第14讲 二次函数的图象与性质（PPT课件）-【中考2号】2024年中考数学讲义（江西专用）

第14讲　二次函数的图象与性质 2024江西数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 二次函数的图象与性质 定义 形式 图象与性质 解析式求法 待定系数法 对称变换 平移变换 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 与方程、不等式的关系 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 图象：二次函数图象都是抛物线，关于某条直线对称，这条直线叫对称轴，对称轴与抛物线的交点叫顶点(最高点或最低点) 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴交点坐标 对称 变换 对于抛物线y＝2x2－4x＋1，顶点式：y＝2(x－1)2－1， (1)关于x轴对称：－y＝2x2－4x＋1，即y＝－2x2＋4x－1 (2)关于y轴对称：y＝①__________________，即y＝②__________ (3)关于原点对称：－y＝2(－x)2－4(－x)＋1，即y＝－2x2－4x－1 (4)关于顶点对称：y＝－2(x－1)2－1，即y＝－2x2＋4x－3 2(－x)2－4(－x)＋1 2x2＋4x＋1 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位，向上平移1个单位，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位，向下平移2个单位，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】 平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反． 平移变换 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 二次函数的图象与 a，b，c的符号关系 (1)a⇔确定开口方向 (2)c⇔确定与y轴交点位置 (3)a，b⇔确定对称轴位置(左同右异) (4)Δ⇔确定抛物线与x轴交点个数 (5) a＋b＋c的符号由x＝1时决定 a－b＋c的符号由x＝－1时决定 (6) 4a＋2b＋c符号由x＝2时决定 4a－2b＋c符号由x＝－2时决定 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 (10)特殊值法：取三个特殊点，代入一般式，求出a，b，c，再判断以上各式的符号 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 (7) a为负数时， 注意变号 (9)两根异号⇔ Δ＞0， x1x2＜0； 两根中一根大于2， 另一根小于2⇔ Δ＞0， (x1－2)(x2－2)＜0 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 与x轴有③____个交点⇔对应方程有两个不相等实数根⇔Δ＞0 与x轴有④____个交点⇔对应方程有两个相等实数根⇔Δ⑤___0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑥_____0 与方程、不等式的关系 与方程 2 1 ＝ ＜ 与不等式 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围解集 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围解集 【提分点拨】 几个公式 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 ►课标要求1　通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 1．(华师九下P41习题T1改编) 一长方体水池深2 m，底面矩形的周长为10 m，设底面一边长为x m，则水池的容积y(m3)关于x的函数表达式为____________________________． 2．(人教九上P28问题1改编) n名足球队员参加比赛，每2名球员之间握 一次手，总握手次数m关于n的函数表达式为m＝______________． (对照2022年版新课标) y＝－2x2＋10x(0＜x＜5) 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 ►课标要求2　能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系(★2022版新增) 3．(湘教九下P19T9改编) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A，B，C． (1)图象的开口向_______，对称轴为直线_______； 与x轴的交点坐标为__________________；与y轴 的交点坐标为_______；二次函数的解析式化为顶 点式为_______________；画出这个函数的图象； 下 x＝1 (－1，0)，(3，0) (0，3) y＝－(x－1)2＋4 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 (1，4) 4 减小 增大 ＞ ＜ ＝ ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 (3)方程ax2＋bx＋c＝0的解为__________________； 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为____________；将 抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位 长度后，所得二次函数的解析式为______________ ________________________；由所得到的平移后二 次函数的解析式知，当－1≤x≤3时，平移后二次 函数的最大值为__________，最小值为__________． x1＝－1，x2＝3 －1＜x＜3 y＝－(x－2)2 ＋2(或y＝－x2＋4x－2) 2 －7 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 C A　　 　 　　B　　 　 　　C　　　 　 D 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 ►课标要求3　会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的 值(★2022版新增) 5．(人教九上P51习题T1改编) 已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时， y取得的最大值为15，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 C 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 ►课标要求4　知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7．(人教九上P40例题改编) 小颖用计算器探索方 程ax2＋bx＋c＝0的根，她作出如图所示二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象，根据图象直接求得方程的 一个近似根为x1≈__________，则另一个近似根 为x2≈__________.(结果精确到0.1) －4.2 2.2 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋4ax＋3(a是常数， a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝－2； ②点(0，3)在抛物线上；③若x1＞x2＞－2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1 ＋x2＝－2.其中正确结论的个数为(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　 D．4 二次函数的图象与性质 命题点 1 B 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴①正确； 当x＝0时，y＝3，则点(0，3)在抛物线上．∴②正确； 当a＞0时，x1＞x2＞－2，则y1＞y2；当a＜0时，x1＞x2＞－2，则y1＜y2.∴③错误； 若y1＝y2，则x1＋x2＝－4.∴④错误． 故正确的有2个．故选B． 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 (2023·内蒙古) 已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点 P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 __________． 2 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数) 的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有(　　) D 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 由题意，得6＝m2－m， 解得m1＝3，m2＝－2. ∵二次函数y＝x2＋mx＋m2－m，对称轴在y轴左侧， ∴m＞0.∴m＝3. ∴y＝x2＋3x＋6. 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 (2023·大连) 已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数 的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上，则ac的值为(　　) A．－1　 B．－2　　 C．－3　 D．－4 B 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 过点A作AH⊥x轴于点H. ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠AOB＝45°.∴∠AOH＝45°. ∴AH＝OH. 设A(m，m)，则B(0，2m). ∴ac的值为－2.故选B． 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 给定自变量取值范围的二次函数值的大小比较，其本质 是比较自变量与对称轴的位置关系． (1)当抛物线开口向上时，自变量对应横坐标的点到对称 轴的距离越远，函数值越大(如图1). (2)当抛物线开口向下时，自变量对应横坐标的点到对称 轴的距离越远，函数值越小(如图2). (3)若所给的自变量的取值范围含有参数，则在求最值时先 要讨论抛物线对称轴的横坐标是否在自变量的取值范围内． 图1 图2 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，下列四个结论： ①abc＜0；②4a－2b＋c＜0；③3a＋c＝0；④当－3＜x ＜1时，ax2＋bx＋c＜0. 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二次函数图象与系数的关系 命题点 2 D 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] ①∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0. ∵二次函数图象的顶点在第三象限， ∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0.∴abc＜0.故结论①正确； 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ②对于y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝4a－2b＋c，∴点(－2，4a－2b＋c)在二次函数的图象上． 又∵二次函数的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(1，0)，∴二次函数与x轴的另一个交点为(－3，0). ∴点(－2，4a－2b＋c)在x轴下方的抛物线上．∴4a－2b＋c＜0.故结论②正确； 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(1，0)，(－3，0)， ④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为(1，0)，(－3，0)， ∴当－3＜x＜1时，二次函数图象的位置在x轴的下方．∴y＜0，即ax2＋bx＋c＜0，故结论④正确． 综上所述，结论①②③④正确．故选D． 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞ 4ac；⑤a＋c＜b.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1， x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则下列 结论正确的是(　　) A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2　　 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 命题点 3 B 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解析] 关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝n的交点的横坐标．由图可知，x1＜x3＜x4＜x2.故选B． 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2021·江西) 在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) D A　 　 　　 B　　 　　 C　 　 　　 D 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 总目录 B 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 总目录 3．(2023·河北) 已知二次函数y＝－x2＋m2x和y＝x2－m2(m是常数)的图 象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 则这两个函数图象对称轴之间的距离为(　　) A．2 B．m C．4 D．2m2 A 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2023·福建) 已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)， B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则 n的取值范围是 _____________． －1＜n＜0 返回首页 第14讲　二次函数的图象与性质 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》本讲内容 $$