，设交于点， 同理得得， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 重叠部分的面积， 此时重叠部分的面积为． 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大． 21．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有 　菱形、正方形　； ②若矩形是“美丽四边形”，且，则　　； （2）如图1，“美丽四边形” 内接于，与相交于点，且对角线，为直径，，，求另一条对角线的长； （3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形” 的四个顶点，，在第三象限，在第一象限，与交于点，且四边形的面积为，若二次函数、、为常数，且的图象同时经过这四个顶点，求的值． 【答案】（1）①菱形、正方形；②或； （2）； （3）或． 【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断． ②矩形对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于．由于边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算． （2）过点作垂直，连接，由可求得，在中勾股定理可求，再由垂径定理可得． （3）由与轴成角可知直线解析为，由二次函数图象与轴交点为、可设解析式为，把两解析式联立方程组，消去后得到关于的一元二次方程，解即为点、横坐标，所以用韦达定理得到和进而得到用表示的．又由四边形面积可求得，即得到关于的方程并解方程求得． 【解答】解：（1）①菱形、正方形的对角线互相垂直， 菱形、正方形不是“美丽四边形”， 故答案为：菱形、正方形； ②设矩形对角线相交于点， ，，，， ， 矩形是“美丽四边形”， 、夹角为， 如图1，若为较短的边，则， 是等边三角形， ， 在中，， ； 如图2，若为较长的边，则， 是等边三角形， ， 在中，， ， 故答案为：或； （2）过点作于点，连接， ，， ，， 直径， ， ， 四边形是“美丽四边形”， ， 在中，， ， 在中，， ； （3）过点作轴于点，过点作轴于点， ， 四边形是“美丽四边形”， ， ， 即， 直线解析式为， 二次函数的图象过点、， 即与轴交点为、， 用交点式设二次函数解析式为， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， 解得：，， 的值为：或． 【点评】本题考查了新定义的理解和性质应用，掌握菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 22．（2022秋•长沙期末）如图，圆的半径，弦交的延长线于圆外一点． （1）如图1，连接，，若，求； （2）如图2，连接，若，求的取值范围； （3）如图3，连接，，若此时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由四边形是的内接四边形，可得，故； （2）过作于，过作于，连接，，由垂径定理和勾股定理可得，，，，即得，，故，而四边形是矩形，有，所以，根据，即可得的范围； （3）先求，过作于，过作于，连接交于，延长交于，连接，证明，得，即，知，同（2）可得，故；再求，过作于，过作于，连接并延长交于，连接，，，，根据圆的性质可得，从而，得，由，，可得，，，，故，即可得，所以． 【解答】解：（1）四边形是的内接四边形， ， ， ； （2）过作于，过作于，连接，，如图： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （3）先求，过作于，过作于，连接交于，延长交于，连接，如图： 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 同（2）可得， ； 再求，过作于，过作于，连接并延长交于，连接，，，，如图： 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ，即， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 方法 连接并延长交于，连接，，如图： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是掌握圆的相关性质． 23．（2021秋•开福区校级期末）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在和中，若，且，则和是“青竹三角形”． （1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 　②④　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）如图2，中，，，点是上任意一点（不与点、重合），设、、的长分别为、、，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含、的式子来表示； （3）如图3，的半径为4，四边形是的内接四边形，且和是“青竹三角形”． ①求的值； ②若，，求和的周长之差． 【答案】（1）②④； （2）和是“青竹三角形”， ； （3）①64；②． 【分析】（1）根据“青竹三角形”定义可知：矩形和正方形是“青竹三角形”，即得答案； （2）过作于，根据，，得，，，故和是“青竹三角形”，由，，，，，可得，在中，，即得； （3）①连接并延长交于，连接、，由和是“青竹三角形”，得，可证，从而，即得，在中，，故的值为64； ②连接并延长交于，连接、，过作于，由，可得，即有，而，即得，，故，根据，，，在中，可得，从而可在中，得，即得和的周长之差． 【解答】解：（1）根据“青竹三角形”定义可知：矩形和正方形一条对角线把它分成的两个三角形，两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等， 矩形和正方形是“青竹三角形”， 故答案为：②④； （2）和是“青竹三角形”， ，理由如下： 过作于，如图： ，， ，， 且， 和是“青竹三角形”， ，， ， ，，， ， ， 在中，， ， ； （3）①连接并延长交于，连接、，如图： 和是“青竹三角形”， ， 是直径， ， ， 又，， ，， ，， ， 又， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， 即的值为64； ②连接并延长交于，连接、，过作于，如图： ， ， 由①知， ， ， ， ， 和是“青竹三角形”， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 在中，， 和的周长之差． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及新定义、等腰直角三角形性质与判定、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 24．（2021秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，点的坐标为，与轴于交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图，过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）；（3）在点运动过程中的值不变，其值为． 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，用待定系数求函数解析式即可； （2），则，，即可求解； （3）连接，，，则，，故，则，即可求解． 【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）当时，，故的坐标为， 令，则（舍去）或，故点， 如图，连接，作于， ，，， ，，， ， ， ， ， ； （3）不变． 如图，连接，， 过点作的切线交1于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在点运动过程中的值不变，其值为． 【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换． 25．（2021秋•开福区校级期末）如图，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是线段上方抛物线上一点，过点作，交轴于点，连接交于点，当取得最小值时，求点的横坐标； （3）点为抛物线的顶点，抛物线对称轴与轴交于点，连接，点是抛物线上的动点，设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②过点作轴，与抛物线交于点，为轴上一点，连接，，将沿着翻折，得，若四边形恰好为正方形，求的值． 【答案】解：（1）； （2）； （3）①或； ②或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式； （2）由平行线可得，当有最大值时有最小值，设，过点的直线的解析式为，则，当时，有最小值； （3）①由，过点作轴交于点，则，所以，求出或，即可求，或，； ②根据正方形的对称性可知、的横坐标为1，再由，求出，可得，解得或． 【解答】解：（1）设， 将，，代入， ， 解得， ； （2）， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设， 过点的直线的解析式为， ，， ， ， 当时，有最小值， 有最小值， 此时点横坐标为； （3）①， ，， ，， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ，， ， 解得或， ，或，； ②四边形恰好为正方形， ， 、关于直线对称， 、的横坐标为1， ， ， ， ， 解得或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$