专题01 三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6种热考模型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

专题01 三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6种热考模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：双内角平分线（共7题） 1．（2023秋•锦江区校级期末）如图，中，与的平分线相交于，若，则　 　 度． 2．（2022春•历下区期末）在中，和分别是和的角平分线，，相交于点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）借助图1，若，，求与的关系； （3）如图2，若，求证：． 3．（2023秋•临江市期末）（1）已知：如图①，在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系为 　 　． （2）已知：如图②，在四边形中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 4．（2023秋•巨野县期末）如图，在中，和的平分线相交于点，若． （1）求的度数； （2）把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 5．（2023春•台江区校级期末）（1）如图1，四边形中，和的平分线交于点，已知，求的度数； （2）如图2，在四边形中，和外角的三等分线交于点，已知，，请写出、与的数量关系，并证明； （3）如图3，在边的延长线上，在边的延长线上，和的平分线交于点，请直接写出、、、的数量关系：　 　． 6．（2022秋•余庆县期中）动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图（1），在中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 探究二：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．（写出说理过程） 探究三：若将上题中的四边形改为六边形（图（3）呢？请直接写出与的数量关系：　 　． 7．（2021春•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，点为轴上的动点，点为轴上方的动点，连接，，． （1）如图1，当点在轴上，且满足的角平分线与的角平分线交于点，请直接写出的度数； （2）如图2，当点在轴上，的角平分线与的角平分线交于点，点在的延长线上，且满足，求； （3）如图3，当点在第一象限内，点是内一点，点，分别是线段，上一点，满足：，，． 以下结论：①；②平分；③平分；④． 正确的是：　 　．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）． 题型二：双外角平分线（共6题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，点为轴上的一点，平分，平分，求的度数． 2．（2022秋•即墨区期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】 已知：如图①，求证：． 【定理推论】如图②，在中，有，点是延长线上一点，由平角的定义可得，所以　 　，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点、分别是的边、延长线上一点． （1）若，，则　　． （2）若，则　　． 【拓展延伸】如图④，点、分别是四边形的边、延长线上一点． （1）若，，则　　． （2）分别作和的平分线、，如图⑤，若，则和的关系为 　　． （3）分别作和的平分线，交于点，如图⑥，求出，和的数量关系，并说明理由． 3．（2023秋•重庆期末）如图，在中，分别延长的边，到点，，与的平分线相交于点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ．若，则； ．若，则； ．若，则； （1）根据上述规律，若，则　 　． （2）　　．（用含的式子表示） （3）请证明（2）中的结论． 4．（2022春•南阳期末）（1）温故知新 如图1，已知是的一个外角，则　 　； （2）尝试探究 如图2，与分别为的两个外角，则　　（横线上填“”、“ ”或“” ； （3）初步应用 如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则　　； （4）解决问题 如图4，在中，，分别平分外角，，与有何数量关系？请说明理由； （5）拓展提升 如图5，在四边形中，，分别平分外角，，请借鉴上面的思路直接写出与，的数量关系． 5．（2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形中，，是它的两个外角，．下面是该结论的证明过程（部分） 五边形的内角和为， ． （1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分． （2）知识应用：如图2，在五边形中，，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图3，，，则　 　． 6．（2021春•丰县校级期末）问题情境苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如图1，在中，，设的外角、的平分线交于点，求的度数． （1）请你先完成这个问题的解答． 变式探究小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究： （2）如图2，在中，，若，，且射线与射线相交于点，则　 　； （3）如图3，在中，．若，，且与相交于点，若要使射线、能相交，则的取值范围是什么？请说明理由； （4）如图3，在中，．若，，请直接写出使射线、能相交的的取值范围是　　（其中，请用含、的代数式表示）． 题型三：内外角平分线（共13题） 1．（2023秋•莘县期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•绿园区期末）如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则　　． 3．（2023秋•江汉区期中）如图，为四边形外角的平分线，平分，若，，则的度数是 　 　． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，点为轴上的一点，平分，平分，与的延长线交于点，求的度数． 5．（2023春•南京期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，，分别平分，．求证：； 【继续探索】 （2）如图②，在中，平分，平分外角．求证：； （3）如图③，、分别平分外角，．则与的数量关系是 　 　； （4）如图④，中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与一外角平分线交于点．设，，，则，，之间的关系是 　　． 6．（2022秋•新乡期末）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于． （1）当，，则　 　； （2）当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点，过点作，交于，交于，试判断，，之间的关系，并说明理由． 7．（2023春•商水县期末）【基本模型】 （1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明． 【变式应用】 （2）如图2，，，分别是射线，上的两个动点，与的平分线的交点为，则点，的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，，作的平分线，是射线上的一定点，是直线上的任意一点（不与点重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为，请直接写出的度数． 8．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在中，，三个内角平分线交于点，的外角的角平分线交的延长线于点． 【问题初探】：（1）的度数为 　 　，的度数为 　　； 【问题再探】：（2）如图2，过点作．（可直接使用问题（1）中的结论） ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】：（3）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度与之间的关系． 9．（2023秋•泾阳县期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． （1）当，时，　 　，　　； （2）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 10．（2024春•农安县期末）（问题背景） ，点、分别在、上运动（不与点重合）． （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，　 　． （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则　　． ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，　　．（用含的代数式表示） 11．（2024春•单县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】 已知：如图1，在中，角平分线、交于点．求的度数． （1）若，请直接写出　 　； 【变式思考】 （2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，猜想与的关系，并说明理由． 12．已知、分别为中、上的动点，直线与直线相交于，的平分线与的平分线相交于，的平分线与的平分线相交于． （1）如图1，当在的延长线上时，求与之间的数量关系． （2）如图2，当在的反向延长线上时，求与之间的数量关系（用等式表示）． 13．（2023春•二道区期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题： 如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由． 刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程． 解：结论：　 　． 理由：平分，平分， ，． ． 　　 【模型发展】如图②，点是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系并说明理由． 【解决问题】如图③，在中，平分，平分，点是的外角平分线与的交点．若，则　　度． 题型四：A字模型（共5题） 1．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•济宁期末）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 　 　． 3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳： （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　 　． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则　　． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是 　　． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 5．（2022秋•香坊区期末）已知：四边形，连接，，，，． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）过点作于点，点为上一点（不与点重合），，的边交的延长线于点，另一边交的延长线于点，如图2，点与点重合时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点不与点重合，过点作，交于点，，，，点为上一点，连接、，交于点，，求的长． 题型五：蝴蝶（8字）模型（共6题） 1．（2023春•武冈市期末）如图，的度数为　 　 2．（2022秋•安定区校级期末）如图，　 　． 3．（2023秋•大洼区期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　 　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 4．（2023秋•昆明期末）如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 5．（2021秋•正阳县期末）图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当度，度时，求的度数． （4）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 6．（2020秋•青岛期末）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 　 　； 探索二：如图2，若，，求的度数为 　　； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 　　． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则　　（用含有和的代数式表示），　　．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，　　．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 　　．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 　　． 题型六：燕尾模型（共11题） 1．（2024春•四川期末）如图，点，点，点，点，点，点是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2022春•玄武区期末）如图，　　． 3．（2022秋•南平期中）如图，若，则　　． 4．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知，则　　度． 5．（2023春•松江区期末）如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上使三角板的两条直角边分别经过、，直角顶点落在的内部，那么　　度． 6．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 7．（2024春•衡阳期末）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则　　； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，　　；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，； 直接运用（2）中的结论，试说明：． 8．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，，交于点，根据“三角形内角和是，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． （1）如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： 　 　 ，分别是，的平分线 ， 　　 又， 　　度． （2）在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是：　　 【类比应用】（3）如图3， 的平分线与 的平分线交于点． 已知：，，则　　．（用、表示） 9．（2022春•工业园区期末）数学概念 百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形． 如图①，在四边形中，画出所在直线，边、分别在直线的两旁，则四边形就是凹四边形． 性质初探 （1）在图①所示的凹四边形中，求证：． 深入研究 （2）如图②，在凹四边形中，与所在直线垂直，与所在直线垂直，、的角平分线相交于点． ①求证：； ②随着的变化，的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索与的数量关系；如果没有变化，请求出的度数． 10．（2023春•滕州市校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 11．（2023秋•朝阳区校级期末）将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点、． （1）如图①，若时，点在内，则　 　度，　 　度，　 　度； （2）如图②，改变直角三角板的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出、、三者之间存在的数量关系． $$专题01 三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6种热考模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：双内角平分线（共7题） 1．（2023秋•锦江区校级期末）如图，中，与的平分线相交于，若，则　 　 度． 【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解． 【解答】解：， ． 与的平分线相交于， ， ． 【点评】本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和是180度． 2．（2022春•历下区期末）在中，和分别是和的角平分线，，相交于点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）借助图1，若，，求与的关系； （3）如图2，若，求证：． 【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可； （2）根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可； （3）利用证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【解答】（1）解：，，和分别是和的角平分线， ，， ， ； （2）解：，，， ， 和分别是和的角平分线， ，， ， ， ； （3）证明：， ， 和分别是和的角平分线， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键． 3．（2023秋•临江市期末）（1）已知：如图①，在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系为 　 　． （2）已知：如图②，在四边形中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 【分析】（1）根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理可得答案； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据四边形的内角和可得，代入化简即可． 【解答】解：（1）如图①，， 、分别平分和， ，， 在中，由三角形内角和定理得， ， 故答案为：； （2）如图②，，理由如下： 、分别平分和， ，， 在中，由三角形内角和定理得， ， 而， ． 【点评】本题考查多边形的内角和、三角形的内角和以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义以及多边形的内角和定理是得出正确答案的前提． 4．（2023秋•巨野县期末）如图，在中，和的平分线相交于点，若． （1）求的度数； （2）把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【分析】（1）先求出的度数，根据平分线的定义得出，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据角平分线的定义可得，，然后用表示出，再根据三角形的内角和等于列式整理即可得出结论． 【解答】解：（1）， ， 、分别是的角、的平分线， ，， ， ； （2）， 、分别是的角、的平分线， ，， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 5．（2023春•台江区校级期末）（1）如图1，四边形中，和的平分线交于点，已知，求的度数； （2）如图2，在四边形中，和外角的三等分线交于点，已知，，请写出、与的数量关系，并证明； （3）如图3，在边的延长线上，在边的延长线上，和的平分线交于点，请直接写出、、、的数量关系：　 　． 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出，再由角平分线定义得出，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）设，，可得，，由“8”字形可得，根据四边形内角和定理可得出； （3）设，，由“8”字形可得，根据四边形内角和定理可得出． 【解答】解：（1），且， ， ，分别是和的平分线， ， ； （2）设，，则，， 由“8”字形可得， ， ， ， ； （3）设，， 由“8”字形可得， ， ， ，即 ． 【点评】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角． 6．（2022秋•余庆县期中）动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图（1），在中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 探究二：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．（写出说理过程） 探究三：若将上题中的四边形改为六边形（图（3）呢？请直接写出与的数量关系：　 　． 【分析】探究一：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； 探究二：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可； 探究三：根据六边形的内角和公式表示出，然后同理探究二解答即可． 【解答】解：探究一：、分别平分和， ，， ， ， ， ， ； 探究二：、分别平分和， ，， ， ， ， ， ； 探究三：六边形的内角和为：， 、分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 7．（2021春•青山湖区校级期末）在平面直角坐标系中，点为轴上的动点，点为轴上方的动点，连接，，． （1）如图1，当点在轴上，且满足的角平分线与的角平分线交于点，请直接写出的度数； （2）如图2，当点在轴上，的角平分线与的角平分线交于点，点在的延长线上，且满足，求； （3）如图3，当点在第一象限内，点是内一点，点，分别是线段，上一点，满足：，，． 以下结论：①；②平分；③平分；④． 正确的是：　 　．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）． 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线定理可求的度数； （2）由三角形外角的性质和角平分线定理可求解； （3）过点作于点，过点作于点，通过全等三角形的性质和角平分线性质，可求解． 【解答】解：（1） 平分，平分 ， （2）平分 ， （3）如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，且， ，且， ，且， 平分， 如图，作平分，交延长线于点，连接， 平分，平分， 平分 ，， 点与点重合， 平分；平分 故②③正确， ， ，且 故①错误 如图，在上截取， ，， ， ， ，且， ， 故④正确 故答案为：②③④ 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当的辅助线是本题的关键． 题型二：双外角平分线（共6题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，点为轴上的一点，平分，平分，求的度数． 【分析】先根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质求出，最后根据三角形内角和计算即可． 【解答】解：如图， 由图可知，，， ， 平分，平分， ， ． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形内角和，根据三角形外角的性质得到是解题的关键． 2．（2022秋•即墨区期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】 已知：如图①，求证：． 【定理推论】如图②，在中，有，点是延长线上一点，由平角的定义可得，所以　 　，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点、分别是的边、延长线上一点． （1）若，，则　　． （2）若，则　　． 【拓展延伸】如图④，点、分别是四边形的边、延长线上一点． （1）若，，则　　． （2）分别作和的平分线、，如图⑤，若，则和的关系为 　　． （3）分别作和的平分线，交于点，如图⑥，求出，和的数量关系，并说明理由． 【分析】【定理证明】过点作，根据平行线的性质和平角的定义解决． 【定理推论】根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答． 【初步运用】（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据三角形的内角和定理得，以此即可求解． 【拓展延伸】（1）连接，根据三角形内角和定理的推论即可解答． （2）过点作，由（1）可知，，则，根据平行线和角平分线的性质可得，则，以此即可求解． （3）由（1）可知，，则，根据角平分线的性质和四边形的内角和为即可求解． 【解答】【定理证明】 证明：如图，过点作， ， ，， ， ． 【定理推论】 ，， ． 故答案为：． 【初步运用】（1），，， ； 故答案为：； （2），， ， ，， ． 故答案为：． 【拓展延伸】（1）如图，连接， ，， ， ，， ． 故答案为：． （2）如图，过点作，则， 由（1）知，， ， ， ，， ， 、分别是和， ， ， ． 故答案为：． （3），理由如下： 由（1）知，， ， 、分别为和的角平分线， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据题干作出正确的辅助线是解题关键． 3．（2023秋•重庆期末）如图，在中，分别延长的边，到点，，与的平分线相交于点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ．若，则； ．若，则； ．若，则； （1）根据上述规律，若，则　 　． （2）　　．（用含的式子表示） （3）请证明（2）中的结论． 【分析】（1）由题中规律即可得到答案； （2）由题中规律即可得到答案； （3）根据上述规律，由三角形内角和定理、邻补角及角平分线的性质即可证明． 【解答】解：（1）．若，则； ．若，则； ．若，则； ， 若，则； 故答案为：； （2）由（1）中规律可知，， 故答案为：； （3）如图所示： 在中，， ，， ，即， 平分，平分， ， 在中，． 【点评】本题考查找规律，涉及三角形内角和定理、邻补角、角平分线性质等知识，读懂题意，找到规律，并灵活运用三角形内角和定理求解是解决问题的关键． 4．（2022春•南阳期末）（1）温故知新 如图1，已知是的一个外角，则　 　； （2）尝试探究 如图2，与分别为的两个外角，则　　（横线上填“”、“ ”或“” ； （3）初步应用 如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则　　； （4）解决问题 如图4，在中，，分别平分外角，，与有何数量关系？请说明理由； （5）拓展提升 如图5，在四边形中，，分别平分外角，，请借鉴上面的思路直接写出与，的数量关系． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得答案； （2）根据三角形外角的性质得，，再利用等式的性质可得答案； （3）由（1）可知：，即可得出答案； （4）由角平分线的定义得，；再利用整体思想解决问题； （5）由（4）同理可解决问题． 【解答】解：（1）是的一个外角， ， 故答案为：； （2），， ； ． 故答案为：； （3）， 由（1）可知：， 又， ， ． 故答案为：． （4），理由如下： 平分，平分， ，； 在中，， 由（1）可知：， ； （5），理由如下： ，， 又平分，平分， ，， ； 四边形中，， 在中，， ． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键，同时注意运用类比的数学思想． 5．（2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？如图1，在五边形中，，是它的两个外角，．下面是该结论的证明过程（部分） 五边形的内角和为， ． （1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分． （2）知识应用：如图2，在五边形中，，分别是和的平分线，若，求的度数； （3）拓展提升：如图3，，，则　 　． 【分析】（1）根据五边形内角和表示出的值，根据邻补角定义表示出的值，即可求解； （2）由（1）中的结论，求出，再根据角平分线定义求出的值，再根据三角形内角和定理即可求解； （3）根据已知条件求出的值，再由（1）中的结论，求出的值，进而可求的度数． 【解答】（1）证明：五边形的内角和为， ． ， ，， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：， ， ，， ， 由（1）得， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了多边形的内角和与多边形的外角，三角形的内角和，阅读题目，理解（1）中的结论是解题的关键． 6．（2021春•丰县校级期末）问题情境苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如图1，在中，，设的外角、的平分线交于点，求的度数． （1）请你先完成这个问题的解答． 变式探究小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究： （2）如图2，在中，，若，，且射线与射线相交于点，则　 　； （3）如图3，在中，．若，，且与相交于点，若要使射线、能相交，则的取值范围是什么？请说明理由； （4）如图3，在中，．若，，请直接写出使射线、能相交的的取值范围是　　（其中，请用含、的代数式表示）． 【分析】（1）利用外角与三角形内角和的关系可得结论； （2）当时，求出、的两个外角和为，在计算出这两个外角和的，最后根据三角形的内角和求出答案； （3）利用（1）（2）的方法可得，根据角度的大小关系求出取值范围即可； （4）方法同（3）利用分数表示即可． 【解答】解：（1）在中，，， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ； （2）， 与的外角和为， ，， ， 根据三角形的内角和定理得， ； （3）由（1）知，， ，， ， 若射线、能相交，设交点为点， 在中，， ．解得， 的取值范围是； （4）， 与的外角和为， ，， ， 根据三角形的内角和定理得， ， ， ． 【点评】本题考查三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 题型三：内外角平分线（共13题） 1．（2023秋•莘县期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出①，②，②得长，求出③，由①和③得出，求出，同理得出，，再根据求出的规律得出答案即可． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ①，②， ②得：， ③， 由①和③得：， ， ， 同理， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 2．（2024春•绿园区期末）如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则　　． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【解答】解：是△中的平分线，是的外角的平分线， ，， 是△的外角， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．（2023秋•江汉区期中）如图，为四边形外角的平分线，平分，若，，则的度数是 　 　． 【分析】利用角平分线的定义及三角形的外角性质易得，然后再结合已知条件计算即可求得答案． 【解答】解：为四边形外角的平分线，平分， ，， ， ， ， 整理得：， 四边形的内角和为，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线，三角形的外角性质及多边形的内角和，结合已知条件求得是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，点为轴上的一点，平分，平分，与的延长线交于点，求的度数． 【分析】利用三角形的外角性质，可得出，利用角平分线的定义，可得出，，再结合，即可求出的度数． 【解答】解：是的外角， ． 平分，平分， ，， ． 【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 5．（2023春•南京期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，，分别平分，．求证：； 【继续探索】 （2）如图②，在中，平分，平分外角．求证：； （3）如图③，、分别平分外角，．则与的数量关系是 　 　； （4）如图④，中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与一外角平分线交于点．设，，，则，，之间的关系是 　　． 【分析】（1）先根据三角形角平分线定义表示出和，再根据三角形内角和定理求解； （2）先根 据三角形外角定理求出，再根据三角形内角和定理求解； （3）先根据三角形外角定理求、，再根据三角形内角和定理求解； （4）由（1）、（2）、（3）的结论很容易得出． 【解答】（1）证明：，分别平分，， ，． ； （2）证明：，，， 是的外角， ， ； （3）解：、是的外角， ，， ， ， ， 故答案为：； （4）解：由（1）得， 由（2）得， 由（3）得， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，观察图形，判断出三角形中各角之间的关系是解题关键． 6．（2022秋•新乡期末）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于． （1）当，，则　 　； （2）当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点，过点作，交于，交于，试判断，，之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，，即可得出答案； （2）与（1）同理可证． 【解答】解：（1）， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ，， ， 故答案为：8； （2），理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． 7．（2023春•商水县期末）【基本模型】 （1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明． 【变式应用】 （2）如图2，，，分别是射线，上的两个动点，与的平分线的交点为，则点，的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，，作的平分线，是射线上的一定点，是直线上的任意一点（不与点重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为，请直接写出的度数． 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出和，再根据角平分线的定义，，最后由进行等量代换即可； （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出和，再根据角平分线的定义，，最后由进行等量代换即可； （3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出和，再根据角平分线的定义，，最后由进行等量代换即可； 【解答】解：（1）如图1所示： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）的大小不变，理由如下： 如图2所示： ，， ，， 又平分，平分， ，， ， ； （3）或，分两种情况： ①如图3所示： ，， ，， 又平分，平分， ，， ， ； ②如图4所示： ，， ，， 又平分，平分， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的相互关系． 8．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在中，，三个内角平分线交于点，的外角的角平分线交的延长线于点． 【问题初探】：（1）的度数为 　 　，的度数为 　　； 【问题再探】：（2）如图2，过点作．（可直接使用问题（1）中的结论） ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】：（3）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度与之间的关系． 【分析】（1）已知与是和的平分线，因此可以推导出，由于，所以可以推导出； （2）①已知，可以推导出， ②，利用平行线的性质可以证明； （3）当所在直线与平行时，，此时或者． 【解答】解：（1）①，与是和的平分线， ， ②， ， 又，，平方，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）①，， ， ②， 证明：，， ， 答：，； （3）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△， ，， ， 或者， 答：或者． 【点评】本题考查的重点是三角形角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形补角的知识，平行线的判定，只要熟练掌握以上知识点就可以计算出角的度数． 9．（2023秋•泾阳县期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． （1）当，时，　 　，　　； （2）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得； （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得，由此即可得到答案． 【解答】解：（1），分别是，的平分线，，， ，， ， ； ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故答案为：115，65； （2）当的大小变化时，的值不发生变化， 理由如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， 当的大小变化时，的值不发生变化． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、利用邻补角求度数，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 10．（2024春•农安县期末）（问题背景） ，点、分别在、上运动（不与点重合）． （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，　 　． （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则　　． ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，　　．（用含的代数式表示） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②由①的思路可得结论； （3）在②的基础上，将换成即可． 【解答】解：（1）， ， 、分别是和角的平分线， ，， ， ； 故答案为：； （2）①，， ，， 是的平分线， ， 平分， ， ， 故答案为：45； ②的度数不随、的移动而发生变化， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 11．（2024春•单县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】 已知：如图1，在中，角平分线、交于点．求的度数． （1）若，请直接写出　 　； 【变式思考】 （2）若，请猜想与的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）已知：如图2，在中，角平分线、交于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，猜想与的关系，并说明理由． 【分析】（1）由角平分线定义得到，，由三角形内角和定理得到，于是得到； （2）由角平分线定义，三角形内角和定理推出，于是得到； （3）由角平分线定义得到，，由三角形外角的性质推出，，得到，于是． 【解答】解：（1），分别平分和， ，， ， ，， ， ； 故答案为：． （2），理由如下： ，分别平分和， ，， ， ，， ， ； （3），理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线定义，关键是由角平分线定义，三角形内角和定理得到；由三角形外角的性质推出． 12．已知、分别为中、上的动点，直线与直线相交于，的平分线与的平分线相交于，的平分线与的平分线相交于． （1）如图1，当在的延长线上时，求与之间的数量关系． （2）如图2，当在的反向延长线上时，求与之间的数量关系（用等式表示）． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求出，，即可得出答案； （2）先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求出，，根据邻补角互补求出即可． 【解答】解：（1）是的平分线，是的平分线， ，， ，， ， ， 同理， ， ， ； （2）， 理由是：由（1）知：， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形外角的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，求解过程类似． 13．（2023春•二道区期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题： 如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由． 刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程． 解：结论：　 　． 理由：平分，平分， ，． ． 　　 【模型发展】如图②，点是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系并说明理由． 【解决问题】如图③，在中，平分，平分，点是的外角平分线与的交点．若，则　　度． 【分析】【探索发现】由角平分线定义得，，再由三角形内角和定理即可得出结论； 【模型发展】由三角形的外角性质和角平分线定义得，，再由三角形内角和定理即可得出结论； 【解决问题】由【探索发现】得，再由【模型发展】得，即可得出结论． 【解答】解：【探索发现】：， 理由：平分，平分， ， ， 故答案为：； 【模型发展】， 理由：，，平分，平分， ，， ， ， ， ； 【解决问题】由【探索发现】得：， 由【模型发展】得：， 故答案为：28． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 题型四：A字模型（共5题） 1．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先根据平角定理，求出，再根据三角形内角和求出即可． 【解答】解：如图所示： ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和，解题关键是正确识别图形，理解相关角与角之间的数量关系． 2．（2022秋•济宁期末）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 　 　． 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出的度数，根据图形翻折变换的性质得出的度数，再由四边形的内角和为即可得出结论． 【解答】解：中，，， ， ， ， 由△翻折而成， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳： （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　 　． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则　　． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是 　　． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【分析】（1）利用了四边形内角和为和直角三角形的性质求解； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）（2）可以直接写出结果； （4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解． 【解答】解：（1）：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为 ． 等于． 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）与的关系是：； 故答案为：； （4）是由折叠得到的， ， ， 又， ． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）由、是的两个外角知、，据此得，继而可得答案； （3）由（1）知，根据平分，平分知．利用可得答案． 【解答】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ，， ，， 在中，， ， 整理得； 故答案为：90； （2）， 理由：、是的两个外角， ，， ， ， 即； （3）由（1），得， ， 平分，平分， ． ， ． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键． 5．（2022秋•香坊区期末）已知：四边形，连接，，，，． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）过点作于点，点为上一点（不与点重合），，的边交的延长线于点，另一边交的延长线于点，如图2，点与点重合时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点不与点重合，过点作，交于点，，，，点为上一点，连接、，交于点，，求的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后由平行线的性质得，得，即可得出结论； （2）取的中点，连接，证，得，即； （3）延长交于点，取的中点，连接，则为等边三角形，设，则，得的边长为，的边长为，则，，同（2）得，则，即，解得，则，，再证是等边三角形，得，同（1）得是等边三角形，则，，然后由含角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：如图2，取的中点，连接， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 是的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即； （3）解：如图3，延长交于点，取的中点，连接， 则为等边三角形， ， 设，则， 的边长为，的边长为， ，， 同（2）得：， ， 即， 解得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 同（1）得：是等边三角形， ，， ，， ． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型五：蝴蝶（8字）模型（共6题） 1．（2023春•武冈市期末）如图，的度数为　 　 【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数． 【解答】解：如图， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 2．（2022秋•安定区校级期末）如图，　 　． 【分析】根据三角形的外角性质可得，，，，再根据多边形的外角和定理即可求解． 【解答】解：由图形可知：，，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于360度，将的和转化为的和是解题的关键． 3．（2023秋•大洼区期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　 　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明△△，得，结合已知条件则可知的长度 【解答】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2）． 理由如下：是和的中点， ，， 在△和△中， ， △△， 又， ． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明△△是解题的关键． 4．（2023秋•昆明期末）如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）先根据中点得出，再根据平行线的性质得出，，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而得出，根据线段的和差得出． 【解答】（1）证明：点是边的中点， ， 又， ，， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ，点是边的中点，， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．（2021秋•正阳县期末）图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字型．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当度，度时，求的度数． （4）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将①②，可得，进而求出的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出． 【解答】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①线段、相交于点，形成“8字形”； ②线段、相交于点，形成“8字形”； ③线段、相交于点，形成“8字形”； ④线段、相交于点，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3），① ，② 和的平分线和相交于点， ，， ①②得： ， 即， 又度，度， ， ； （4）关系：． ① ② ①②得： ， 和的平分线和相交于点， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题． 6．（2020秋•青岛期末）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 　 　； 探索二：如图2，若，，求的度数为 　　； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 　　． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则　　（用含有和的代数式表示），　　．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，　　．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 　　．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 　　． 【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长、，交于点，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【解答】解：探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②，得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 题型六：燕尾模型（共11题） 1．（2024春•四川期末）如图，点，点，点，点，点，点是平面上的点，顺次连结得到不规则的图形，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理和四边形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，设与交于点， ，而， ， 的度数就是四边形的内角和， 即， 故选：． 【点评】本题考查四边形的内角和定理，三角形内角和定理，掌握多边形的内角和的计算方法，三角形内角和是是正确解答的关键． 2．（2022春•玄武区期末）如图，　　． 【分析】根据四边形的内角和是，可求．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，而，，从而求出所求的角的和． 【解答】解：如图， 根据四边形的内角和是，可得． ，，， ，， ， ， ． 故答案为：360． 【点评】本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 3．（2022秋•南平期中）如图，若，则　　． 【分析】由三角形的外角的性质，可以推出，，于是可以解决问题． 【解答】解： ， ， ， 同理：， ， ． 故答案为：230． 【点评】本题考查角度的计算，关键是掌握三角形的外角的的性质． 4．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知，则　　度． 【分析】连接，由三角形的内角和定理可求得，利用三角形外角的性质可得，进而可求解． 【解答】解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：270． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用三角形内角和定理求解角的度数是解题的关键． 5．（2023春•松江区期末）如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上使三角板的两条直角边分别经过、，直角顶点落在的内部，那么　　度． 【分析】根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数． 【解答】解：在中，， ， 在中，， ， ； 故答案为：50． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 6．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 【分析】①延长交于，设与交于，由三角形的外角定理得，，进而得，再根据角平分线的定义得，，再证，据此可得出结论； ②根据，为与的平分线，可设，，由①可知，则，根据四边形的内角和等于得，即，将代入整理即可得出结论； ③延长交于，根据，是，的平分线，可设，，在中利用三角形的内角和定理得，即，再由①可知，即，然后根据得，然后将代入整理即可得出结论． 【解答】解：①，与之间的数量关系是：，理由如下： 延长交于，设与交于点，如图1所示： 是的外角， ， 是的外角， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， 又， ， 即：， 整理得：， 故，与之间的数量关系是：． ②，与之间的数量关系是：，理由如下： ，为与的平分线， 可设，， 由①可知：， 即：， ， 根据四边形的内角和等于，得：， 即：， 将代入上式得：， ． 故，与之间的数量关系是：． ③，与之间的数量关系是：，理由如下： 延长交于，如图所示： ，是，的平分线， 可设，， 在中，， 即：， ， 由①可知：， 即：， 由平角的定义得：， 是的一个外角， ， ， 将代入上式得：， 即：． 故，与之间的数量关系是：． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解答此题的关键是准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行计算． 7．（2024春•衡阳期末）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则　　； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，　　；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，； 直接运用（2）中的结论，试说明：． 【分析】（1）根据组角的定义直接得答案； （2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论． 【解答】解：（1）、互为组角，且， ； 故答案为：225； （2）钝角； 理由：优角与钝角互为组角， 优角钝角， 四边形的内角和是， 优角， 钝角； （3）由（2）得，在镖型中，， 在镖型中， ， 故答案为：； （4）、的平分线交于点， ，， 令，． 由（2）中的结论可知在镖形中，有， 在镖形中，有， 于是根据等式的性质得出， 而， ，即． 【点评】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键． 8．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，，交于点，根据“三角形内角和是，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． （1）如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： 　 　 ，分别是，的平分线 ， 　　 又， 　　度． （2）在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是：　　 【类比应用】（3）如图3， 的平分线与 的平分线交于点． 已知：，，则　　．（用、表示） 【分析】【解决问题】 （1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）根据（1）可得结论； 【类比应用】 （3）首先延长交于点，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【解答】解：【解决问题】 （1）如图2，，， ， 、分别是、的平分线， ，． ， ， 又，， 度． 故答案为：，，； （2）由（1）得：， 故答案为：； 【类比应用】 如图3，延长交于， ， ， 平分，平分 ，， ， ， 、， 即． 故答案为：． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键． 9．（2022春•工业园区期末）数学概念 百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形． 如图①，在四边形中，画出所在直线，边、分别在直线的两旁，则四边形就是凹四边形． 性质初探 （1）在图①所示的凹四边形中，求证：． 深入研究 （2）如图②，在凹四边形中，与所在直线垂直，与所在直线垂直，、的角平分线相交于点． ①求证：； ②随着的变化，的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索与的数量关系；如果没有变化，请求出的度数． 【分析】（1）如图①，延长交于点，根据三角形外角的性质得到，同理，，从而求得． （2）①如图②，延长、分别交、于点、，由题意可知，，根据四边形的内角和等于，以及等量关系即可求解； ②由（1）可知，在凹四边形中，①，同理，在凹四边形中，②，根据角平分线的定义和等量关系即可求解． 【解答】（1）证明：如图①，延长交于点， 是的一个外角， ， 同理，， ． （2）①证明：如图②，延长、分别交、于点、， 由题意可知，， 在四边形中，， ， ， ； ②解：由（1）可知，在凹四边形中， ①， 同理，在凹四边形中， ②， 平分， ， 同理，， ①②得， 由（2）①可知，在凹四边形中，， ， ． 【点评】考查了凹四边形，三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10．（2023春•滕州市校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到； （2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案 【解答】解：（1）连接并延长至点， 由外角定理可得，； 且，； 相加可得； （2）①由（1）的结论易得：， 又，， ； ②由（1）的结论易得，易得； 而， 代入，，易得； ③， ， 设为， ， ， 为． 【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 11．（2023秋•朝阳区校级期末）将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点、． （1）如图①，若时，点在内，则　 　度，　 　度，　 　度； （2）如图②，改变直角三角板的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论． （3）如图③，改变直角三角板的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出、、三者之间存在的数量关系． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数； （2）根据三角形内角和定义有，则． （3）由（1）（2）的解题思路可得：． 【解答】解：（1）在中，， ， 在中，， ， ； 故答案为：140；90；50． （2）与之间的数量关系为：．证明如下： 在中，． 在中，． ． ． （3）． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是，解答的关键是沟通外角和内角的关系． $$