14.2.1 平方差公式1 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 人教版 数学 八年级 上册 14.2 乘法公式 1. 掌握平方差公式的推导及应用. 2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法. 素养目标 3. 能够应用平方差公式进行简单计算. 14.2 乘法公式 多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 探究新知 知识点 平方差公式 14.2 乘法公式 ①(x ＋ 1)( x–1)； ②(m ＋ 2)( m–2)； ③(2m＋ 1)(2m–1)； ④(5y ＋ z)(5y–z). 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 做一做 探究新知 x2 – 12 m2–22 (2m)2 – 12 (5y)2 – z2 这两个数的平方差 两数的和与这两数 的差的乘积 14.2 乘法公式 探究新知 归纳： 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 代数推导： 文字描述： 平方差公式 14.2 乘法公式 5 七彩城就梦想 探究新知 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式； 2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数； 3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方. (a+b)(a– b)= a2– b2. 温馨提示 14.2 乘法公式 (1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a) (0.3x–1)(1+0.3x) (1+a)(–1+a) a b a2–b2 1 x –3 a 12–x2 (–3)2–a2 a 1 a2–12 0.3x 1 ( 0.3x)2–12 (a–b)(a+b) 填一填 探究新知 14.2 乘法公式 a米 b米 b米 a米 (a–b)米 探究新知 如何从几何角度说明平方差公式呢？ a2–b2 14.2 乘法公式 例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ； (2)(–x+2y)(–x–2y). (2) 原式= (–x)2 – (2y)2 = x2 – 4y2. 解： (1)原式=(3x)2–22 =9x2–4； 易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来. 探究新知 14.2 乘法公式 利用平方差公式计算： (1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)； (3)(–7m＋8n)(–8n–7m)． 解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25； (2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2； (3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2； 巩固练习 14.2 乘法公式 例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) . = 1002–22 解: (1) 原式 =10000 – 4 =(100＋2)(100–2) =9996； = y2–4–y2–4y+5 (2)原式 = y2–22–(y2+4y–5) = – 4y + 1. 探究新知 14.2 乘法公式 七彩城就梦想 (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . 解: (1) 原式=(50＋1)(50–1) = 502–12 =2500 – 1 =2499； (2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6) = 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10. 巩固练习 计算: 14.2 乘法公式 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2. 解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) 原式＝5×12–5×22＝–15. ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2. 当x＝1，y＝2时， 探究新知 14.2 乘法公式 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数． 解：原式＝9n2–1–(9–n2) ＝10n2–10. ∵(10n2–10)÷10=n2–1. n为正整数， ∴n2–1为整数 探究新知 14.2 乘法公式 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. 课堂小结 14.2 乘法公式 (1)(a+3b)(a– 3b)； (2)(3+2a)(–3+2a)； (3)(–2x2–y)(–2x2+y). 1. 利用平方差公式计算： 课堂检测 (4)(a–2)(a+2)(a2 + 4) 2 .计算： 20152 – 2014×2016. 3.先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2. 14.2 乘法公式 (1)(a+3b)(a– 3b)； =4a2–9； =4x4–y2. 原式=(2a+3)(2a–3) =a2–9b2 ； =(2a)2–32 原式=(–2x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2a)(–3+2a)； (3)(–2x2–y)(–2x2+y). 1. 利用平方差公式计算： 课堂检测 解: 解: 解: (4)(a–2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2–4)(a2+4) =a4–16. 14.2 乘法公式 2 计算： 20152 – 2014×2016. 解： 20152 – 2014×2016 = 20152 – (2015–1)(2015+1) = 20152 – (20152–12 ) = 20152 – 20152+12 =1 课堂检测 14.2 乘法公式 18 七彩城就梦想 3.先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2. 解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3 =2x2–1. 将x＝2代入上式， 原式=2×22–1=7. 课堂检测 14.2 乘法公式 $$