专题01 有理数（考题猜想，易错必刷50题13种题型）（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题01 有理数（易错必刷50题13种题型专项训练） · 试卷第2页，共28页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 · 正负数的应用有理数的定义与分类 · 相反数 · 有理数大小的比较 · 有理数的减法 · 有理数的除法运算 · 非负数性质的应用 · 数轴 · 绝对值 · 有理数的加法 · 有理数的乘法 · 有理数的乘方运算 · 有理数的混合运算 一、正负数的应用（共4小题） 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）8月18日，“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋海域顺利完成了航次首潜，这是我国自主设计、自主集成的首台7000米级大深度载人潜水器“蚊龙号”的第300次下潜，若下潜100米记作米，则上浮60米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据下潜100米记作米，则上浮60米记作米，即可作答． 【详解】解：∵下潜100米记作米， ∴上浮60米记作米， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如下显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）青龙祖山最高峰天女峰比海平面高米，记作米，太平洋最深处马里亚纳海沟比海平面低米，记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查正负数，理解正负数的意义是关键； 根据正负数的意义解题即可； 【详解】解：青龙祖山最高峰天女峰比海平面高米，记作米， 太平洋最深处马里亚纳海沟比海平面低米，记作米； 故选：B 4．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果商店收入400元记作+400元，那么商店支出300元，可记作 元． 【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果商店收入400元记作元，那么商店支出300元，可记作元． 故答案为：． 二、有理数的定义与分类（共3小题） 5．（24-25七年级上·河北邢台·期中）0是（    ） A．负数 B．分数 C．正数 D．整数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类，根据0既不是正数也不是负数，是整数，进行判断即可． 【详解】解：0是整数； 故选D． 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列各数：4，，，，0，中，非负数有 ；整数有 ；分数有 ． 【答案】 4，，0， 4，，0 ，， 【分析】此题考考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：4，，，，0，中，非负数有4，，0，；整数有4，，0；分数有，，． 故答案为：4，，0，；4，，0；，，． 7．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知圈A表示整数，圈B表示正数，圈C表示分数． (1)圈D表示 数，圈 E表示 数． (2)给出下列各数：15，，，0，，1，，，，请将它们填入图中相应的圈中去． 【答案】(1)正整，正分 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的特点及分类是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）既符合整数又符合正数特点的数为正整数，既符合正数又符合分数特点的数为正分数； （2）根据图中数的特点，填入图中相应的圈即可． 【详解】（1）解：圈D表示正整数，圈E表示正分数， 故答案为：正整数，正分数； （2）解：如图所示， 三、数轴（共4小题） 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在数轴上，点，分别表示数，，将点向右平移个单位长度，得到点．若是中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 根据数轴上两点间的距离，即可求解； 【详解】解：将点向右平移个单位长度，得到点， 代表的点为：， 是中点， 则， 则， ， ， 故选：B 9．（22-23七年级上·北京海淀·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴， 根据有理数a，b在数轴上的对应点的位置，一一判断即可． 【详解】解：．由数轴可知，，原结论错误，故该选项不符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论正确，故该选项符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论错误，故该选项不符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形在数轴上绕着顶点顺时针连续无滑动翻转，翻转次后，点在数轴上所对应的数为．在正方形连续翻转的过程中，下列说法错误的是（   ） A．翻转次后，点与在数轴上表示“”的点重合 B．翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“” C．在翻转过程中，顶点可与数轴上表示“”的点重合 D．连续翻转次后，数轴上数“”所对应的点是 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．根据翻转得到规律，进而分析即可得解． 【详解】解：实际操作可得每翻转次，正方形相对于数轴的方位与未翻转时一致， 翻转次后，点落在数轴上表示“”的点处，故项说法正确； 翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“”，故说法正确； 在翻转过程中，顶点落在数轴上时，其表示的数依次是，，，，．…，点落在数轴上时所表示的数不会是，故说法错误； 因为每次翻转为一个循环组，所以，所以数轴上数“”所对应的点是，故说法正确， 故选：． 11．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 【详解】解：当长厘米的线段的端点与整数点重合时， 两端与中间的整数点共有个， 当长厘米的线段的端点A不与整数点重合时， 中间的整数点只有个， 故选：D． 四、相反数（共2小题） 12．（21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列各对数中，互为相反数的是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的意义和多重符号的化简，本题将各数化简后判断即可求解． 【详解】解：A、与相等，故选项不符合题意； B、与相等，故选项不符合题意； C、， ，与互为相反数，故选项符合题意； D、与不是相反数，故选项不符合题意； 故选：C． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，表示数a的点在线段上，则表示数a的相反数的点所在的线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数与数轴，根据题意，可知表示数的点在线段上，则，可得，即可得解．熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 【详解】解：∵由数轴可知，表示数的点在线段上， ∴， ∴， ∴表示的点所在的线段是． 故选：D． 五、绝对值（共3小题） 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，则m的值可能是（   ） A． B．2 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值．根据绝对值的意义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴m的值可能是， 故选：A． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较各数绝对值的大小即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，，在数轴上与原点距离最远的是， 故选：． 16．（23-24七年级上·吉林·期中）我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数． 【答案】(1)3；5 (2)或 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）先根据以上的方法求出再解方程即可． 【详解】（1）解：4和1之间的距离是，和3之间的距离是， 故答案为：3，5； （2）解:由题意得：，即， 或， 或， 故答案为：或． 六、有理数大小的比较（共3小题） 17．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上的点A表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，根据数轴上点的位置比小，比大，据此即可求解． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数大于，小于， ∴数轴上的点A表示的数可能是， 故选：C． 18．（15-16七年级上·江苏盐城·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较．根据两个负数比大小，绝对值大的反而小作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来：．    【答案】，在数轴上表示各数见详解 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数大小比较，先在数轴上表示出各数，然后进行比较大小即可． 【详解】解：在数轴上表示各数如图所示，   ． 七、有理数的加法（共5小题） 20．（2022·云南昆明·三模）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算,根据题意列出算式成为解题的关键． 由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，据此列式即可． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故选：A． 21．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题目中的解答过程，可以发现第二步的依据错误，然后即可判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是分配律． 故选：B． 22．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）在“”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便运算，则这个数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是加法运算定律地运用． 根据题意知，分母与题干中的分母相同可以运用加法的交换律和结合律，据此判断即可． 【详解】解：当“”里的数为分母含有13或8时，可用交换律和结合律， 即； 故选：A． 23．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知一组数：，0，，3，，． (1)在这组数中负整数是______； (2)计算这组数据中非正数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法，有理数的分类，掌握有理数加法的法则是解题的关键． （1）负整数，既是负数又是整数，据此判定； （2）非正数就是零和负数，先找出非正数，再相加即可． 【详解】（1）解：在这组数中负整数是：， 故答案为：； （2）解：这组数据中非正数有：，0，，， ∴． 24．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ ， ． ， ． ， ． 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______． 【运用】 (2)计算：； (3)化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】(1) 绝对值相加 这个数的绝对值 (2) (3) 【分析】（1）根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． （2）先计算括号里，再计算括号外面的解答即可； （3）分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值． （2）解：． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 八、有理数的减法（共3小题） 25．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图是未来一星期天气预报，其中温差最大的是（    ） A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【分析】本题考查气温日较差（温差）的计算，关键在理解题意和掌握有理数的减法法则． 气温日较差是指一天中气温的最高值与最低值之间的差，据此可求各天的温差进而得出正确答案． 【详解】解：这周各天的温差（单位）如下： 星期一，星期二，星期三，星期四，星期五，星期六，星期日， 故星期一的温差最大，是， 故选：B． 26．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，解决本题时需注意时间表上的数值越大说明时间越早，这与平时的计算稍有区别，需认真考虑． 根据已知可得，数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时，距离这个时间的长短就是对应数的绝对值，没到的为负，已经超过的为正即可判断． 【详解】解：北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字， 故数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时， ∴当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是， 故选C． 27．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，深刻理解正负数的含义是解题的关键． 根据题意算出球的直径上限和直径下限，然后逐项判断即可． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， 所以只要乒乓球的直径在和之间都合格， 分析各选项可知：只有处于该范围之外， 故选：． 28．（11-12七年级上·吉林长春·期末）小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)小虫离开出发点O最远是 厘米． (2)小虫是否回到了原点O？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)12 (2)小虫回到了原点O (3)54粒 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用： （1）分别求出七次爬行后小虫与点O的距离，比较即可得到答案； （2）根据（1）所求第七次爬行后距离点O为，则小虫回到了原点O； （3）求出小虫七次爬行的总距离即可得到答案． 【详解】（1）解：第一次爬行后距离点O为， 第二次爬行后距离点O为， 第三次爬行后距离点O为， 第四次爬行后距离点O为， 第五次爬行后距离点O为， 第六次爬行后距离点O为， 第七次爬行后距离点O为， ∴小虫离开出发点O最远是12厘米， 故答案为：12； （2）解：由（1）可知第七次爬行后距离点O为， ∴小虫回到了原点O； （3）解： ， ∴小虫一共爬行了， ∴小虫共可得到54粒芝麻． 九、有理数的乘法（共5小题） 29．（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． 先算乘法，再计算加减法． 【详解】解： ， 故选：A． 30．（24-25七年级上·河北唐山·期中）若■表示最大的负整数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，最大的负整数为，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵■表示最大的负整数， ∴■表示的数为， ∴， 故答案为；． 31．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算和有理数的减法计算： （1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行求解即可； （2）根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（23-24七年级下·河北保定·期中）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算，看谁算得又快又正确．嘉嘉和淇淇的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式 (1)淇淇的解法运用了哪种运算律？ (2)请你再写出一种解法． 【答案】(1)乘法分配律 (2)见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算律． （1）由题意可知，淇淇的解法运用了乘法分配律； （2）由原式，再由乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：淇淇的解法运用了乘法分配律； （2）解：原式． 33．（23-24七年级下·河北保定·期中）有30箱水果，以每箱25千克为标准，超过和不足的质量分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准的差/千克 0 1 1.5 箱数/箱 2 9 4 5 6 4 (1)30箱水果中，最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； (2)与标准质量相比，30箱水果总计超过或不足多少千克？ (3)若这种水果每千克售价8.65元，则出售这30箱水果一共可卖多少元？（结果精确到1元） 【答案】(1)3.5 (2)与标准质量相比，30箱水果总计不足3千克 (3)6462元 【分析】本题考查了正数和负数，熟悉掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）用表格中最大的数减去最小的数即可； （2）求出表格中所记录的数据和即可； （3）先求得总质量，再乘以8.65元即可． 【详解】（1）解：千克． 故答案为：3.5； （2）解：∵． ∴与标准质量相比，30箱水果总计不足3千克； （3）解：元． ∴这30箱水果一共可卖6462元． 十、有理数的除法运算（共5小题） 34．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）把转化为乘法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法法则，除以一个非零的数等于乘以这个数的倒数． 根据有理数的除法法则解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 35．（24-25七年级上·河北邢台·期中）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，将错就错求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 36．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加法和除法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则和除法法则判断即可． 【详解】解：∵根据题意，数轴上的，且，， ∴与异号且绝对值大，即，，， 则原点的位置在两点之间，且靠近点， 故选：C． 37．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，先把除法转化为乘法，然后约分解题即可． （1）把除法化为乘法，然后月份解题即可； （2）把除法化为乘法，利用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 38．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步）． (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，错误原因是 ． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)第二步，没有按同级运算从左至右运算；第三步，符号弄错 (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算．熟练掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，第一处错误是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处错误是第三步，错误原因是符号弄错． （2）解：原式 ． 十一、有理数的乘方运算（共4小题） 39．（14-15七年级上·福建南平·期中）对乘积记法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方．根据乘方的意义，可知4个相乘，可记为． 【详解】解：． 故选：A． 40．（24-25七年级上·河南·课后作业）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解题的关键； 根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：， 故选：B 41．（14-15七年级上·云南保山·期末）有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数比大小，熟练掌握两个负数比大小的方法是解题的关键，先将所有的有理数进行化简，利用两个负数的大小，绝对值大的反而小，判断和大小，再逐一排序即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵，， ∴， ∴有理数，，，按从小到大的顺序排列为， 故选：B． 42．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算：，，，，，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的乘方中的数字变化规律，熟练掌握有理数的乘方运算、找出个位数字的变化规律是解答此题的关键． 通过前面几项结果中的个位数字的特点，归纳出变化规律：3，9，7，1依次循环；据此可以得出答案． 【详解】解：，，，，，，… 计算结果中的个位数字依次是：3，9，7，1，3，9，… 个位数的规律为：3，9，7，1依次循环； ， 的个位数字是9， 的个位数字是1； 故答案为：1． 十二、非负数性质的应用（共3小题） 43．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）若x，y为有理数，且，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了绝对值和二次方的非负性，代数式求值，解题的关键是根据绝对值和二次方的非负性求出x、y的值．根据绝对值和二次方的非负性求出x、y的值即可． 【详解】解：∵x，y为有理数，且， ∴，， ∴，， 故答案为：1；． 44．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）对任意有理数，定义新运算“”如下：，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了定义新运算，非负数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据非负数的性质求出、，然后再根据定义新运算进行计算即可． 【详解】解：， ，， ， ； 故答案为：9． 45．（24-25七年级上·全国·期中）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． (1)【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①，； ②，； ③若，则______； ④若，则______； (2) [知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有 个，它们互为 ；平方等于一个正数的数有 个，它们互为 ； (3) [知识运用]运用上述结论解答：已知，，求的值． 【答案】(1)③；④ (2)两，相反数；两，相反数 (3)3，，1， 【分析】此题考查了有理数的乘方，绝对值“有理数的绝对值都是非负数”，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用绝对值以及平方根的定义计算即可得到结果； （2）根据运算结果归纳即可； （3）利用绝对值以及平方根的定义求出x与y的值，即可确定出的值． 【详解】（1）解：若，则； 若，则； 故答案为：，； （2）解：根据上述知识，能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 平方等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 故答案为：两，相反数；两，相反数； （3）解：因为，所以，因此或； 因为，所以，因此或； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 所以的值为3，，1，． 十三、有理数的混合运算（共5小题） 46．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）在算式中，运算符号被“”遮住了，甲、乙两位同学对于被“”遮遮住的运算符号发表了各自的观点： 甲：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为； 乙：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为． 则下列判断正确的是（   ） A．甲的观点正确，乙的观点错误 B．甲的观点错误，乙的观点正确 C．甲、乙的观点都正确 D．甲、乙的观点都错误 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据题意分别列式为及，将它们分别计算后进行判断即可． 【详解】解：如果被“□”遮住的运算符号是“”， 则 ； 如果被“□”遮住的运算符号是“”， 则 ； 则甲的观点错误，乙的观点正确， 故选：B． 47．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题． 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． 你认为做对的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解：，甲的运算错误； ，乙的运算错误； ，丙的运算错误； ，丁的运算正确； 故选：D． 48．（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键． （1）先算乘法和绝对值，再算加减； （2）先算乘方和括号内的式子，再算除法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4)29 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的乘法分配律，掌握含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算的法则解答即可； （2）根据绝对值的性质及含有乘方的有理数的混合运算法则解答即可； （3）利用有理数的乘法分配律解答即可； （4）先运用除法法则计算，再运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行运算． （1）首先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，然后再写成省略加号的形式，运用加法交换律和结合律把符号相同的加数结合起来，再根据有理数的加法法则进行计算即可； （2）首先根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）首先根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再利用乘法分配律把与括号里面的各项分别相乘再相加即可； （4）首先根据有理数的乘方的法则把乘方计算出来，然后再根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： =； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． $$专题01 有理数（易错必刷50题13种题型专项训练） · 试卷第2页，共28页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 · 正负数的应用有理数的定义与分类 · 相反数 · 有理数大小的比较 · 有理数的减法 · 有理数的除法运算 · 非负数性质的应用 · 数轴 · 绝对值 · 有理数的加法 · 有理数的乘法 · 有理数的乘方运算 · 有理数的混合运算 一、正负数的应用（共4小题） 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）8月18日，“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋海域顺利完成了航次首潜，这是我国自主设计、自主集成的首台7000米级大深度载人潜水器“蚊龙号”的第300次下潜，若下潜100米记作米，则上浮60米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如下显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）青龙祖山最高峰天女峰比海平面高米，记作米，太平洋最深处马里亚纳海沟比海平面低米，记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果商店收入400元记作+400元，那么商店支出300元，可记作 元． 二、有理数的定义与分类（共3小题） 5．（24-25七年级上·河北邢台·期中）0是（    ） A．负数 B．分数 C．正数 D．整数 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列各数：4，，，，0，中，非负数有 ；整数有 ；分数有 ． 7．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知圈A表示整数，圈B表示正数，圈C表示分数． (1)圈D表示 数，圈 E表示 数． (2)给出下列各数：15，，，0，，1，，，，请将它们填入图中相应的圈中去． 三、数轴（共4小题） 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）在数轴上，点，分别表示数，，将点向右平移个单位长度，得到点．若是中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·北京海淀·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形在数轴上绕着顶点顺时针连续无滑动翻转，翻转次后，点在数轴上所对应的数为．在正方形连续翻转的过程中，下列说法错误的是（   ） A．翻转次后，点与在数轴上表示“”的点重合 B．翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“” C．在翻转过程中，顶点可与数轴上表示“”的点重合 D．连续翻转次后，数轴上数“”所对应的点是 11．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（   ） A． B． C．或 D．或 四、相反数（共2小题） 12．（21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列各对数中，互为相反数的是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，表示数a的点在线段上，则表示数a的相反数的点所在的线段是（    ）    A． B． C． D． 五、绝对值（共3小题） 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，则m的值可能是（   ） A． B．2 C． D．无法确定 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（　　） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·吉林·期中）我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数． 六、有理数大小的比较（共3小题） 17．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上的点A表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 18．（15-16七年级上·江苏盐城·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 19．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来：．    七、有理数的加法（共5小题） 20．（2022·云南昆明·三模）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 22．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）在“”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便运算，则这个数可能是（ ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知一组数：，0，，3，，． (1)在这组数中负整数是______； (2)计算这组数据中非正数的和． 24．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段练习）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ ， ． ， ． ， ． 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______． 【运用】 (2)计算：； (3)化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 八、有理数的减法（共3小题） 25．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图是未来一星期天气预报，其中温差最大的是（    ） A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期五 26．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 27．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 28．（11-12七年级上·吉林长春·期末）小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)小虫离开出发点O最远是 厘米． (2)小虫是否回到了原点O？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 九、有理数的乘法（共5小题） 29．（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·河北唐山·期中）若■表示最大的负整数，则 ． 31．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)． 32．（23-24七年级下·河北保定·期中）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算，看谁算得又快又正确．嘉嘉和淇淇的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式 (1)淇淇的解法运用了哪种运算律？ (2)请你再写出一种解法． 33．（23-24七年级下·河北保定·期中）有30箱水果，以每箱25千克为标准，超过和不足的质量分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准的差/千克 0 1 1.5 箱数/箱 2 9 4 5 6 4 (1)30箱水果中，最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； (2)与标准质量相比，30箱水果总计超过或不足多少千克？ (3)若这种水果每千克售价8.65元，则出售这30箱水果一共可卖多少元？（结果精确到1元） 十、有理数的除法运算（共5小题） 34．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）把转化为乘法是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·河北邢台·期中）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是（    ） A． B． C．3 D．2 36．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 37．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算： (1) (2) 38．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步）． (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，错误原因是 ． (2)请写出正确的计算过程． 十一、有理数的乘方运算（共4小题） 39．（14-15七年级上·福建南平·期中）对乘积记法正确的是（       ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级上·河南·课后作业）（   ） A． B． C． D． 41．（14-15七年级上·云南保山·期末）有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算：，，，，，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 十二、非负数性质的应用（共3小题） 43．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）若x，y为有理数，且，则 ， ． 44．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）对任意有理数，定义新运算“”如下：，若，则 ． 45．（24-25七年级上·全国·期中）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． (1)【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①，； ②，； ③若，则______； ④若，则______； (2) [知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有 个，它们互为 ；平方等于一个正数的数有 个，它们互为 ； (3) [知识运用]运用上述结论解答：已知，，求的值． 十三、有理数的混合运算（共5小题） 46．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）在算式中，运算符号被“”遮住了，甲、乙两位同学对于被“”遮遮住的运算符号发表了各自的观点： 甲：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为； 乙：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为． 则下列判断正确的是（   ） A．甲的观点正确，乙的观点错误 B．甲的观点错误，乙的观点正确 C．甲、乙的观点都正确 D．甲、乙的观点都错误 47．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题． 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． 你认为做对的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 48．（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算： (1)； (2)． 49．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 50．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． $$