第20讲 直角三角形及勾股定理（PPT课件）-【中考2号】2024年中考数学讲义（江西专用）

第20讲　直角三角形及勾股定理 2024江西数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 直角三角形及勾股定理 判定 勾股数 性质 勾股定理 探索方法 运用 特例 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形 (2)两个锐角互余的三角形是直角三角形 (3)一条边上的①________等于这条边的一半的三角形是直角三角形 (4)勾股定理逆定理：若三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 判定 中线 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 (1)直角三角形两锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的②________ (3)30°角所对直角边等于斜边的③________，且三边之比为 ④___________；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角等于⑤________ (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方 性质 一半 一半 30° 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 探索方法 (1)割补法(面积法)：S1＋S2＝S3(无字证明) (3)青朱出入图 (1) (2) (3) (4) 勾股数：满足a2＋b2＝c2的整数叫勾股数． 如(3，4，5)，(6，8，10)，(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25) 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 运用 计算直角三角形的边、面积 蚂蚁怎样走最近 圆柱： 正方体： 长方体： (1) (2) (3) 两个数之和最小的走法路径最短，如图， 由3＋4＜5＋3＜ 出图(2)中的走法为最近走法 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 特例 (1)折叠有全等有勾股 (2)两直角三角形共边问题 已知高：如已知△ABC两边长为15，13，第三边上的高为12，求第三边BC的长． 分类讨论两种情况： 未知高：用方程解答．如已知三角形三边长为13，14，15，分别求三条高． 如图，在△ABC中，设BH＝x. AH2＝142－x2＝132－(15－x)2　　 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 ►课标要求1　理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形． 1．(人教八上P14练习T1改编) 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，则∠ACD与∠B的数量关系为________________． (对照2022年版新课标) ∠ACD＝∠B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 2．(湘教八下P7练习T1改编) 如图，CD是直角三角形ABC的中线， ∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，则∠B＝___________． 60° 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 3．(人教八下P26练习T2改编) 如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，则这两点之间的距离为__________. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 ►课标要求2　 探索勾股定理及其逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和判定，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 4．(湘教八下P16练习T1改编) 下列四组线段中，可以构成直角三角形是 (　　) C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 5．(人教八下P33例2改编) 如图，某港口P位于 东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天” 号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每 小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分 别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航 行，则“海天”号沿__________方向航行． 西北 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 6．(人教八下P29练习T14改编) 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三 角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB 的顶点A 在△ECD的斜边DE上，连接BD，若AE＝4，AD＝6，则AC＝_______. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 如图，在△ABC中，∠A＝90°， ∠C＝75°，AC＝6，DE垂直平分BC，则 BE的长度为(　　) 直角三角形的性质(重点) 命题点 1 A 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 如图，连接EC． ∵△ABC中，∠A＝90°，∠C＝75°， ∴∠B＝15°. ∵DE垂直平分BC， ∴BE＝EC，∠1＝∠B＝15°. ∴∠2＝∠ACB－∠1＝75°－15°＝60°. 在Rt△ACE中，∠2＝60°，∠A＝90°， ∴∠3＝180°－∠2－∠A＝180°－60°－90°＝30°. 故EC＝2AC＝2×6＝12. 即BE＝12.故选A． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4， 则BC的长为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD ＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为(　　) A．30° B．45° C．22.5° D．60° B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°. ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠A＝90°－67.5°＝22.5°. ∴∠ECD＝∠ACD－∠ECA＝67.5°－22.5°＝45°.故选B． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是 △ABC的高，且BD＝1，则AD的长为(　　) A．2.5　　 B．3　　　 C．3.5　　 D．4 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ∵CD是△ABC的高，∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°－∠B＝30°. ∴BC＝2BD＝2×1＝2. ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°－∠B＝30°. ∴AB＝2BC＝2×2＝4. ∴AD＝AB－BD＝4－1＝3.故选B． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若 AC＝3，AB＝5，则CD＝ (　　) A．2 B．2.4 C．3 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 △ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，三条边分别为a， b，c.下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是(　　) A．a∶b∶c＝1∶2∶3 B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．a2＝(b＋c)(b－c) 直角三角形的判定与勾股定理的应用 命题点 2 D 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 设a，b，c的边长分别为a，2a，3a. ∵a2＋(2a)2＝5a2≠(3a)2，∴∠C≠90°. 故选项A不能判定△ABC是直角三角形； ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∴△ABC是锐角三角形． 故选项B不能判定△ABC是直角三角形； 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x°，4x°，5x°.∵3x°＋4x°＋5x°＝180°，∴x＝15°. ∴∠C＝75°.∴△ABC是锐角三角形． 故选项C不能判定△ABC是直角三角形； ∵a2＝(b＋c)(b－c)＝b2－c2， ∴a2＋c2＝b2.∴∠B＝90°. 故选项D能判定△ABC是直角三角形． 故选D． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图所示的网格是正方形网格，A，B，P是网格线的交点，则 ∠PAB＋∠PBA＝(　　) A．30° 　 B．45°　　 C．60°　 D．75° B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 有一个直角三角形的两边分别为4，5，要使三角形为直角三角 形，则第三边长为_____________． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有 一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动，动点F自点B向点C以4 cm/s 的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发__________秒后， △BEF为直角三角形． 3或7.5 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 某医院入口的正上方A处装有红外线激光 测温仪(如图所示)，测温仪离地面的距离AB＝3 m， 当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并 报告人体体温．当身高为1.8 m的市民CD正对门缓 慢走到离门1.6 m的地方时(即BC＝1.6 m)，测温仪 自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于(　　) A．2.0 m B．2.2 m C．2.25 m D．2.5 m A 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝3 m，BE＝CD＝1.8 m，ED＝BC＝1.6 m， ∴AE＝AB－BE＝3－1.8＝1.2(m). 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 如图，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，请 问小蚂蚁吃到火腿肠粒的最短路径是 __________ cm. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 等腰直角三角形的性质与判定 命题点 3 B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 由作图可知，PQ是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM. ∵以D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB． ∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB． ∵∠DAM＋∠DMA＋∠DBM＋∠DMB＝180°，∴2∠DMA＋2∠DMB ＝180°. ∴∠DMA＋∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°.∴△AMB是等腰直角三角形. 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1. 数学文化 (2023·九江模拟) 我国古代数学名著《九章算术》中有这样 一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索， 绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索 头(绳索头与地面接触)退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索 长为多少．绳索长为__________尺． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．(2023·抚州南城县一模) 如图，Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6， ∠BAC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足 ∠EAP＝∠ABP，则PE＝__________． 1 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸 工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量 仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此， 可求得学校与工厂之间的距离AB等于(　　) D 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2022·遵义) 如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为 (　　) B 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．(2023·济宁) 如图，在正方形方格中，每个小正 方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E 均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F， 若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　　) A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α C 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．(2022·泰州) 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马” 从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后 的落点与出发点间的最短距离为__________． 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．(2023·广安)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm， 在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外 壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处 到内壁A处所走的最短路程为__________ cm.(杯壁厚度不计) 10 返回首页 第20讲　直角三角形及勾股定理 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》本讲内容 $$