第26章 二次函数-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第 26 章　 二次函数 　 二次函数的图象与性质　 1.二次函数的概念:形如 y=ax2 +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象和性质 a 的符号 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 x= - b 2a x= - b 2a 顶点坐标 (- b 2a ,4ac -b2 4a ) (- b 2a ,4ac -b2 4a ) 增减性 当 x<- b 2a 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>- b 2a 时,y 随 x 的增大而增大 当 x<- b 2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>- b 2a 时,y 随 x 的增大而减小 最值 当 x= - b 2a 时,y最小值 = 4ac-b2 4a 当 x= - b 2a 时,y最大值 = 4ac-b2 4a 3.二次函数图象的平移规律:二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象可由二次函数 y = ax2 的图象向右 (或左)平移 | h |个单位长度,再向上(或下)平移 | k | 个单位长度得到;简记为“上加下减常数 项,左加右减自变量” . 4.二次函数表达式常见的三种形式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2 +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0) 已知抛物线上任意三点坐标 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a、h、k 为常数,a≠0),抛物线的顶 点坐标为(h,k) 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最 值 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2 为常数,a≠0),其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标 已知抛物线与 x 轴的两交点坐标 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【注意】二次函数表达式的三种形式互相联系,可以互相转化. 如果求二次函数的表达式时 设的是交点式或顶点式,最后的结果一般化为一般式. 5.用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤: (1)设:根据已知条件的特征,设出适当形式的函数表达式,其中含有待定系数; (2)列:根据已知点的坐标列方程或方程组; (3)解:解方程或方程组,求出未知字母的值; (4)答:写出函数表达式,注意最后结果通常化为一般式 y=ax2 +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) . 　 二次函数的应用 1.二次函数与一元二次方程的关系 判别式 b2 -4ac>0 b2 -4ac= 0 b2 -4ac<0 9 情境期末·ZBH·九年级数学 二次函数 y = ax2 + bx+c 的图象 a>0 a<0 二次函数 y = ax2 +bx+c 的 图象与 x 轴三种位置关系 有两个公共点( x1,0),( x2, 0) 有一个公共点(- b 2a ,0) 没有公共点 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 的根的情况 有两个不相等的实数根 x1, x2,且 x= -b± b2 -4ac 2a 有两个相等的实数根 x1 = x2 = - b 2a 没有实数根 2.利用二次函数解决实际生活问题的常见类型:(1)抛物线形问题:喷泉问题、桥(涵)洞问题、 球的运动路线问题等;(2)最值问题:图形面积、最大利润、费用等问题. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 1. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y= -ax2-c 的图象大致为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点是(1,3),当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,则抛 物线表达式可以是(　 　 ) A. y= -2(x+1) 2 +3 B. y= 2(x+1) 2 +3 C. y= -2(x-1) 2 +3 D. y= 2(x-1) 2 +3 3. 关于二次函数 y= 2(x-3) 2 +1,下列说法正确的是(　 　 ) A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 x= -3 C. 图象顶点坐标为(3,-1) D. 当 x<3 时,y 随 x 的增大而减小 4. 如图,以(1,-4)为顶点的二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点,则一元二 次方程 ax2 +bx+c= 0 的正数解的范围是(　 　 ) A. 2<x<3 B. 3<x<4 C. 4<x<5 D. 5<x<6 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 图 1 　 　 　 　 　 图 2 第 5 题图 5. 数学来源于生活,伞是生活中常见的一种工具,撑开后如图 1 所示,由此发现数学知识——— 抛物线.如图 2,以伞柄所在的直线为 y 轴,以伞骨 OA,OB 的交点 O 为坐标原点建立平面直 角坐标系.点 C 为抛物线的顶点,点 A,B 在抛物线上,OA,OB 关于 y 轴对称. 抛物线的表达 式为 y= -0. 1x2+1,若点 A 到 x 轴的距离是 0. 6 dm,则 A,B 两点之间的距离是(　 　 ) A. 4 dm B. 6 dm C. 8 dm D. 10 dm 01 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本知识集锦》答案 第 21 章　 二次根式 1. C　 【解析】A. 1 2 = 2 2 ,被开方数含分母,不是最简 二次根式;B. 18 = 3 2 ,被开方数中含能开得尽方 的因数,不是最简二次根式;D. 0. 4 = 10 5 ,被开方 数含分母,不是最简二次根式. 故选 C. 2. B 3. D　 【解析】根据题意得 x+3≥0 且 x-2≠0,解得 x≥- 3 且 x≠2. 故选 D. 4. A　 【解析】由图知:1<a<2,∴ a-1>0,a-2<0,∴ 原式 = a-1+(a-2)= 2a-3. 故选 A. 5. B　 【解析】A. 5 与 3 不是同类二次根式,不能合并; C. 3 × 2 = 6 ;D. 8 - 2 = 2 2 - 2 = 2 . 故选 B. 6. 解: ∵ AC = 6m, BC = 3 2 m, ∴ AB = AC2 -BC2 = 62 -(3 2 ) 2 = 3 2 ( m). ∵ AC′ = 6m,B′C′ = 34 m, ∴ AB′ = 62 -( 34 ) 2 = 2 ( m),∴ BB′ = AB-AB′ = 2 2 (m). 第 22 章　 一元二次方程 1. B　 【解析】由题意,得 p2 -7 = 2 且 p-3≠0,∴ p= ±3 且 p≠3,即 p= -3. 故选 B. 2. A　 3. D　 4. C 5. C　 【解析】由题意,得 Δ = 42 -4( k-1)= 0,∴ k = 5,∴ 关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+k = 0 中,Δ = 16-4k = - 4<0,∴ 该方程没有实数根. 故选 C. 6. 解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x,依题 意,得 150(1+x) 2 = 216,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2 (不合题意,舍去) . 答:该品牌头盔销售量的月增长 率为 20%; (2)设该品牌头盔的实际售价为 y 元,依题意,得(y- 30) [ 600 - 10 ( y - 40)] = 10000,整理,得 y2 - 130y + 4000 = 0,解得 y1 = 80,y2 = 50,因为尽可能让顾客得到 实惠,∴ 售价应定为 50 元. 答:该品牌头盔的实际售 价应定为 50 元. 第 23 章　 　 图形的相似 1. B 2. A　 【解析】延长 DE,CB 交于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴ ∠ADE = ∠H,且 AE =BE,∠AED=∠BEH,∴ △ADE≌△BHE(A. A. S. ),∴ BH=AD. ∵ F 是 BC 中点,∴ BF = 1 2 BC,∴ HF = BH+ BF= 3 2 BC = 3 2 AD. ∵ AD∥HF,∴ △ADG∽△FHG,∴ AG FG = AD HF = AD 3 2 AD = 2 3 . 故选 A. 3. C　 【解析】连结 BD. ∵ E、F 分别是边 AB、AD 的中点, ∴ EF∥BD,BD = 2EF = 4,∴ ∠ADB = ∠AFE = 65°. ∵ BD2 +CD2 = 25,BC2 = 25,∴ BD2 +CD2 =BC2,∴ ∠BDC = 90°,∴ ∠ADC= ∠ADB+∠BDC= 155°. 故选 C. 4. D 第 24 章　 　 解直角三角形 1. C 第 25 章　 　 随机事件的概率 1. B 2. C　 【解析】设袋中红球有 x 个,根据题意,可得: x 15 = 0. 4,解得 x = 6,则黄球的个数为 15 - 6 = 9(个) . 故 选 C. 3. D 第 26 章　 　 二次函数 1. A　 2. D 3. D　 【解析】关于二次函数 y = 2(x-3) 2 +1,a = 2>0,开 口向上;对称轴为直线 x = 3;顶点坐标为(3,1) . 故 选 D. 4. C　 【解析】 ∵ 二次函数 y = ax2 +bx+ c 的顶点为(1, -4),∴ 对称轴为 x = 1,而对称轴左侧图象与 x 轴交 点横坐标的取值范围是-3<x<-2,∴ 右侧交点横坐标 的取值范围是 4<x<5. 故选 C. 5. A　 【解析】∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm,∴ 令 y = 0. 6,则 y= -0. 1x2 +1 = 0. 6. ∴ x = 2 或 x = -2(舍去) . ∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又∵ 点 A,B 在抛物线上, OA,OB 关于 y 轴对称,∴ AB= 2×2 = 4(dm) . 故选 A. 第 27 章　 　 圆 1. A　 【解析】连结 BD. ∵ ∠C = 120°,BC =DC,∴ ∠CDB = ∠CBD= 1 2 (180°-∠C)= 30°. ∵ ∠ADC= 80°,∴ ∠ADB= ∠ADC-∠CDB=50°,∴ ∠AOB=2∠ADB=100°. 故选 A. 2. A　 【解析】∵ ☉O 的直径 DE 垂直于弦 AB,∴ AE ( = BE ( ,AC= 1 2 AB,∴ ∠AOE = 2∠BDE = 60°,∴ sin∠AOE = AC OA = 3 2 . ∵ OA= 4,∴ AC= 2 3 ,∴ AB= 4 3 . 故选 A. 3. A　 【解析】延长 CO,交☉O 于 E,连结 DE. ∵ CE 是 ☉O 的直径,∴ ∠CDE = 90°. ∵ ∠AOB 和 ∠COD 互 补,∠COD+∠DOE = 180°,∴ ∠DOE = ∠AOB. ∵ AB = 8,∴ DE = AB = 8. ∵ CD = 6,由 勾 股 定 理 得: CE = 62 +82 = 10,∴ ☉O 的半径是 5. 故选 A. 4. D 5. A　 【解析】“弓”所对的弧长为 100π×1. 2 180 = 2 3 π(米) . 故选 A. 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1 二次根式 一、选择题 1. B　 【解析】A. 原式= 2 3;C. 原式 = 2 2;D. 原式 = 2 2 . 故 选 B. 2. C 3. A　 【解析】∵ P(a,b)是平面直角坐标系中第二象限的 点,∴ a<0,b>0,∴ 原式= -a-b-(b-a)= -2b. 故选 A. 4. B　 【解析】A. 12 ÷ 6 = 2;C. 8 + 2 = 2 2 + 2 = 3 2; D. 2 6和 5不是同类项,不能进行减法运算. 故选 B. 5. D　 6. D 7. D　 【解析】设圆的半径为 rcm,根据题意得, 140π × 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 1 页