函数零点的综合应用专题强化练-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

专题强化练习5　函数零点的综合运用 1.(2023湖北孝感开学考试)对函数f(x)=log3x+x-3的零点附近的函数值用二分法逐次计算,其参考数据如下表: f(2)≈-0.369 1 f(2.5)≈0.334 0 f(2.25)≈-0.011 9 f(2.375)≈0.162 4 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9 那么方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度为0.1)为(　　) A.2.1　　　　B.2.2　　　　C.2.3　　　　D.2.4 2.(2024辽宁部分学校月考)已知函数f(x)=则“-5<a<-3”是“f(x)有3个零点”的(　　) A.充要条件　　　B.必要不充分条件 C.充分不必要条件　　　D.既不充分也不必要条件 3.(2024山东威海期末)已知函数f(x)=|lg x-1|,若f(a)=f(b),且a<b,则[f(a)]2-f(10b)的最小值为(　　) A.-3　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.- 4.(2022安徽合肥六中月考)若平面直角坐标系内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数f(x)的一个“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有(　　) A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个 5.(多选题)(2023江西名校联考)已知函数f(x)=则以下判断正确的是(　　) A.若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是(0,1) B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增 C.直线y=1与函数y=f(x)的图象有2个公共点 D.函数f(x)的图象与直线y=x+2有且只有一个公共点 6.(多选题)(2023重庆九龙坡期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,若函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>0且a≠1)在(-1,7)上恰有4个不同的零点,则实数a的值可以是(　　) A.log32　　　B.log32 C.3log23　　　D.9log23 7.(2024山东泰安宁阳第四中学月考)已知函数f(x)=若f(x)是单调函数,则实数a的取值范围是　　　　;若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  8.已知函数f(x)=x2-2mx+m-1,g(x)=e-x-1. (1)若m=0,求证:函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点; (2)若函数φ(x)=f(|g(x)|)恰有三个零点,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练5　函数零点的综合运用 1.C　由题表可知f(2.25)·f(2.312 5)<0,且|2.312 5-2.25|=0.062 5<0.1,因此区间[2.25,2.312 5]内的任意值都可作为方程的近似解,结合选项知选C. 2.B　当x<0时,令f(x)=0,得2×3x-a-5=0,故a=2×3x-5, 当x≥0时,令f(x)=0,得x2-4x-a=1,则a=x2-4x-1, 令g(x)=画出y=g(x)的图象,如图所示, 由图可知,当a∈(-5,-3)时,直线y=a与g(x)的图象有3个交点. 因为x2-4x-a>0对x≥0恒成立,所以(x-2)2-4>a对x≥0恒成立,所以a<-4. 故当f(x)有3个零点时,a∈(-5,-4). 因为(-5,-4)⫋(-5,-3), 所以“-5<a<-3”是“f(x)有3个零点”的必要不充分条件.故选B. 3.B　f(x)=|lg x-1|=作出f(x)的图象如图所示, 由f(a)=f(b),且a<b,得f(a)=1-lg a,f(b)=lg b-1,即1-lg a=lg b-1,解得ab=100, 所以[f(a)]2-f(10b)=(1-lg a)2-[lg(10b)-1]=1-2lg a+(lg a)2-lg b=(lg a)2-lg(a2b)+1=(lg a)2-lg(100a)+1=(lg a)2-lg a-1=,故当lg a=,即a=时,[f(a)]2-f(10b)取得最小值,为-.故选B. 4.C　与函数y=-x2-4x(x≤0)的图象关于原点对称的是函数y=x2-4x(x≥0)的图象, 作出函数y=x2-4x(x≥0)及y=log2x(x>0)的图象,如图所示, 根据图象可得两个函数的图象有2个交点,故函数f(x)的“友好点对”有2个. 故选C. 解后反思　根据“友好点对”的定义,将问题转化为函数y=-x2-4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象与函数y=log2x(x>0)的图象的交点的个数问题,结合图象求解. 5.AC　函数f(x)=的图象如图所示, 若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则函数f(x)的图象与直线y=m有3个交点, 故m的取值范围是(0,1),故A正确; 函数f(x)在(-∞,0)上先增后减,故B错误; 作出直线y=1,则直线y=1与函数f(x)的图象有两个公共点,故C正确; 作出直线y=x+2,则直线y=x+2与f(x)的图象有3个交点,故D错误. 故选AC. 6.AD　∵ f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1, ∴当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],∴f(x)=-f(-x)=-2-x+1, ∵对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(-x)=f(2+x)=-f(x), ∴f(x)=f(x+4), 函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>0且a≠1)在(-1,7)上恰有4个不同的零点,等价于y=f(x)与y=loga(x+2)的图象在(-1,7)上有4个不同的交点, 易求得f(1)=f(5)=1,f(-1)=f(3)=f(7)=-1, 当a>1时,由图1可得loga(5+2)<1=logaa,解得a>7; 当0<a<1时,由图2可得loga(7+2)>-1=logaa-1,解得0<a<. 综上可得,a∈∪(7,+∞). ∵0<log32<log33=1,∴0<. ∵1>log32>log3. ∵1<log23<log24=2,∴3<3log23<6. ∵log23>log22=1,∴9log23>9. 故选AD. 导师点睛　解决求函数零点的个数、函数零点的范围等问题,数形结合是最有效的方法,解题时要注意含参数的函数图象是变化的,要对各种情况进行分析. 7.答案　[2,4];(-∞,0) 解析　因为函数y=2x在定义域内是增函数,所以函数f(x)为增函数, 所以a≥0且2a≤a2, 在同一坐标系下作出函数y=2x与y=x2的图象,如图1所示, 由图1可知,实数a的取值范围是[2,4]. 函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)与y=b的图象有三个交点, 在同一坐标系下作出函数y=f(x)与y=b的图象,如图2所示, 由图2可知,当a<0时,存在实数b,使得两函数的图象有三个交点, 所以要使函数g(x)有三个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0). 8.解析　(1)证明:若m=0,则h(x)=f(x)-g(x)=x2-e-x. 因为当x>0时,y=x2,y=-e-x都单调递增, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为h(x)的图象是一条连续的曲线,且h(0)=-1<0,h(2)=4-e-2>0, 所以存在唯一的x0∈(0,2),使得h(x0)=0, 所以函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点. (2)设t=|g(x)|,作出函数t=|g(x)|的图象,如图所示: 对于方程t2-2mt+m-1=0, Δ=(-2m)2-4(m-1)=4+3>0,所以方程t2-2mt+m-1=0必有两个不相等的实数根t1,t2,不妨设t1<t2,则当函数φ(x)=f(|g(x)|)恰有三个零点时,满足0<t1<1,t2≥1或t1=0,0<t2<1. 当0<t1<1,t2≥1时,解得m>1; 当t1=0时,m=1,此时t2=2∉(0,1),不符合题意,舍去. 综上所述,实数m的取值范围为(1,+∞). 方法点睛　解决函数的零点问题的常用方法:(1)方程法(直接解方程得到函数的零点);(2)图象法(画出函数的图象分析得解);(3)方程+图象法(令函数值为零,再重新构造两个函数,利用数形结合分析得解). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$