专题5.13 二次函数常考考点分类专题（全章专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.13 二次函数常考考点分类专题（全章专项练习） 【考点目录】 【第一部分】二次函数定义 【考点1】列二次函数关系式； 【考点2】利用二次函数定义求参数； 【第二部分】二次函数图象 【考点3】二次函数图象对称轴、顶点坐标、最值； 【考点4】综合判断二次函数和一次函数图象； 【考点5】综合判断二次函数和反比例函数图象； 【考点6】综合判断二次函数和反（一）比例函数图象； 【第三部分】二次函数的性质 【考点7】利用二次函数增减性求参数； 【考点8】利用二次函数的对称性求值； 【考点9】利用二次函数增减性求比较大小； 【考点10】二次函数图象的平移； 【第四部分】二次函数的图象与性质 【考点11】二次函数图象与各项系数符号； 【考点12】根据二次函数的图象判断式子符号； 【考点13】图象法解一元二次不等式； 【考点14】利用不等式求函数值或自变量取值范围； 【第五部分】用二次函数解决问题 【考点15】图形与图形运动问题； 【考点16】拱桥、掷球、喷水问题； 【考点17】销售问题； 【考点18】增长率与其他问题. 【第六部分】二次函数与一元二次方程 【考点19】求抛物线与坐标轴的交点坐标； 【考点20】根据二次函数图象确定相应方程根的情况； 【考点21】求x轴与抛物线的截线长； 【考点22】待定系数法求二次函数解析式. 【第七部分】二次函数与几何综合 【考点23】周长问题； 【考点24】面积问题； 【考点25】角度问题； 【考点26】特殊三角形问题. 【考点27】特殊四边形问题； 【考点1】列二次函数关系式； 【1-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【1-2】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【1-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【考点2】利用二次函数定义求参数； 【2-1】（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【2-2】（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 【2-3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝ ． 【考点3】二次函数图象对称轴、顶点坐标、最值； 【3-1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【3-2】（22-23九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．在此函数图象上 【3-3】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． 【3-4】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，图象不经过第 象限． 【考点4】综合判断二次函数和一次函数图象； 【4-1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【4-2】（19-20九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【考点5】综合判断二次函数和反比例函数图象； 【5-1】（2025·云南昆明·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【5-2】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【5-3】（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（   ） A． B． C． D． 【考点6】综合判断二次函数和反（一）比例函数图象； 【6-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【6-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【6-3】（2022·广西贵港·二模）直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点7】利用二次函数增减性求参数； 【7-1】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【7-2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【7-3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）写一个实数 ，使二次函数，当时，随的增大而减小． 【7-4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【考点8】利用二次函数的对称性求值； 【8-1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【8-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点和点均在抛物线上，当时，等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【8-3】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为 ． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 【8-4】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 【考点9】利用二次函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【9-2】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知抛物线过点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【9-3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【9-4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是 ． 【考点10】二次函数图象的平移； 【10-1】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（  ） A． B． C． D． 【10-2】（24-25九年级上·山西大同·期中）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【10-3】（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线的对称轴在y轴左侧，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是 ． 【10-4】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 【考点11】二次函数图象与各项系数符号； 【11-1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）抛物线如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【11-2】（24-25九年级上·湖北·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【11-3】（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第 象限． 【11-4】（23-24九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 (为常数)的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是 ． 【考点12】根据二次函数的图象判断式子符号； 【12-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．关于x的方程的两根是 C．当时，y随x的增大而减小 D． 【12-2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【12-3】（24-25九年级上·四川德阳·期中）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有 ． 【12-4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论有 ．    【考点13】图象法解一元二次不等式； 【13-1】（2023九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【13-2】（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【13-3】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是 ． 【13-4】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【考点14】利用不等式求函数值或自变量取值范围； 【14-1】（2023·江苏常州·一模）函数和的图象如图所示若，分别为方程和，的一个解，则根据图像可知、的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【14-2】（2010·浙江·中考模拟）如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是 ． 【14-3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知点在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是 ． 【14-4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为， （请用含的代数式表示）． 【考点15】图形与图形运动问题； 【15-1】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知：正方形边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为x，则s关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【15-2】（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【15-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，将矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，点P从点C出发沿向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿向点G运动，连接．设的面积为与x的函数关系如图2所示，其中图象最低点N的纵坐标为，则的值为 ． 【15-4】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设这个菜园垂直于墙的一边长为，菜园的面积为S（单位：）． (1)求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)填空：垂直于墙的一边长为_________时，这个菜园的面积最大？最大面积为_________． 【考点16】拱桥、掷球、喷水问题； 【16-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【16-2】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，是抛物线拱桥的示意图．该抛物线的表达式为，为保护拱桥安全，要在距水面高度为的拱桥上的点，处安装两盏警示灯，则这两盏灯间的水平距离是 ． 【16-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）掷实心球是杭州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面米，实心球行进路线的抛物线解析式为 ，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米． 【16-4】（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是 米． 【考点17】销售问题； 【17-1】（2024九年级上·浙江·专题练习）某超市计划在春节前45天里销售某品牌的小零食，其进价为18元．若设第天的销售单价为（元，销售量为．根据往年的销售情况，该超市经理得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系②与的关系为． (1)求销售第10天的日销售利润； (2)当为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？ (3)若超市希望第32天到第40天的日销售利润（元）的最小值为5460元，则需要在当天销售单价的基础上涨元，求的值为多少． 【17-2】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现，销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系． (2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 【17-3】（24-25九年级上·山西朔州·期中）某超市出售一种水果，进价为每千克2元．根据长期的销售情况，超市发现，当这种水果售价为每千克3元时，每天能卖出500千克，如果售价每千克上涨元，其销售量将减少10千克． (1)若该种水果每千克售价上涨元，则每千克利润为______元，平均每天销售______千克，当天利润为______元． (2)当该种水果售价为每千克多少元时，该超市销售这种水果的总利润最大?最大利润是多少? 【17-4】（2025·云南昆明·一模）某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 【考点18】增长率与其他问题. 【18-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为 ． 【18-2】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【18-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）“1分钟跳绳”是厦门市体育测试的自选项目之一．为了促进大家对跳绳运动的喜爱，提升兴趣．某班举行多人跳绳游戏．当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 【18-4】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【考点19】求抛物线与坐标轴的交点坐标； 【19-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)该函数图象的开口方向是 ； (2)抛物线与y轴的交点坐标是 ； (3)当时，则函数y的最小值是 ； (4)当时，则自变量x的取值范围是 ． 【19-2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【19-3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知，且点和都在这个二次函数的图象上，则 【19-4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的图象与y轴交于点C，且经过点，． （1）点C的坐标为 ； （2）当时，二次函数的值是 ． 【考点20】根据二次函数图象确定相应方程根的情况； 【20-1】（24-25九年级上·天津静海·期中）已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【20-2】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，抛物线与x轴相交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤关于x的方程的两个根为，．正确结论的序号为 ． 【20-3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）在同一平面直角坐标系中，已知直线（是常数，）过点，若无论取何值，直线与抛物线（是常数，）的图象总有公共点，则的取值范围是 ． 【20-4】（24-25九年级上·湖北·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的解为________； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (3)若方程有实数根，写出m的取值范围． 【考点21】求x轴与抛物线的截线长； 【21-1】（24-25九年级上·江西宜春·期中）二次函数的图象过点、． (1)求该二次函数解析式； (2)关于x的不等式的解集为_______． 【21-2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）抛物线与x轴的公共点是，． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)求的值． 【21-3】（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【考点22】待定系数法求二次函数解析式. 【22-1】（2025·云南昆明·一模）已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【22-2】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 【22-3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【考点23】周长问题； 【23-1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； 【23-2】已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【考点24】面积问题； 【24-1】如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 【24-2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【考点25】角度问题； 【25-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，在的左侧)，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知点为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)将抛物线关于轴作轴对称变换，得到图象，现将图象沿直线平移，得到新的图象，图象与线段只有一个交点，求图象顶点横坐标的取值范围． 【25-2】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【考点26】特殊三角形问题. 【26-1】在平面直角坐标系中，点，已知抛物线（m是常数），顶点为P．    (1)当抛物线经过点A时，求顶点P坐标； (2)等腰，点B在第四象限，且．当抛物线与线段有且仅有两个公共点时，求m满足的条件； (3)无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当，求此抛物线解析式． 【26-2】如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【考点27】特殊四边形问题； 【27-1】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【27-2】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【考点28】其他问题； 【28-1】如图1所示，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于A和两点，与轴交于点，对称轴是直线．点P，Q在此抛物线上，点的横坐标是点横坐标的两倍，且都是正数． (1)则_____________；_____________； (2)点绕着点逆时针旋转到，判断直线与点的位置关系； (3)连接OP，当的面积等于此抛物线位于点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出点横坐标的值_____________． 【28-2】已知抛物线，顶点为． (1)求b，c的值． (2)若时，如图1，P为y轴右侧抛物线上一动点，过P作直线轴于点N，交直线l：于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值． (3)若时，如图2，直线与抛物线相交于A，B，当时，求的面积． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.13 二次函数常考考点分类专题（全章专项练习） 【考点目录】 【第一部分】二次函数定义 【考点1】列二次函数关系式； 【考点2】利用二次函数定义求参数； 【第二部分】二次函数图象 【考点3】二次函数图象对称轴、顶点坐标、最值； 【考点4】综合判断二次函数和一次函数图象； 【考点5】综合判断二次函数和反比例函数图象； 【考点6】综合判断二次函数和反（一）比例函数图象； 【第三部分】二次函数的性质 【考点7】利用二次函数增减性求参数； 【考点8】利用二次函数的对称性求值； 【考点9】利用二次函数增减性求比较大小； 【考点10】二次函数图象的平移； 【第四部分】二次函数的图象与性质 【考点11】二次函数图象与各项系数符号； 【考点12】根据二次函数的图象判断式子符号； 【考点13】图象法解一元二次不等式； 【考点14】利用不等式求函数值或自变量取值范围； 【第五部分】用二次函数解决问题 【考点15】图形与图形运动问题； 【考点16】拱桥、掷球、喷水问题； 【考点17】销售问题； 【考点18】增长率与其他问题. 【第六部分】二次函数与一元二次方程 【考点19】求抛物线与坐标轴的交点坐标； 【考点20】根据二次函数图象确定相应方程根的情况； 【考点21】求x轴与抛物线的截线长； 【考点22】待定系数法求二次函数解析式. 【第七部分】二次函数与几何综合 【考点23】周长问题； 【考点24】面积问题； 【考点25】角度问题； 【考点26】特殊三角形问题. 【考点27】特殊四边形问题； 【考点1】列二次函数关系式； 【1-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可． 解：由题意得， 故选：D． 【点拨】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键． 【1-2】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 【1-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 【考点2】利用二次函数定义求参数； 【2-1】（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 解：、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【2-2】（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 【答案】 【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 【2-3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝ ． 【答案】4 【分析】根据函数的表达式，先求出函数的对称轴，再根据当得出当最后将点代入函数表达，将m和n用a、b表示出来即可求解． 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为：， ∵ ∴当即：， 整理得：， 将点代入得： ， ∴， 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据函数表达式分析函数的对称轴以及最值． 【考点3】二次函数图象对称轴、顶点坐标、最值； 【3-1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式的特点进行分析即可求解． 解：二次函数， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴函数的对称轴直线为，故A，B选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象开口向下，函数有最大值，最大值为，故C选项正确，符合题意； ∴D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【3-2】（22-23九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．在此函数图象上 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据二次函数的图象与性质对每一个选项进行分析，只有选项符合题意． 解：根据题意得： 、，图像开口向下，本选项说法不正确，故不符合题意； 、，对称轴是直线，本选项说法不正确，故不符合题意； 、，，顶点坐标为，本选项说法不正确，故不符合题意； 、当时，，在此函数图象上，本选项说法正确，故符合题意． 故选：． 【3-3】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，待定系数法求直线关系式，根据待定系数法求出直线的关系式，再根据规律确定抛物线的横坐标，再代入关系式得出答案． 解：设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 抛物线的横坐标为21， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【3-4】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，图象不经过第 象限． 【答案】 x=1 （1，1） 二 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式即可进行解答． 解：∵， ∴函数的对称轴为：x=1，顶点坐标为：（1，1）， ∵函数开口向下，顶点坐标在第一象限，当x=0时，y=0， ∴函数图像不经过第二象限． 故答案为：x=1，（1，1），二 【点拨】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关内容，根据函数的表达式找出函数的对称轴及顶点坐标是解题的关键． 【考点4】综合判断二次函数和一次函数图象； 【4-1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式及二次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程没有实数根确定k的取值范围，然后根据二次函数的性质确定其图象的位置． 解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称， 四个选项中，只有选项C符合， 故选：C． 【4-2】（19-20九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 【考点5】综合判断二次函数和反比例函数图象； 【5-1】（2025·云南昆明·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴， 则一次函数经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【5-2】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键．，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 解：∵时，两个函数的函数值， ∴两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， ∴， ∴一次函数随着x的增大而增大， ∴A选项正确，C选项错误． 故选：A． 【5-3】（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可． 解：∵直线过一，三，四象限， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴，与轴交于正半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选：C． 【考点6】综合判断二次函数和反（一）比例函数图象； 【6-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 【6-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 【6-3】（2022·广西贵港·二模）直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象可得直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点时，即可求得答案． 解：根据函数图象得，当时，直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数图象和反比例函数图象，能够利用数形结合的思想是解题的关键． 【考点7】利用二次函数增减性求参数； 【7-1】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称轴计算公式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性，由此即可求解． 解：抛物线的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y 值会随着 x 的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 故选：C． 【7-2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，不等式的解法等知识点，由二次函数的性质可确定出a的范围，能够得出关于a的不等式，并正确求解不等式是解题关键． 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵在时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故选：A． 【7-3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）写一个实数 ，使二次函数，当时，随的增大而减小． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，进而求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ， 解得， 故答案为：（答案不唯一）． 【7-4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于m的不等式是解题的关键． 可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案． 解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为 【考点8】利用二次函数的对称性求值； 【8-1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键． 根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案． 解：∵当时， 或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小， ∵， 又， 是抛物线上的两点， 且， ∴， ∴， ∴， ， 故选： A． 【8-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点和点均在抛物线上，当时，等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，理解点A与点B的位置关系是解题的关键． 根据点A与点B的纵坐标相同可得点A，B关于抛物线的对称轴对称，从而得到，进而即可解答． 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为， ∵点和点在抛物线上， ∴点A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴， 当时，． 故选：B 【8-3】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为 ． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单． 由于时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 解：∶和2时的函数值都是4， 对称轴为直线， 故答案为∶直线． 【8-4】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，二次函数图象与系数关系； （1）根据抛物线的对称性可得点P的坐标与点C的纵坐标相等，再根据对称的性质求出横坐标即可； （2）把点A、C的坐标代入函数解析式并用a表示出b，令，表示出t，再根据顶点在第一象限求出a的范围，即可求得t的范围． 解：（1）∵点C与点P关于直线对称， ∴点P的纵坐标为1； 设点P的横坐标为x，则， ∴， 即点P的坐标为； 故答案为：； （2）∵二次函数的图像过点和， ∴， 则， 即； 上式中，令，则； ∵抛物线的顶点在第一象限， ∴，， 由后一式得，则， ∴由前一式得， ∴， 即， 故答案为：． 【考点9】利用二次函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称轴确定各点到对称轴的距离，结合二次函数的开口方向，即可判断，，的大小关系． 解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上， 且，，，抛物线开口向下， ∴， 故选：A． 【9-2】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知抛物线过点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 解：由二次函数，得它的对称轴为直线，开口向上， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【9-3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的开口方向和对称轴，求出点关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案． 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵二次函数均过点、、， ∴点关于直线的对称点是在函数的图象上， ∵， ∴，即， 故选：C． 6．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握比较二次函数的函数值大小是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 解：由抛物线的解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故答案为：． 【考点10】二次函数图象的平移； 【10-1】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像平移，熟记函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据二次函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案． 解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线为：， 故选：B． 【10-2】（24-25九年级上·山西大同·期中）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式，抛物线的平移，先将化为顶点式，再结合左加右减，上加下减可得答案． 解：∵， 将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得，即． 故选：B． 【10-3】（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线的对称轴在y轴左侧，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线的解析式． 根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将代入，求得的值即可代入． 解：抛物线的对称轴在y轴左侧， ， 抛物线， 将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：， 将代入，得， 解得：，（舍去） 故答案为：． 【10-4】（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为， ∵顶点在直线上， ∴． 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为． 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【考点11】二次函数图象与各项系数符号； 【11-1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）抛物线如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】考查的是二次函数的性质及二次函数的图象与系数的关系，利用数形结合求解是解答此题的关键． 据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 解：A、∵函数图象开口向下，∴，故本选项错误； B、由函数图象可知，对称轴在y轴的左侧，∴，∴，故本选项错误； C、∵函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，∴，故本选项正确，故D错误； 故选：C． 【11-2】（24-25九年级上·湖北·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记二次函数图象与系数的关系，能通过图象判断二次函数系数的取值范围是解决本题的关键． 通过开口和对称轴判断出之间的关系，即可判断出说法①②的正确性，再通过与x轴的交点个数，可判断③，通过与y轴的交点得到c的取值范围，即可判断④． 解：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，，故说法①错误； ∴，故说法②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故说法③正确； 由图象与y轴交点在y轴的正半轴上，可知当时，， ∵， ∴，故说法④正确， ∴错误的结论个数有1个， 故选：D． 【11-3】（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）二次函数（a、b、c是常数，）的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及象限内点的坐标特征，根据图象可知，，，即可判断点所在象限，即可解题． 解：由图知，，，对称轴为直线 ∴ 点在第三象限． 故答案为：三． 【11-4】（23-24九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 (为常数)的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质：增减性、图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 能够根据二次函数的解析式得出顶点坐标、系数的值，再结合函数的增减性、图象与系数的关系即可得出结论． 解：二次函数图象的形状由决定，和中均为，故图象形状相同，①正确； 由顶点式可知，二次函数顶点坐标为， 故顶点在函数的图象上，②正确； 二次函数中， 当时，y随x的增大而减小，③错误； 当时，代入二次函数中可得， 故该函数的图象一定经过点，④正确． 故答案为：①②④ 【考点12】根据二次函数的图象判断式子符号； 【12-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．关于x的方程的两根是 C．当时，y随x的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断． 解：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y轴交点位置可知， ∴，A选项正确，不符合题意； 根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于和， ∴方程的两根是，B选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，变形可得，D选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，故时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，C选项不正确，符合题意． 故选：C． 【12-2】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，最值判断④，特殊点结合对称轴判断⑤． 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； 由图象，当时，，故③错误； 当时，函数有最大值，当时，， ∴， ∴，故④正确； 由对称性可知：和的函数值相同， ∴， ∵， ∴， ∴；故⑤正确； 故选B． 【12-3】（24-25九年级上·四川德阳·期中）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为直线，即，可得与的关系；将、两点代入可得、的关系；函数开口向下，时取得最小值，则，可判断③；根据图象，顶点坐标，判断④；由图象知，从而可以判断⑤．本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 解：二次函数与轴交于点、． 二次函数的对称轴为直线，即． ． ．故①正确， 二次函数与轴交于点、． ，． 又． ，． ，． ．故②错误， 抛物线开口向上，对称轴是直线． 时，二次函数有最小值． 时，． 即．故③正确， ，，是等腰直角三角形． ． 解得，． 设点坐标为． 则． 解得． 点在轴下方． 点为． 二次函数的顶点为，过点． 设二次函数解析式为． ． 解得．故④正确， 由图象可得，． 故是等腰三角形时，的值有2个．故⑤错误， 故正确，错误． 故答案为：． 【12-4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论有 ．    【答案】①③④ 【分析】利用二次函数图象结合点，，得对称轴为直线，则，然后抛物线交轴的正半轴，得，即可判断①；结合开口向上，在时，有最大值，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，即可判断②③；因为，，则，结合二次函数的图象性质，即可作答．本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点进行计算． 解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于点，， 对称轴为直线， ， ， 抛物线交轴的正半轴， ， ，故①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴把代入， 得， 此时函数有最大值，且为， 把代入， ∴， 则（m为任意实数）； ∴（m为任意实数）， 故②是错误的； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 把分别代入， 得 则， 即 ，故③正确； ∵， 又∵抛物线与轴交于点，， ∴，， ， 将代入得， ∴ ， ∴对于任意实数m，一定都大于0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故④是正确的， 故答案为：①③④． 【考点13】图象法解一元二次不等式； 【13-1】（2023九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 解：∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点拨】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２ 【13-2】（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点的概念是解题的关键， 由函数的不动点概念得出是方程的两个实数根，由可得且当时，据此列不等式组求解即可. 解：由题意知是方程的两个实数根且， 整理得:， ∵有两个不相等的实数根且， ∴①， 令，画出该二次函数的草图如下:    ∵， ∴当时，即②， ①②联立解得：． 故选：A． 【13-3】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【13-4】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 【考点14】利用不等式求函数值或自变量取值范围； 【14-1】（2023·江苏常州·一模）函数和的图象如图所示若，分别为方程和，的一个解，则根据图像可知、的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论． 解：方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标， 的一个解为函数的图象与直线交点的横坐标， 如图所示： 由图象可知：． 故选：C． 【14-2】（2010·浙江·中考模拟）如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 解：抛物线与直线交点坐标为，， 或时，抛物线在直线上方， 使成立的的取值范围是或． 故答案为：或 【14-3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知点在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由可得抛物线开口向下，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解． 解：由题意得：抛物线对称轴， ∵点C为抛物线的顶点，且， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴，即， ∴，即，, 解得：， 故答案为：． 【14-4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为， （请用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴所在范围、确定函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值，求解即可． 解：二次函数的图象经过点两点， 图象开口向下，对称轴为直线，即， ， ， 当时，函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值， ，， ， 故答案为：． 【考点15】图形与图形运动问题； 【15-1】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知：正方形边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为x，则s关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、实际问题与二次函数，设小正方形的面积为，为x，则，，由勾股定理可得，结合二次函数的性质即可得解． 解：∵四边形、均为正方形， ∴，，， ∵， ∴设小正方形的面积为，为x，则，， ∴由勾股定理可得：， ∴, ∴所求抛物线是开口向上，对称轴为直线，如图所示： 故选：B． 【15-2】（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键；设养鸡场的宽为，则长为；当时，求得x的值，可判定①；当时，求得x的值，可判定②；设围成养鸡场的面积为，则，利用二次函数的性质即可判断③．最后可作出判断． 解：设养鸡场的宽为，则长为； ①由题意得：， 解得：， 当时，， 即长超过了墙长，不合题意， 故， 即养鸡场的宽为； 故①错误； ②由题意得：， 整理得：； 而， 即一元二次方程无实数解； 故围成养鸡场的面积能达到； 故②错误； ③设围成养鸡场的面积为； 由题意得：， 由于，则围成养鸡场的最大面积为； 故③正确； 综上，正确的只有一个； 故选：B． 【15-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，将矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，点P从点C出发沿向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿向点G运动，连接．设的面积为与x的函数关系如图2所示，其中图象最低点N的纵坐标为，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查函数图象，动点与几何图形面积的计算，根据图象可知，设，则，根据二次函数图象的性质可得，由此即可可得或，则可得到，代入计算即可． 解：∵点的运动速度相同， ∴， 根据旋转的性质可得，， 当点在上时，点在上， ∴ ， 由图象可知当时，为定值， ∴，设， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ， ． 【15-4】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设这个菜园垂直于墙的一边长为，菜园的面积为S（单位：）． (1)求S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)填空：垂直于墙的一边长为_________时，这个菜园的面积最大？最大面积为_________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）根据长方形的面积公式即可求得S与x的函数关系式； （2）根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值． 解：（1）解：若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴矩形的面积， 由题意得，解得 自变量x的取值范围为：． ∴S与x的函数解析式． （2）解：， ∵， ∴当时，面积最大，最大面积为； 即垂直于墙的一边长为时，这个菜园的面积最大，最大面积为． 故答案为：，． 【考点16】拱桥、掷球、喷水问题； 【16-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 解：（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点拨】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【16-2】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，是抛物线拱桥的示意图．该抛物线的表达式为，为保护拱桥安全，要在距水面高度为的拱桥上的点，处安装两盏警示灯，则这两盏灯间的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．首先根据点距水面高度为，可得方程，解方程求出点、的横坐标，利用坐标计算得到的长度． 解：点距水面高度为， ， 整理得：， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ． 故答案为： ． 【16-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）掷实心球是杭州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面米，实心球行进路线的抛物线解析式为 ，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米． 【答案】 10 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，已知抛物线的顶点，抛物线与轴的交点，可设抛物线的顶点式，并求出解析式；要得到实心球的成绩，即求出与轴交点坐标，即对应的的值． 解：抛物线的顶点，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为：； 当时，， 解得： （舍去），， 即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米； 故答案是：；10． 【16-4】（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是 米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，则， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ． 故答案为：20 【考点17】销售问题； 【17-1】（2024九年级上·浙江·专题练习）某超市计划在春节前45天里销售某品牌的小零食，其进价为18元．若设第天的销售单价为（元，销售量为．根据往年的销售情况，该超市经理得出以下的销售规律：①当时，；当时，与满足一次函数关系②与的关系为． (1)求销售第10天的日销售利润； (2)当为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？ (3)若超市希望第32天到第40天的日销售利润（元）的最小值为5460元，则需要在当天销售单价的基础上涨元，求的值为多少． 【答案】(1)2200元； (2)当时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元；(3)5 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，根据题意正确地得出函数关系式并分类讨论是解题的关键． （1）第天的销售利润等于当日利润乘以销售量，可列出关于的函数，将相关数值代入计算即可； （2）分两种情况可求：①当时，；②当时，与满足一次函数关系；分别得出关于的函数，并分段求得的最大值，两者相比较可得答案； （3）先用含的式子表示出关于的二次函数，再分三种情况计算即可：①当，即对称轴为直线时，的最小值在或处取得；②当时，对称轴，则当时，取得最小值；③当时，对称轴，则当时，取得最小值． 解：（1）解：第天的销售利润， 当时，；与的关系为， 销售第10天的日销售利润（元， 销售第10天的日销售利润为2200元； （2）解：①当时，；当时，与满足一次函数关系；②与的关系为， ， 整理得：． 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时（元； 当时， ， 当时，取最大值，此时（元． 综上所述，当时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元； （3）解：由题意得： 对称轴为：， 第32天到第40天的日销售利润（元的最小值为5460元， ①当，即对称轴为直线时，的最小值在或处取得， 当，时， 故不符合题意； ②当时，对称轴，则当时，取得最小值， ， ，与矛盾， 不符合题意； ③当时，对称轴，则当时，取得最小值， ， ，符合题意． 的值为． 【17-2】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现，销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系． (2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 【答案】(1)； (2)30元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．理解题意，正确列出函数关系式是解题关键． （1）由题意可知销售单价x元时，涨价为元，从而得出少卖个，进而即可列出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系； （2）由题意得出每个利润为元，再乘以销售量y（个），即得出w与x的函数关系，再结合二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：由题意得：， ∵，则， ∴， ∴每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系为：； （2）解：设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元）， 根据题意得： ． ∵， ∴当时，最大，且， 答：当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润． 【17-3】（24-25九年级上·山西朔州·期中）某超市出售一种水果，进价为每千克2元．根据长期的销售情况，超市发现，当这种水果售价为每千克3元时，每天能卖出500千克，如果售价每千克上涨元，其销售量将减少10千克． (1)若该种水果每千克售价上涨元，则每千克利润为______元，平均每天销售______千克，当天利润为______元． (2)当该种水果售价为每千克多少元时，该超市销售这种水果的总利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)；450；675；(2)该种水果售价为5元每千克时，该超市销售这种水果的总利润最大，最大利润为900元 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题． （1）根据题意计算填空即可； （2）依据题意根据销售利润＝销售量×（售价-进价），列出每天的销售利润（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式，再依据二次函数的性质求得最大利润． 解：（1）解：该种水果每千克售价上涨0.5元，则每千克利润为元， 平均每天销售千克，当天利润为元． 故答案为：；450；675； （2）解：设该种水果售价为每千克元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，最大，最大利润为900元． 答：该种水果售价为每千克5元时，该超市销售这种水果的总利润最大，最大利润为900元． 【17-4】（2025·云南昆明·一模）某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)；(2)当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关系式，利用二次函数的性质即可求解． 解：（1）解：设y与x之间的函数解析式为． 把代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答∶当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元． 【考点18】增长率与其他问题. 【18-1】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数的解析式为，代入计算可得解析式，再把时，代入解析式计算即可． 解：根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 二次函数图象经过， ， 故答案为：． 【18-2】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 解：（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 【18-3】（23-24九年级上·福建厦门·期中）“1分钟跳绳”是厦门市体育测试的自选项目之一．为了促进大家对跳绳运动的喜爱，提升兴趣．某班举行多人跳绳游戏．当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为． (1)求绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ 【答案】(1) (2)小明能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的最值等知识点，正确求得抛物线的解析式成为解题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，再根据待定系数法求解即可； （2）先将函数关系式化为顶点式，然后求出函数的最值，再与小明的身高作比较即可解答． 解：（1）解：根据题意，抛物线经过点． ∴，解得， ∴绳子所对应的抛物线表达式为：． （2）解：小明能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．理由如下： ∵， ∴当时，， ∵， ∴绳子不能碰到小明，小明能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶． 【18-4】（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5%； (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 解：（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点19】求抛物线与坐标轴的交点坐标； 【19-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)该函数图象的开口方向是 ； (2)抛物线与y轴的交点坐标是 ； (3)当时，则函数y的最小值是 ； (4)当时，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】(1)向上；(2)；(3)； (4)或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，与坐标轴的交点，二次函数与不等式的关系，，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想． （1）由即可确定开口向上； （2）当，即可求解； （3）可得对称轴为直线：，而，开口向上，故当时，； （4）当时，则，解得：，故与抛物线的两个交点的横坐标分别为，那么转化为在直线上方的抛物线所对应横坐标的取值范围． 解：（1）解：∵， ∴开口向上， 故答案为：向上； （2）解：当时，， ∴与y轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：对于， 可得对称轴为直线：， ∵，开口向上 ∴当时，， 故答案为：； （4）解：当时，则， 解得：， ∴与抛物线的两个交点的横坐标分别为 如图： ∴当，自变量x的取值范围为或． 【19-2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)，，； (2)；(3) 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （）由平移前点A的坐标和顶点坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 解：（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，函数有最小值为；当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵平移前，顶点坐标为， ∴原抛物线向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【19-3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知，且点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．根据，即可判断选项A；把二次函数化为顶点式即可判断B，求出抛物线与x轴的交点坐标即可判断C；抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而减小，根据二次函数的对称性和增减性即可判断D． 解：A. ∵， ∴二次函数的图象的开口向下， 故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴该二次函数图象的顶点坐标是， 故选项错误，符合题意； C. 当时，， 解得， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是和， 故选项正确，不符合题意； D. ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而减小， ∴点关于直线的对称点为， 当时，，， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意． 故选：B 【19-4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的图象与y轴交于点C，且经过点，． （1）点C的坐标为 ； （2）当时，二次函数的值是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）当时，，可得点C的坐标为； （2）由，是二次函数的图象上的两点，可知点A，B关于对称轴直线对称，则，即．由，将代入，计算求解即可． 解：（1）解：∵当时，， ∴点C的坐标为， 故答案：． （2）解：∵，是二次函数的图象上的两点， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴，即． ∵， ∴将代入，得，即， ∴二次函数的值是3， 故答案为：3． 【考点20】根据二次函数图象确定相应方程根的情况； 【20-1】（24-25九年级上·天津静海·期中）已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 【20-2】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，抛物线与x轴相交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤关于x的方程的两个根为，．正确结论的序号为 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由决定．利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另个交点坐标为，则可对③⑤进行判断；由对称轴和开口方向可对②④进行判断． 解：∵抛物线与x轴相交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴，所以①正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，②正确； ∵抛物线与x轴的交点为和， ∴关于x的方程的两个根为，，故⑤正确． ∴当时，或，故③错误； 当时，，故④正确； 综上，①②④⑤正确，． 故答案为：①②④⑤． 【20-3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）在同一平面直角坐标系中，已知直线（是常数，）过点，若无论取何值，直线与抛物线（是常数，）的图象总有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线和直线交点和利用抛物线的性质求解不等式， 首先将代入得到，，得到直线，然后联立得到，根据题意得到，整理得到，然后配方成，进而求解即可． 解：∵直线（是常数，）过点， ∴ ∴ ∴直线 ∵无论取何值，直线与抛物线（是常数，）的图象总有公共点， ∴ 整理得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴． 答案为：． 【20-4】（24-25九年级上·湖北·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的解为________； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (3)若方程有实数根，写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)。 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，充分利用函数图象，数形结合是解题的关键． （1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根； （2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围； （3）方程有实数根，即函数与有交点，据此即可直接求出m的取值范围． 解：（1）解：当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知， 方程的两个根为，． （2）根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 此时，． （3）由图：方程有实数根 即函数与有交点， 此时，． 【考点21】求x轴与抛物线的截线长； 【21-1】（24-25九年级上·江西宜春·期中）二次函数的图象过点、． (1)求该二次函数解析式； (2)关于x的不等式的解集为_______． 【答案】(1)；(2)； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、根据交点确定不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将，代入二次函数得，解方程组即可得到答案； （2）由二次函数的性质即可得到答案． 解：（1）解：二次函数的图象过点、， 将，代入二次函数得，， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：二次函数的解析式为，， 二次函数的开口向上， 当时，， 解得，， 则二次函数的图象与轴交于，两点， 关于的不等式的解集为， 故答案为：． 【21-2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）抛物线与x轴的公共点是，． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查抛物线的对称性，待定系数法求函数解析式，关键在于理解二次函数的性质． （1）根据二次函数的抛物线的对称性，可得二次函数与x轴的交点是关于抛物线的对称轴对称的，利用两个交点的坐标，求出中点，即可求出对称轴； （2）由题意可设抛物线为，进而求得，，即可求解． 解：（1）解：由抛物线的对称性可知，，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是直线． （2）抛物线与x轴的公共点是，， 可设抛物线为． ． ，． 的值为． 【21-3】（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把代入函数的解析式求得函数值即可判断． 解：（1）解：此二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为：， 它的图象过点， ，解得， 此二次函数的解析式为． （2）解：点不在这个二次函数的图象上． 理由：当时，． 点不在这个二次函数的图象上． 【考点22】待定系数法求二次函数解析式. 【22-1】（2025·云南昆明·一模）已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，李彤连点间距离公式进而求解． 解：（1）证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 【22-2】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，的面积为6． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入解析式，得，即可得点在函数图象上，令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解． 解：（1）设二次函数为，把、、代入二次函数解析式， 得：， 解得． ∴二次函数的解析式为：； （2）把代入解析式，可得：， ∴点在函数图象上． 当，， 解得：， ∴ ∴． 【22-3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 【考点23】周长问题； 【23-1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是求解析式以及确定H点的位置： （1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 如图所示：连接交对称轴于点， ∵、两点关于对称， ∴ ∴周长 ∴当点C，H，B三点共线时，周长的最小，即的长度 当时，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ∴当时，， ． 【23-2】已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入，即可得解； （2）先求，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，最后利用两点之间的距离公式求解； ②作，连接，，先得出即求的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值即，得解． 解：（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键． 【考点24】面积问题； 【24-1】如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质 （1）根据与的坐标可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式是； （2）首先求出、两点坐标，计算出的长，再设，，根据的面积为可以计算出的值，然后再利用二次函数解析式计算出的值即可得到点坐标． 解：（1）解：∵与在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， 设函数的解析式为， 将代入得， ∴ 解得， ∴函数的解析式，即； （2）解：当时，， 解得：； ，， ． 设， 的面积为， ， 解得：， 当时，， 解得：或， 或； 当时，， 方程无解，舍去． 故或． 【24-2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点 (3),的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质，面积问题； （1）令，求得的坐标，令，求得的坐标 （2）根据对称性可得，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． 当时，，则， 当时，， 解得： ∴，； （2）存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，；是对称点，且，对称轴为直线 如图所示，当是与的交点时，的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． （3）如图，设，过点作交于点，则 ∴ ∴ ∴当时，的面积最大，最大值为 ∴ ∴ 【考点25】角度问题； 【25-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，在的左侧)，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知点为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)将抛物线关于轴作轴对称变换，得到图象，现将图象沿直线平移，得到新的图象，图象与线段只有一个交点，求图象顶点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，二次函数与一次函数综合； （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图： 在中，令 得， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， 由，得直线解析式为； 联立， 解得：或舍去， ； （3）解：抛物线的函数解析式为：，顶点为， 将图象沿直线平移，由，得直线解析式为； 将抛物线沿轴翻折后顶点为， 顶点运动的轨迹为 ， 图象的顶点坐标为， 则图象对应的函数解析式为：， 当图象过点时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； 当顶点为时，图象恰好过点、； 当抛物线与线段相切时， 联立和抛物线的表达式得：， 即； 令得：，此时， 的范围是或． 【25-2】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)D点的坐标为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 解：（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； （2）设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 【考点26】特殊三角形问题. 【26-1】在平面直角坐标系中，点，已知抛物线（m是常数），顶点为P．    (1)当抛物线经过点A时，求顶点P坐标； (2)等腰，点B在第四象限，且．当抛物线与线段有且仅有两个公共点时，求m满足的条件； (3)无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当，求此抛物线解析式． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入中，求值即可； （2）先求出B点坐标，由抛物线与有且仅有两个公共点，列不等式求解即可； （3）由题意可知抛物线过定点，再分类讨论：①点P在的左侧和②点P在的右侧，构造全等三角形，求出直线解析式，即可求解． 解：（1）解：∵抛物线经过点A， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点P坐标为； （2）解：∵，， ∴． 设直线解析式为，则， ∴直线解析式为． ∵抛物线与线段有且仅有两个公共点， ∴有2个不相等的实数根， 整理得：， ∴， ∴或． ∵抛物线与线段有且仅有两个公共点， ∴， 解得：， ∴或； （3）解：∵当时，， ∴抛物线过定点． 分类讨论：①点P在的左侧，如图1，过点A作，过点B作，过点H作，    ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． ∵， ∴． ∵点P在直线上， ∴， 解得：，． ∵当时，点于点H重合， ∴， ∴抛物线解析式为； ②点P在的右侧，如图2，    同理可求直线解析式为， ∵点P在直线上， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴抛物线解析式为． 综上可知此抛物线解析式为或． 【点拨】本题考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的判定及性质，待定系数法是解题的关键． 【26-2】如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等： （1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 解：（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 【考点27】特殊四边形问题； 【27-1】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． 解：（1）解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． （3）解：存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点拨】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． 【27-2】如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，此时 (3)或或或 【分析】（1）求出当时，的值；将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）设，确定直线的解析式为，过点作垂直于轴，交于点，则点，得出，根据二次函数的最值可得结论； （3）分三种情况：①当，为邻边时；②当，为邻边时；③当，为邻边时；分别求解即可． 解：（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， 当时，得：， 当时，得：，解得：，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）设， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作垂直于轴，交于点， ∴点， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴ ∴， ， ∴当时，有最大值，此时， ∴面积的最大值为，此时； （3）设；， ∵， ∴， ， ， ∵点、、、构成的四边形为菱形， ①当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），，， ∴此时点的坐标为，； ②当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时点的坐标为； ③当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），（此时点、重合，舍去），， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点拨】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点式，二次函数的最值的应用，待定系数法确定一次函数的解析式，菱形的性质，两点间的距离，一元二次方程的应用等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【考点28】其他问题； 【28-1】如图1所示，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于A和两点，与轴交于点，对称轴是直线．点P，Q在此抛物线上，点的横坐标是点横坐标的两倍，且都是正数． (1)则_____________；_____________； (2)点绕着点逆时针旋转到，判断直线与点的位置关系； (3)连接OP，当的面积等于此抛物线位于点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出点横坐标的值_____________． 【答案】(1)，1 (2)点B在直线上 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、直角三角形的性质、一元二次方程的应用等知识点．掌握分类讨论思想是解答本题的关键． （1）由二次函数对称轴为求出a值，然后把点C坐标代入抛物线解析式求出c值即可解答； （2）根据的三个顶点坐标求出三边长度，由勾股定理逆定理得出，即可得出点B在直线上． （3）由抛物线解析式求出顶点纵坐标，然后根据P、Q两点与对称轴的位置关系：在对称轴左侧、两侧及右侧进行讨论．由的面积等于之间对应的最大纵坐标和最小纵坐标之差建立等量关系，解方程求解即可． 解：（1）解：抛物线对称轴为：，则． 把点C坐标代入得：． 故答案为：，1． （2）解：抛物线解析式为，令，则， ∴， ∴， 又∵． ∴， ∴如图∶点A绕点C逆时针旋转后，正好落在直线上．． ∴点B在直线上． （3）解：∵． ∴抛物线顶点坐标为． 由题意可知抛物线对称轴为， 如示意图， 根据P、Q两点和对称轴的位置关系分为三种情况： ①P、Q两点都在对称轴左侧： 此时，，即． ∵， ∴， 整理得：．则，无符合题意的解． ②P、Q两点在对称轴两侧： 这时，即且． 根据抛物线图象可知，当时，即时，P、Q两点关于对称轴对称． 当时，，则， ∴，解得，故无符合题意的解． 当时，，则， ∴， 整理得：，解得∶ ，符合题意． ③P、Q两点都在对称轴右侧： 此时，则． ∴， 整理得：．则，无符合题意的解． 综上，． 【28-2】已知抛物线，顶点为． (1)求b，c的值． (2)若时，如图1，P为y轴右侧抛物线上一动点，过P作直线轴于点N，交直线l：于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值． (3)若时，如图2，直线与抛物线相交于A，B，当时，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程综合，二次函数与面积综合等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）利用二次函数顶点式，代入顶点求解即可； （2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m去表示P、M点的纵坐标，再利用列出方程求解即可； （3）联立可得、，进而得到，则，然后将、可得，可求得，直线解析式为或；然后再求得，最后根据坐标与图形以及三角形的面积公式即可解答． 解：（1）解：∵抛物线，顶点为， ∴，解得：． （2）解：∵，， ∴抛物线的解析式为， 设，， ①点P在直线l下方时，当时，有 ，化简得：，解得：，（舍去） ②点P在直线l上方时，当时，点M为中点，有，化简得：，解得：（舍去负值） ∴符合条件的的值为或． （3）解：由得，， ∴，， 由，得，， ∴， ∵，， ∴，化简得：， ∴，解得：， ∴直线解析式为或． 由，解得：， 设直线交轴于C，则， ∴＝ 当直线解析式为时，由对称性可知：． 综上所述，当时，． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$