专项3 期末综合新颖题-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学（华东师大版 河南专用）

情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页 专项 3 追梦专项三　 期末综合新颖题 一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1. 热点情境·邮票 《朱仙镇木版年画》特种邮票于 2008 年发行,一套四枚,内容取自中国四大传统年 画之一河南朱仙镇木版年画的经典故事,分别为“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香兰”,面值 均为 1. 2 元. 这些邮票除图案外,质地、规格完全相同. 初中毕业之际,小明想把珍藏的这四枚邮票 送给好朋友小亮两枚,于是将这些邮票背面朝上,让小亮随机抽取,则小亮抽到的邮票正好是“三娘 教子”和“满载而归”的概率是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 3 B. 1 12 C. 1 6 D. 1 4 2. 生活情境·车门 (辽宁一模)如图,某汽车车门的底边长为 1 m,车门侧开后的最大角度为 72°,若将 一扇车门侧开,则这扇车门底边扫过区域的最大面积是(　 　 ) A. π 10 m2 B. π 5 m2 C. 2π 5 m2 D. 4π 5 m2 第 2 题图 　 　 图 1　 　 　 　 图 2 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 3. 文化情境·传统文化 如图 1,“矩”在古代指两条边成直角的曲尺,它的两边长分别为 a,b. 中国古老 的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能:“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩 以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方” . 其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测 物体的高度. 如图 2,从“矩”AFE 的一端 A 望向树顶端的点 C,使视线通过“矩”的另一端 E,测得 BD= 8 m,AB= 1. 6 m. 若“矩”的边 EF=a= 30 cm,边 AF= b= 60 cm,则树高 CD 为(　 　 ) A. 4 m B. 5. 3 m C. 5. 6 m D. 16 m 4. 热点情境·高铁 中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志. 如图是高铁线路在转向 处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为 A,曲线终点为 B,过点 A,B 的两条 切线相交于点 C,列车在从 A 到 B 行驶的过程中转角 α 为 60°. 若圆曲线的半径 OA = 1. 5 km,则这 段圆曲线 AB ( 的长为(　 　 ) A. π 4 km B. π 2 km C. 3π 4 km D. 3π 8 km 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 5. 跨学科试题·物理 在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体,如图,有一圆形石块,要使其滚动, 杠杆的端点 C 必须向上翘起 5 cm,若杠杆 AC 的长度为 120 cm,其中 BC 段的长度为 20 cm,则要使 该石块滚动,至少要将杠杆的端点 A 向下压 　 　 　 　 cm. 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 6. (枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠 杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶. 当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用, 便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆 AB= 6 米,AO ∶OB= 2 ∶1,支架 OM⊥EF,OM = 3 米,AB 可 以绕着点 O 自由旋转,当点 A 旋转到如图所示位置时∠AOM= 45°,此时点 B 到水平地面 EF 的距离 为　 　 　 　 米. (结果保留根号) 7. 新趋势·一题多问 在一次数学探究活动中,王老师设计了一份活动单: 已知线段 BC= 2,使用作图工具作∠BAC= 30°,尝试操作后思考: (1)这样的点 A 唯一吗? (2)点 A 的位置有什么特征? 你有什么感悟? 　 　 “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点 A 的位置不唯一,它在以 BC 为弦的圆弧上 (点 B、C 除外),…小华同学画出了符合要求的一条圆弧. 小华同学提出了下列问题,请你帮助 解决. (1)该弧所在圆的半径长为　 　 　 　 ; (2)△ABC 面积的最大值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 19 分) 8. (10 分)(百色一模)冻雨是湖北不常见的天气情况,一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害. 武汉市在二月份下了多次冻雨,许多树木因为冻雨结冰发生折断,我们对一无冰树枝置于武汉的 2024 年 2 月 3 日 15 点开始的冻雨下进行观察,发现一段含冰树枝的重量 y(千克)和时间 x(小时) (0≤x≤10)近似满足二次函数关系:y = - 1 16 x2 +bx+c,当 x = 2 时,该含冰树枝重 9. 75 千克;当 x = 6 时,该含冰树枝增重到 15. 75 千克. (1)求二次函数的解析式; (2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的 3. 5 倍时,树枝会发生折断,请问树枝会折 断吗? 如果会,何时断裂,如果不会,说明理由. 9. 新趋势·项目式学习 (9 分)(邓州一模)便捷的交通为经济发展提供了更好的保障,桥梁作为公路 的咽喉,左右着公路的生命. 通过对桥梁的试验监测,可以了解其使用性能和承载能力,同时也为桥 梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料. 某实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项 目化学习活动,活动报告如下: 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程,引导学生在实际情境中发现问题,并将其转化为合理 的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时,水桶下降的高度 方案设计 工具 示意图 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 状态一(空水桶) 状态二(水桶内加一定量的水) 图 1 图 2 说明:C 为 AB 的中点 　 　 请综合以上信息,解答下列问题:在水桶内加入一定量的水后,桥梁发生了如图 2 所示的形变. 若其他因素忽略不计,测得 CD = 30 cm,∠C′AC = 15°,∠C′AD = 45°,请计算此时水桶下降的高度 CC′. (参考数据:sin15°≈0. 3,cos15°≈1. 0,tan15°≈0. 3,结果精确到 1 cm) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. C　 【解析】∵ 二次函数 y=ax2 +4x+a-1 有最小值 2,∴ a> 0,y最小值 = 4ac-b2 4a = 4a(a-1)-4 2 4a = 2,整理,得 a2 - 3a- 4 = 0,解得 a= -1 或 4. ∵ a>0,∴ a= 4. 故选 C. 5. D　 【解析】∵ 抛物线与 y 轴的交点在正半轴,∴ c> 0,由 图象,得对称轴为(- 1 2 + 5 2 )× 1 2 = 1,∴ b= -2a,∴ 2a+b = 0,b>0,∴ abc<0,c-a>0,∴ ③错误,①④正确;∵ 二次函 数 y=ax2 +bx+c(a<0)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴ b2 -4ac>0,∴ 4ac-b2 <0,故②错误;由图象可得,y1 >0, y2 <0,∴ y1 >y2,故⑤正确;∴ ①④⑤正确. 故选 D. 6. A　 【解析】由题意得,抛物线的顶点 C 为(0,2),B(3, 0),∴ 可设抛物线为 y=ax2 +2. 又∵ 过 B(3,0),∴ 0 = 9a+ 2. ∴ a= - 2 9 . ∴ 抛物线为 y= - 2 9 x2 +2. 令 y= 1. 6,∴ 1. 6 = - 2 9 x2 +2. ∴ x = 3 5 5 或 x = - 3 5 5 . ∴ 从点 O 沿 OA 向左最 多能走 3 5 5 米. 故选 A. 类型六　 圆 1. C　 【解析】∵ ∠D= 50°,∴ ∠ACB = ∠D = 50°. ∵ ∠ABC = 80°,∴ ∠BAC= 180°-50°-80° = 50°. 故选 C. 2. B　 【解析】设☉O 的半径是 r 米. ∵ CD⊥AB,∴ AD = 1 2 AB= 4 米. ∵ OA2 =OD2 +AD2,∴ r2 =(8-r) 2 +42,∴ r= 5, ∴ ☉O 的半径 OA 是 5 米. 故选 B. 3. B　 【解析】∵ AD ( 的长度为 π 3 米,∠AOD = ∠BOC = 60°, ∴ 60π·OA 180 = π 3 ,∴ OA = 1 米,∴ OB = 1+ 0. 8 = 1. 8(米) . 故选 B. 4. C　 【解析】∵ 正五边形 ABCDE 内接于☉O,∴ ∠COB = 1 5 ×360° = 72°,∴ ∠CDB= 1 2 ∠COB= 36°,∴ ∠CDB 的度 数是 36°. 故选 C. 5. C　 【解析】连结 AD、OD、OE,OD 与 AE 交于点 C. ∵ AB 是半圆的直径,D、E 是半圆的三等分点, ∴ ∠AOD = ∠DOE = ∠BOE = 60°. ∵ OA = OD = OE, ∴ △AOD 与 △DOE 是等边三角形,∴ OA = AD = DE = OE,∴ 四边形 OADE 是菱形,∴ S△CDE =S△COA . ∵ 半圆的半径为 3,∴ S阴影 =S扇形AOD = 60π×32 360 = 3 2 π. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题技巧】由 AB 是半圆的直径,D、E 是半圆的三等分 点,易证得△AOD 与△DOE 是等边三角形,即可得 OA = AD = DE = OE,即可证得四边形 OADE 是菱形,则可得 S△CDE =S△COA,即可得 S阴影 = S扇形AOD,然后利用扇形的面积 求解公式,即可求得阴影部分的面积. 6. A　 【解析】设平移的距离为 m. ∵ 半径为 2 的☉P 的圆 心 P 在 x 轴上,且与 y 轴相切,∴ 圆心的坐标为(-2,0) 或(2,0),∴ -3+m= -2 或-3+m = 2,解得 m = 1 或 m = 5, ∴ 平移的距离为 1 或 5. 故选 A. 追梦专项三　 期末综合新颖题 1. C　 2. B 3. C　 【解析】由题意知,EF∥CH,∴ △AFE∽△AHC,∴ EF CH = AF AH ,∴ 30 CH = 60 800 ,∴ CH = 400cm = 4m,∴ CD = CH+DH = 5. 6m. 故选 C. 4. B　 【解析】∵ 过点 A,B 的两条切线相交于点 C,∴ ∠OAC = ∠OBC= 90°,∴ A、O、B、C 四点共圆,∴ ∠AOB = α = 60°,∴ AB ( 的长为 60π·1. 5 180 = 1 2 π(km) . 故选 B. 5. 25　 　 【解析】如图,过点 B 作 水平线 MN,过点 A 作 AM⊥MN 于点 M,过点 C 作 CN⊥MN 于 点 N. ∵ AM⊥MN,CN⊥MN,∴ ∠AMB= ∠CNB = 90°. ∵ ∠ABM = ∠CBN, ∴ △ABM ∽ △CBN,∴ AM CN = AB CB . ∵ AC = 120cm,BC = 20cm,∴ AB = 100cm,∴ AM CN = 5. ∵ CN = 5cm,∴ AM = 25cm,∴ 要使这块 石头滚动,至少要将杠杆的 A 端向下压 25cm. 6. (3+ 2 )　 【解析】过点 O 作 OC⊥BT,垂足为 C,由题意 得 BC∥OM,∴ ∠AOM= ∠OBC= 45°. ∵ AB = 6 米,AO ∶OB = 2 ∶1,∴ AO= 4 米,OB = 2 米,在 Rt△OBC 中,BC =OB· cos45° = 2× 2 2 = 2 (米) . ∵ OM = 3 米,∴ BC+OM = (3+ 2)米. 7. (1)2　 (2) 3 + 2　 【解析】 (1)设 O 为圆心,连结 BO, CO. ∵ ∠BAC= 30°,∴ ∠BOC= 60°,又 OB =OC,∴ △OBC 是等边三角形,∴ OB = OC = BC = 2,即半径为 2;(2) ∵ △ABC 以 BC 为底边,BC= 2,∴ 当点 A 到 BC 的距离最大 时,△ABC 的面积最大,过点 O 作 BC 的垂线,垂足为 E, 延长 EO,交圆于 D,∴ BE = CE = 1,DO = BO = 2,∴ OE = BO2 -BE2 = 3,∴ DE= 3 +2,∴ S△ABC最大 = 1 2 ×2×( 3 + 2)= 3 +2. 8. 解:(1)把 x= 2,y = 9. 75;x = 6,y = 15. 75 代入 y = - 1 16 x2 + bx+c,得 - 1 16 ×22 +2b+c= 9. 75 - 1 16 ×62 +6b+c= 15. 75 ì î í ï ï ïï ,解得 b= 2c= 6{ ,∴ y = - 1 16 x2 + 2x+6; (2)不会,理由如下:∵ y= - 1 16 x2 +2x+6,∴ 当 x = 0 时,y = 6,由题意,得 3. 5×6 = - 1 16 x2 +2x+6,解得 x = 12 或 x = 20. ∵ 0≤x≤10,∴ 树枝不会折断. 9. 解:由题意得:DC′⊥MN,在 Rt△ACC′中,∠CAC′ = 15°, ∴ AC′ = CC′ tan15° ≈CC′ 0. 3 = 10 3 CC′ ( cm),在 Rt △AC′D 中, ∠C′AD= 45°,∴ AC′= C′D tan45° =C′D =CC′+CD = (CC′+30) cm,∴ 10 3 CC′=CC′+30,解得 CC′≈13,∴ 此时水桶下降的 高度 CC′约为 13cm. 追梦专项四　 跨学科试题 1. A 2. D　 【解析】A. “大漠孤烟直”是随机事件;B. “黄河入海 流”是必然事件;C. “明月松间照”是随机事件;D. “白发 三千丈”是不可能事件. 故选 D. 3. D　 【解析】过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,则 AD =BD. ∵ 球 体的半径为 6cm,瓶内液体最大深度为 4cm,∴ OA= 6cm, OD= 6-4 = 2(cm),∴ AD = OA2 -OD2 = 62 -22 = 4 2, ∴ AB= 2AD= 8 2(cm) . 故选 D. 4. A　 【解析】 ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,∴ ∠A = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 10 页