14.2.2完全平方公式 (1) 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

完全平方公式 14.2 乘法公式 | 第1课时| 第十四章 整式的乘法与因式分解 知识目标：理解并掌握完全平方公式的推导过程，结构特点, 几何解释 能力目标：灵活应用完全平方公式进行计算 素养目标：体验公式的推导过程 【学习目标】 【学习目标】 探究新知 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 猜想： (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 验证： 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？ 图(1):(a+b)2 =a2 图(2):(a-b)2 +ab +ab +b2 a2 ab ab b2 =a2+2ab+b2 =a2 =a2-2ab+b2 -ab +b2 -ab a2 ab ab b2 思考 归纳知识 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2. 可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”) 注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式. 针对练习 1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 例1 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 (2) 解：原式=(4m)2+2•(4m)•n+n2 =16m2+8mn+n2 解：原式=y2-2•y•+()2 =y2-y+ 典型例题 练习1：运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 (2) (-y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4) 解：(1)原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36 (2)原式= （-y）2-2·（-y）·5+52 = y2+10y+25 (3)原式=(5-2x)2 = 52-2·5·2x+(2x)2 = 25-20x+4x2 (4)原式= 8 例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 992 解：原式=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 解：原式=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801 9 针对练习 2.利用乘法公式计算： (1)； (2)982－101×99； 解：(2)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1 ＝－395； （1）解：原式= = = = ； (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. =a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2 =a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2与a2-b2不一定相等. 思考 常见的完全平方公式的变形 完全平方公式 变形 (a＋b)2＝a2＋ 2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　 ②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) (a－b)2＝a2－ 2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab　 ②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab ④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 例3 1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____ 52 变式：已知 则 _____ 98 拓展训练 8或-8 变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_____ 3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为_____ ±1 1 2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=______ 3或-3 课堂小结 多项式乘多项式 平方差公式 特殊 乘法公式 完全平方公式 公式：(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 证明：数(多项式相乘)、形(面积法) 文字：两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式：（a+b)2= a2+2ab+b2 （a-b)2= a2-2ab+b2. 证明：数(多项式相乘)、形(面积法) A 课堂检测 2．计算(－1－x)2的结果是(　　) A．1＋x2 B．1－2x＋x2 C．1－2x－x2 D．1＋2x＋x2 3．化简：(1－x)2＋2x＝________． 4．已知a＋b＝2，ab＝－1，则a2＋b2＝______。 D 1＋x2 6 5、计算：(1) (2) . （1）解：原式＝ ； （2）解：原式= = 利用乘法公式计算： 20222－2022×4042＋20212. ＝(2022－2021)2 ＝1. 解：原式＝20222－2×2022×2021＋20212 1．下列式子正确的是(　　) A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B.＝a2－b2 C.＝a2＋2ab＋b2 D.＝a2－ab＋b2 $$