专题6 课本再现题（PPT课件）-【中考2号】2024年中考数学讲义（江西专用）

专题6　课本再现题 2024江西数学 目 录 1 专题分析 2 精讲精练 1 专题分析 课本再现题是江西省中考近几年出现的一种新题型，以课本内容为基础，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去，通常是以课本中的一个习题、一个定理为蓝本，通过变换条件、变换图形，运用相似的方法解决问题或猜想相似的结论，经过比较、类比、联想、化归等方式，解决其他问题，真正体现了试题来源于课本而高于课本的命题思路．考查类型有：①与特殊四边形相关的证明与计算(2023年第22题)；②中位线的证明和计算；③与圆相关的证明与计算(2022年第19题)；④几何类综合探究(2021年第23题). 返回首页 专题6　课本再现题 首页 总目录 2 精讲精练 1．对于矩形有：(1)一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，因此在矩形中求线段长度或者角度时，常用到直角三角形的性质、勾股定理等；(2)两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，因此可以用到等腰三角形等腰或等底角以及三线合一的性质；(3)矩形的折叠必然会产生全等三角形及对应的等量关系． 与特殊四边形相关的证明与计算 类型 1 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 2．对于菱形有：(1)菱形的两条对角线把菱形分成4个全等的直角三角形；(2)连接菱形一边的中点与两条对角线的交点可以形成直角三角形斜边上的中线或等腰三角形的中位线；(3)菱形的任意一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；(4)若菱形有一个内角为60°，则连接两个120°内角顶点的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形；(5)菱形是特殊的平行四边形，所以菱形的面积也可表示为S＝底×高． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2023·江西) 课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 定理证明 (1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写 出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O. 求证：▱ABCD是菱形． [分析]根据平行四边形的性质和已知条件判定AC是BD的垂直平分线，推出AB＝AD后利用菱形的定义即可判定▱ABCD是菱形； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO. 又∵BD⊥AC，垂足为O， ∴AC是BD的垂直平分线． ∴AB＝AD． ∴▱ABCD是菱形． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 知识应用 (2)如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点 O，AD＝5，AC＝8，BD＝6. ①求证：▱ABCD是菱形； [分析]根据平行四边形的性质求出AO，DO的长， 然后根据勾股定理的逆定理判定∠AOD＝90°，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6， 又∵AD＝5， ∴在△AOD中，AD2＝AO2＋DO2. ∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC． ∴▱ABCD是菱形． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：图2中，设CD的中点为G，连接OG，则OG是△ACD的中 位线． 由①知四边形ABCD是菱形， ∴∠ACD＝∠ACB． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 又∵∠ACB＝∠E＋∠COE， ∴∠E＝∠COE. ∴CE＝CO＝AO＝4. ∵OG是△ACD的中位线， ∴OG∥AD∥BE. ∴△OGF∽△ECF. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [点睛] 本题是相似形综合题，主要考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及中位线定理，深入理解题意是解决问题的关键． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 1．(2023·日照三模) 课本再现 (1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O转动，则下列结论正确的是______________(填序号即可)． ①△AEO≌△BFO；②OE＝OF； ④连接EF，总有AE2＋CF2＝EF2. ①②③④ 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：[连接EF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°. ∵∠AOB＝∠A1OC1＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF. ∴△AEO≌△BFO(ASA)，故①正确； ∴OE＝OF，AE＝BF，故②正确； ∵∠EBF＝90°，∴BE2＋BF2＝EF2. ∵AB＝BC，AE＝BF，∴BE＝CF.∴AE2＋CF2＝EF2，故④正确．] 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 类比迁移 (2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：猜想：AE2＋CF2＝EF2. 证明：连接AC．∵O是矩形ABCD的中心， ∴O是AC的中心．∴AO＝CO. 延长EO交CD于点G，连接FG. 在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO. ∴△AEO≌△CGO(AAS). 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴AE＝CG，OE＝OG. 在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1＝90°， ∴EF＝GF. 在Rt△FCG中，CG2＋CF2＝GF2， ∴AE2＋CF2＝EF2. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 拓展应用 (3)如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝2 cm时，求线段EF的长度． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：设CF＝x cm. ①当点E在线段AC上时， ∵AE＝2 cm，∴CE＝1 cm. 在Rt△FCE中，∠C＝90°，∴12＋x2＝EF2. 又由(2)易知EF2＝AE2＋BF2， ∴EF2＝22＋BF2. ∴12＋x2＝22＋(4－x)2. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ②当点E在CA延长线上时，如图，同理可证EF2＝AE2＋BF2. ∴EF2＝22＋(4＋x)2. 在Rt△FCE中，EF2＝x2＋(3＋2)2. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 中位线的证明和计算 类型 2 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 2．有中点联想到中位线的辅助线作法： (1)当图形中有两个及两个以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线． 已知：D，E分别为AB，AC的中点． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2)当图形中只有一个中点时，考虑过该中点作平行线或再取一边中点构造中位线． 已知：D为AB的中点． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [分析]　证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到AD＝CF，∠A＝∠ECF，证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴△AED≌△CEF(SAS). ∴AD＝CF，∠A＝∠ECF. ∴AB∥CF. ∵AD＝BD，∴BD＝CF. ∴四边形DBCF为平行四边形． ∴DF∥BC，DF＝BC． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 定理证明 证明：如图1，延长DE至点F，使得EF＝DE，连接CF.请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；(不再添加新的辅助线) 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2)知识应用 如图2，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8， ∠BAC＝30°，∠ACD＝120°，E，F，M分 别是AD，BC，AC的中点，求EF的长． [分析]　根据三角形中位线定理分别求出EM， MF，根据勾股定理计算即可得到EF的长． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：∵E，M分别是AD，AC的中点， ∴EM是△ADC的中位线． ∴∠EMC＋∠ACD＝180°. ∵∠ACD＝120°，∴∠EMC＝60°. ∴∠CMF＝∠BAC＝30°. ∴∠EMF＝90°. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 2．(2023·景德镇二模) 课本再现 (1)如图1，在证明“三角形两边中点的连线与第三 边的关系”时，小明将△ABC沿中位线DE裁剪后， 把△ADE绕点E旋转180°得到四边形BDFC，则四 边形BDFC的形状是________________． 平行四边形 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：[由旋转的性质，得CF＝AD，∠A＝∠FCE， ∴AD∥CF. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD．∴BD＝CF. 又∵BD∥CF， ∴四边形BDFC是平行四边形．] 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 类比迁移 (2)在四边形ABCD中，E为AD的中点，点G，F分别 在AB，CD上，连接GF，GE，EF，且GE⊥EF. ①如图2，若四边形ABCD是正方形，AG，DF，GF 之间的数量关系为_________________； GF＝AG＋DF 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：[图2中，延长GE，FD交于点H. ∵E为AD的中点，∴EA＝ED． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠EDH＝90°. 又∵∠AEG＝∠DEH， ∴△AEG≌△DEH(ASA). ∴AG＝DH，EG＝EH. ∵∠GEF＝90°，∴EF垂直平分GH. ∴GF＝HF＝DH＋DF，即GF＝AG＋DF.] 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ②如图3，若四边形ABCD是平行四边形，①中的结论是否成立？请说明理由． 解：①中结论仍然成立，理由如下： 图3中，延长GE，FD交于点H. ∵E为AD的中点，∴EA＝ED． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD．∴∠A＝∠EDH. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 又∵∠AEG＝∠DEH， ∴△AEG≌△DEH(ASA). ∴AG＝DH，EG＝EH. ∵∠GEF＝90°，∴EF垂直平分GH. ∴GF＝HF＝DH＋DF，即GF＝AG＋DF. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：图4中，延长GE至点M，使得EM＝EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N. ∵E为AD的中点，∴EA＝ED． 又∵∠AEG＝∠DEM， ∴△AEG≌△DEM(SAS). ∵∠EDF＝120°，∴∠MDF＝135°. ∴∠MDN＝45°. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 1．切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (1)当交点不确定时，常过圆心作所证直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径． 与圆相关的证明与计算 类型 3 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 证明方法：常通过找角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等(全等)来证明． AB是⊙O的切线 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2)当交点确定时，常连接圆心和交点，构造半径． 证明方法一：利用等角代换证得垂直：图中已知直径，则利用“直径所对的圆周角等于90°”构造直角； 证明方法二：利用平行线性质证得垂直：有与要证切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行； 证明方法三：利用三角形全等证得垂直：通过证明切线所在的三角形与含90°角的三角形全等． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 2．圆中的角的相关问题处理方法：①要证明角相等，且题中有90°角和切线，通过证平行，借助角间转换解决；②题中有平行线，有切点时，通常利用平行性质证垂直得中点，利用垂径定理知识解决． 3．圆中解决线段间数量、位置关系时，注意以下方法：①证线段相等：常利用圆周角定理，有切点时用90°角进行等量代换解决；②证线段垂直或平行时，需要借助平行线关系以及已知中的垂直或推导出垂直关系，进而求解． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 4．在圆中求线段长常有以下几种方法：①若题干中作辅助线后有直角三角形存在，常运用勾股定理；②若题干中含有特殊角(如30°，45°，60°等)或出现三角函数符号时，一般考虑用三角函数解题；③题目中无直角三角形时，一般考虑利用三角形相似计算线段长度；④运用等面积公式法可求点到直线的距离． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 5．圆中常见的几种相似模型：①如图1，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB；②如图2，由圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD∽△AEC；③如图3，已知AB切⊙O于点A，由弦切角∠BAD＝∠C及∠B＝∠B，易得△BAD∽△BCA． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 课本再现 (1)如图1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，则图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？请说明理由． ①求证：MN是⊙O的切线； [分析]　连接OA和OB，根据切线的性质，可得 Rt△AOP≌Rt△BOP，即可得出结论； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.理由如下： 图1中，连接OA和OB． ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又∵OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL). ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 知识应用 (2)如图2，PN，PD，DE分别与⊙O相切于点A，B，C，且DE∥PN，连接OD，OP，延长PO交⊙O于点M，交DE于点E，过点M作MN∥OD交PN于点N. ①求证：MN是⊙O的切线； [分析]　根据题意求证∠POD＝90°，即可得出 MN⊥OM，结论即可得证； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　证明：∵PN，PD，DE分别与⊙O相切于 点A，B，C， ∴DO，PO分别平分∠PDE，∠DPN. 又∵DE∥PN， ∴∠PDE＋∠DPN＝180°. 又∵MN∥OD，∴MN⊥OM. 又∵MN经过半径OM的外端点M， ∴MN是⊙O的切线． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ②当OD＝6 cm，OP＝8 cm时，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积． [解答]　解：图2中，连接OB，则OB⊥PD． ∵OD＝6 cm，OP＝8 cm， 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 即⊙O的半径为4.8 cm. ∴阴影部分的面积为(24－5.76π)cm2. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 3．课本再现 (1)如图1，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l与⊙O 有什么位置关系？ 解：圆心O到直线l的距离是⊙O的半径长，直线l与 ⊙O的位置关系是相切． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 知识应用 (2)如图2，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，连接OC并延长OC到点D使CD＝OC，连接BD． ①求证：BD是⊙O的切线； 证明：连接OB． ∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°. 又∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴OB＝BC＝OC，∠BCO＝∠OBC＝60°. ∵CD＝OC，∴BC＝CD． ∴∠CBD＝∠BDC＝30°. ∴∠OBD＝90°，即OB⊥BD． ∵OB是⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ②如图3，延长BO交⊙O于点E，连接EC交BA于点 F，BA⊥OD，证明：OB2＝FC·BD． 证明：∵O为圆心，AB⊥OD， ∵∠CAF＝∠BDC＝30°，∠ACF＝∠ABO＝∠DBC＝30°， ∴BC·AC＝FC·BD． ∴OB2＝FC·BD． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 1．从特殊到一般、从简单到复杂的研究问题的方法 许多数学结论来自偶然，一道简单的数学题，往往是一个甚至一类数学问题的特例．如何掌握从偶然的、特殊的数学题入手，将数学题转化为具有普遍意义的一类数学问题，是培养数学思维的重要环节，也是研究数学问题的常见手法．有时候，利用特殊到一般的数学思想还能解决许多复杂而抽象的数学问题．当我们在一个复杂抽象的数学问题面前 几何类综合探究 类型 4 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 没有思路时，往往可以从某些特例的研究与计算中得到启发，从而推进问题的解决．掌握从一般到特殊、从特殊到一般数学推导的思想方法，是有效降低许多数学问题抽象性的一种重要方法．特例可以增加我们对问题的直观把握，同时为找到解决一般性问题的方法积累经验；而利用理论、系统的方法证明一般性结论则是数学过程中的“保险丝”，只有将问题进行证明，才能结束自己无休止的探究与试验． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 2．解决图形形状变化引起的类比迁移探究题的一般思路 (1)形状变化的一般形式 ①等边三角形或等腰直角三角形―→等腰三角形―→一般三角形； ②等腰直角三角形―→直角三角形―→一般三角形； ③正方形―→矩形或菱形． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2)解题方法 先探究特殊图形情况下的相关结论，再推广到一般图形，用图形之间相通或不变的性质，结合相同的思路去解决问题．关键是对试题中的变量过程进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，常用类比思想逐步解题．一般情况下，每问采取的方法步骤基本相同，这类题目往往是数形结合思想、转化、从一般到特殊、类比思想和方程思想的综合运用，要将各种情形逐一分析，避免出错．因此，解决该类问题一般遵循图形结构类似、结论不变化或类似延伸拓展、解题方法不变的大规律，不要因图形变得复杂而惊慌，而是通过前面一问的铺垫，用同样的方法或思维迁移便能得出结论．可概括为“方法类似，思路顺延；类比渗透，知识迁移”． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 (2021·江西) 课本再现 (1)在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三 角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相 等的角是__________； [分析]　根据图形的拼剪可得结论； 图1 ∠DCE′ 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 类比迁移 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互 余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比 (1)中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过 点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE， AE之间的数量关系是___________________； [分析]　利用勾股定理解决问题即可； AD2＋DE2＝AE2 图2 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　[∵∠ADC＋∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝90°. ∴AD2＋DE2＝AE2.] 图2 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 方法运用 (3)如图3，在四边形ABCD中，连接AC， ∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平 分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC． ①求证：∠ABC＋∠ADC＝90°； [分析]　图3中，连接OC，作△ACD的外接 圆⊙O，利用圆周角定理以及三角形内角和 定理，即可解决问题； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　证明：图3中，连接OC，作△ACD的外接圆⊙O. ∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点， ∴点O是△ACD的外心． ∴∠AOC＝2∠ADC． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA． ∵∠AOC＋∠OAC＋∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC， ∴2∠ADC＋2∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋∠ABC＝90°. 图3 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 [解答]　解：在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于点T，连接AT. ∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC， ∴△CTD∽△CAB． 图4 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 图4 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 4．(2023·江西样卷六) 课本再现 (1)如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，其中与 ∠DAC相等的角是__________． ∠BAE 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 类比迁移 (2)如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边BC，CD上，且∠FAE＝60°，连接EF. ①求证：CF＝BE； 证明：连接AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形． ∴AC＝AB，∠BAC＝60°. ∵∠FAE＝60°， ∴∠FAC＝∠BAE＝60°－∠EAC． 又∵∠ACF＝∠B＝60°， ∴△ACF≌△ABE(ASA). ∴CF＝BE. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ②若AB＝2，点E在BC边上从点B向点C运动， 设BE＝x，S△AEF＝y，求y与x的函数关系式． 解：图2中，作EM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N. 由①知AF＝AE，且∠FAE＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：图3中，延长CB到点E，使得CE＝CA，连接 AE，过点B作BF⊥AE于点F. ∵∠BCD＝120°，且CA是∠BCD的平分线， ∴∠ACE＝∠ACD＝60°. ∴△ACE是等边三角形． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 ∴∠ACD＝∠E＝60°，AC＝AE， ∠CAE＝60°. ∵∠BAD＝60°，∴∠CAD＝∠EAB． ∴△ACD≌△AEB(ASA). ∴AE＝6(负值舍去)，即CE＝6. ∴BC＝CE－BE＝6－2＝4. 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【问题发现】 (1)如图1，请直接写出CB与AC的比值是___________； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【问题解决】 (3)如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得到折痕MN，连接EN，点A对应点H，点H在EN上，得到折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点； 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 解：图3中，设EC与MN交点为P，过点P作PQ⊥EN于点Q. ∵MN∥AB，且M为EA的中点， 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 【拓展延伸】 (4)如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点 N在边CD上，且CN＜DN，当N为CD的黄金分割点时， ∠AMB＝∠ANB，连接NM，延长NM交AD于点E，请 用相似的知识求出AE∶DE的值为__________． 返回首页 专题6　课本再现题 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》本讲内容 $$