专题08 垂径定理与弧、弦、圆心（周）角（5基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

　 　 专题08 垂径定理与弧、弦、圆心（周）角 垂径定理 一．垂径定理（共7小题） 1．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，的半径为5，弦，于点，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023春•雨花区校级期末）如图，线段是的直径，于点，若长为16，长为6，则半径是　　 A．5 B．6 C．8 D．10 3．（2023秋•雨花区期末）如图，的直径为10，弦长为8，点在上运动，则的最小值是 　 　． 4．（2023秋•浏阳市期末）如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点，则经过点的所有弦中最短的弦长为　 　． 5． （2022秋•雨花区期末） 如图，在半径为的中，，于点，则等于　 　 ________． 6．（2022秋•开福区校级期末）如图，在直径为的中，，弦于点，则等于 　 　． 7．（2022秋•开福区校级期末）如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为　 　． 垂径定理的应用 8．（2022秋•长沙期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为　　 A． B． C． D． 9．（2022秋•长沙期末）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径　　 A．6米 B．米 C．7米 D．米 10．（2021秋•长沙县期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 　 　米． 圆心角、弧、弦的关系 11．（2023秋•长沙县期末）下列说法中，正确的是　　 A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 12．（2021秋•长沙县期末）下列说法正确的是　　 A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．等弧所对的弦相等 13．（2022秋•望城区期末）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若． （1）求的长； （2）求的半径． 圆周角定理 14．（2023秋•浏阳市期末）如图在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则度数是　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•开福区校级期末）如图，是的直径，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，，，是上的三个点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 18．（2023春•雨花区校级期末）如图，点、、在圆上，若，则 的度数为　　 A． B． C． D． 19．（2022秋•开福区校级期末）如图，是的直径，，点在直径上方的上，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 20．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，，，是上的三个点，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 21．（2022秋•长沙期末）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是　　 A． B． C．平分 D． 22．（2022秋•开福区校级期末）如图，已知是的圆心角，，则圆心角的度数是 　 　． 23．（2023秋•长沙县期末）如图，在中，弦，相交于点，连接，已知． （1）求证：； （2）连接、，若，的半径为4，求的长． 24．（2022秋•望城区期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径，，垂足为． （1）延长交于点，延长，交于点，如图．求证：是等腰三角形； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，且点和点都在的左侧，如图．若，，， ①求的半径； ②求的大小． 圆内接四边形的性质 25．（2023秋•长沙期末）如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 26．（2022秋•芙蓉区校级期末）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为　　 A． B． C． D． 27．（2021秋•岳麓区校级期末）如图，四边形内接于，，则的度数为　　 A． B． C． D． 28．（2021秋•雨花区期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 29．（2021秋•雨花区校级期末）如图，四边形内接于，已知，则的大小是　　 A． B． C． D． 30．（2021秋•长沙县期末）四边形内接于圆，若，则　 　度． 利用垂径定理求平行弦问题 1．（2022秋•长沙期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 2．（2022秋•长沙期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 3．（2022秋•长沙期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 垂径定理的实际应用 4．（2022秋•长沙期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（    ） A． B． C． D． 5．（2021秋•长沙期末）如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A．4cm B．2cm C．cm D．cm 6．（2022秋•长沙期末）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm． 7．（2022秋•长沙期末）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？ 已知圆内接四边形求角度 8．（2024·湖南长沙·期末）如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为（　）    A． B． C． D． 9．（2022秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在y 轴正半轴上，⊙D 经过 A，B，O ，C 四点， ， ，则圆心点 D 的坐标是(　　)    A． B． C． D． 10．（2022秋•长沙期末）如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（2022·湖南长沙·期末）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=108°，则∠α=（       ） A．72° B．108° C．120° D．144° 12．（2022秋•长沙期末）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△和中，若，且，则△和是“青竹三角形”． （1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）如图2，△， ，，点是上任意一点（不与点、重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示； （3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”． ①求的值； ②若，，求△ABC和△ADC的周长之差． 求四边形外接圆的直径 13．（2023秋•长沙期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 14．（2022秋•长沙期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（    ） A．2 B．4 C． D． 15．（2022秋•长沙期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 16．（2023秋•长沙期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$　 　 专题08 垂径定理与弧、弦、圆心（周）角 垂径定理 一．垂径定理（共7小题） 1．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，的半径为5，弦，于点，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案． 【解答】解：，， ， 在中，，， 由勾股定理可得：． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键． 2．（2023春•雨花区校级期末）如图，线段是的直径，于点，若长为16，长为6，则半径是　　 A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】 【分析】连接，如图，先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可． 【解答】解：连接，如图， ， ， 在中，， 即半径为10． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 3．（2023秋•雨花区期末）如图，的直径为10，弦长为8，点在上运动，则的最小值是 　 　． 【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当时，的值最小．连接，在直角三角形中由勾股定理即可求得的长度． 【解答】解：当时，的值最小， 则， 如图所示，连接， 在中，，， 则根据勾股定理知，即的最小值为3． 【点评】本题主要考查了勾股定理、垂径定理．注意两点之间，垂线段最短是解答此题的关键． 4．（2023秋•浏阳市期末）如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点，则经过点的所有弦中最短的弦长为　 　． 【分析】先画出最短弦，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【解答】解：过作弦，则是过点的的最短的弦，连接， 则由垂径定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， 则， 故答案为：8． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质等知识点，关键是找出符合条件的最短弦． 5． （2022秋•雨花区期末） 如图，在半径为的中，，于点，则等于　 　． 【答案】6． 【分析】连接，如图，先利用垂径定理得到，然后根据勾股定理计算的长． 【解答】解：连接，如图， ， ， 在中，． 故答案为6． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 6．（2022秋•开福区校级期末）如图，在直径为的中，，弦于点，则等于 　 　． 【答案】． 【分析】根据垂径定理可知的长，再根据勾股定理即可求出的长． 【解答】解：连接，如图： ，， ， 直径为， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．（2022秋•开福区校级期末）如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为　 　． 【分析】连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可． 【解答】解：连接， 为的直径，， ， 设的半径为， 则，， 在中，， ， 解得：， 的半径为5， 故答案为：5． 【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键． 垂径定理的应用 8．（2022秋•长沙期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【解答】解：，， ． 在直角中， 根据勾股定理得： ， 解得，或， ， 不合题意，舍去， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 9．（2022秋•长沙期末）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径　　 A．6米 B．米 C．7米 D．米 【答案】 【分析】设此圆的半径为米，则米，米，由垂径定理得米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设此圆的半径为米，则米，米， 由题意得：米，， （米 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即此圆的半径米， 故选：． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 10．（2021秋•长沙县期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 　 　米． 【分析】连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【解答】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 圆心角、弧、弦的关系 11．（2023秋•长沙县期末）下列说法中，正确的是　　 A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【答案】 【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可． 【解答】解：、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． 、正确，本选项符合题意． 、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． 、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．（2021秋•长沙县期末）下列说法正确的是　　 A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对、、进行判断；根据垂径定理的推论对进行判断． 【解答】解：、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以选项的说法错误； 、平分弦（非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，所以选项的说法错误； 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角对应相等，所以选项的说法错误； 、等弧所对的弦相等，所以选项的说法正确． 故选：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 13．（2022秋•望城区期末）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若． （1）求的长； （2）求的半径． 【分析】（1）由四边形为正方形，得，则，又，，求出； （2）连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径． 【解答】解：（1）如图， 四边形为正方形， ，， ， ， ； （2）， 连接， 则为直角三角形， 于是． 即的半径为． 【点评】此题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据角的度数求出是等腰直角三角形，得出，作出辅助线，利用勾股定理求解． 圆周角定理 14．（2023秋•浏阳市期末）如图在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解． 【解答】解：，为的半径． ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键． 15．（2022秋•开福区校级期末）如图，是的直径，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接．求出即可解决问题． 【解答】解：如图，连接． 是直径， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，，，是上的三个点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，，是上的三个点，若，直接利用圆周角定理求解即可求得答案． 【解答】解：，，是上的三个点，， ． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 17．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，点，，在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得出，再求出答案即可． 【解答】解：点、、都在上， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，注意：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 18．（2023春•雨花区校级期末）如图，点、、在圆上，若，则 的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理求得的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握． 19．（2022秋•开福区校级期末）如图，是的直径，，点在直径上方的上，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用圆周角定理． 【解答】解：是的直径，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，，，是上的三个点，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质求出的度数即可． 【解答】解：如图，在优弧上上取点，连接、， 由圆周角定理得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 21．（2022秋•长沙期末）如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是　　 A． B． C．平分 D． 【答案】 【分析】先利用圆的定义可判断点、、、在上，如图，然后根据圆周角定理对各选项进行判断． 【解答】解：点为线段的中点，点，，到点的距离相等， 点、、、在上，如图， 为直径， ，所以选项的结论正确； 和都对， ，所以选项的结论正确； 只有当时，，所以选项的结论不正确； 四边形为的内接四边形， ，所以选项的结论正确． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 22．（2022秋•开福区校级期末）如图，已知是的圆心角，，则圆心角的度数是 　 　． 【答案】． 【分析】由圆周角定理，即可得到答案． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 23．（2023秋•长沙县期末）如图，在中，弦，相交于点，连接，已知． （1）求证：； （2）连接、，若，的半径为4，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可； （2）连接、，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：， ， ，即， ； （2）连接、， ，， ， 由圆周角定理得：， 的长． 【点评】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． 24．（2022秋•望城区期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径，，垂足为． （1）延长交于点，延长，交于点，如图．求证：是等腰三角形； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，且点和点都在的左侧，如图．若，，， ①求的半径； ②求的大小． 【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析；（2）①1，②． 【分析】（1）由圆内接四边形的性质即可证明； （2）①由平行四边形的性质，等边三角形的性质，可求解； ②由圆周角定理，等腰三角形的性质，可计算． 【解答】（1）证明：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）连接，；和交于点， ①是直径， ， ， ， 同理：， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， 的半径长是1； ②， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆的有关知识，关键是掌握并灵活应用圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的判定和性质． 圆内接四边形的性质 25．（2023秋•长沙期末）如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【解答】解：， ， ， ， ， 四边形内接于， ． 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 26．（2022秋•芙蓉区校级期末）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的概念求出即可． 【解答】解：的度数为， ， 四边形内接于， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 27．（2021秋•岳麓区校级期末）如图，四边形内接于，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：四边形内接于，， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 28．（2021秋•雨花区期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：， ， 四边形内接于， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 29．（2021秋•雨花区校级期末）如图，四边形内接于，已知，则的大小是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质求得，利用圆周角定理，得． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ． ． 故选：． 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出的度数是解题关键． 30．（2021秋•长沙县期末）四边形内接于圆，若，则　 　度． 【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：四边形内接于， ， ， ， 故答案为：70． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 利用垂径定理求平行弦问题 1．（2022秋•长沙期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 2．（2022秋•长沙期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为 ． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 3．（2022秋•长沙期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂径定理的实际应用 4．（2022秋•长沙期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得： 则 解得：或4， 根据题中，可知不合题意，故舍去， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 5．（2021秋•长沙期末）如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A．4cm B．2cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，根据折叠的性质及垂径定理得到AE=BE，再根据勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E， ∵折叠后恰好经过圆心， ∴OE=DE, ∵半径为4， ∴OE=2， ∵OD⊥AB， ∴AE=AB， 在Rt△AOE中，AE==2 ∴AB=2AE=4 故选A. 【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用. 6．（2022秋•长沙期末）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm． 【答案】8 【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求． 【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB=2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm． ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD=3mm． 在Rt△AOD中，∵mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm 故答案为8 【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键． 7．（2022秋•长沙期末）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？ 【答案】寸 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设圆O的半径的长为x，则 ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得： 所以（寸）． 已知圆内接四边形求角度 8．（2024·湖南长沙·期末）如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为（　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．由垂径定理，即；由等腰三角形的性质可得，即，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵弦， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴． 故选：B． 9．（2022秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在y 轴正半轴上，⊙D 经过 A，B，O ，C 四点， ， ，则圆心点 D 的坐标是(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则D点为的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，所以然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标． 【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∴D点坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补．含30度的直角三角形三边的关系，半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质，中点坐标公式，掌握圆内接四边形的性质和含30度的直角三角形三边的关系是解题的关键． 10．（2022秋•长沙期末）如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 11．（2022·湖南长沙·期末）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=108°，则∠α=（       ） A．72° B．108° C．120° D．144° 【答案】D 【分析】作所对的圆周角∠ADB，如图，先根据圆内接四边形的性质求出∠ADB=72°，然后根据圆周角定理得到∠α的度数． 【详解】解：作所对的圆周角∠ADB，如图， ∵∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠ADB=180°-108°=72°， ∵∠ADB=∠AOB， ∴∠α=2×72°=144°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 12．（2022秋•长沙期末）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△和中，若，且，则△和是“青竹三角形”． （1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）如图2，△， ，，点是上任意一点（不与点、重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示； （3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”． ①求的值； ②若，，求△ABC和△ADC的周长之差． 【答案】（1）②④；（2）△ACD和△BCD是“青竹三角形”；；（3）①AD2+BC2的值为64；②△ABC和△ADC的周长之差为． 【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的内角性质及“青竹三角形”的定义解题； （2）由等腰直角三角形的性质得到，，从而得到，可判断△ACD和△BCD是“青竹三角形”再根据勾股定理解题； （3）①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，由直径所对的圆周角为90°，根据题意得△ABC和△ADC是“青竹三角形”，再证明△AEC≌△CBA（AAS），得到AE=BC，在Rt△EAD中，由勾股定理解得AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=64； ②先推出，再推出，从而得，进而即可得到△ABC和△ADC的周长之差． 【详解】解：（1）矩形与正方形的每个内角都为90°，它们的一条对角线可以将矩形、正方形分成两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形， ②④符合题意，①③不符合题意， 故答案为：②④； （2）中，， ， △ACD和△BCD是“青竹三角形” 过点D作 四边形是矩形， 与都是等腰直角三角形， 中， ； （3）①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图： ∵△ABC和△ADC是“青竹三角形” ∴∠ACD+∠BAC=90°， ∵DE是⊙O直径 ∴∠ECD=90° ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠BAC=∠ACE， 又∵ ∴∠AEC=∠ABC 在△AEC与△CBA中 ∴△AEC≌△CBA（AAS） ∴AE=BC ∴在Rt△EAD中，AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=82=64， ∴AD2+BC2的值为64； ②∵△ABC和△ADC是“青竹三角形” ∴∠ACD+∠BAC=90°， ， ，四边形ABCD是圆的内接四边形， 中， ∵△ABC和△ADC的周长之差=AB+BC-AD-CD AE=BC,EC=BA ∴AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC= ∴△ABC和△ADC的周长之差为． 【点睛】本条考查圆的性质及综合运用、新定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是90°、圆周角定理等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 求四边形外接圆的直径 13．（2023秋•长沙期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 14．（2022秋•长沙期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 15．（2022秋•长沙期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 16．（2023秋•长沙期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【详解】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．    ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$