热点05 指对数运算-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点05 指对数运算 考点1根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到: （1）. （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中. 考点2指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 考点3对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 考点4对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3）． 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 热点一 根式的性质及根式与分数指数幂的互化 例1．将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 例2．若，则的化简结果是（     ） A． B． C． D． 变式1-1．已知且，则有（ ） A． B． C． D． 变式1-2．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 热点二 指数幂的运算 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 例4．（1）求值：； （2）已知，求的值. 变式2-1．已知，化简：（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式2-3．计算下列各式: (1); (2). 热点三 指数式与对数式的互化 例5．若，则（   ）. A．2 B． C． D． 例6．已知均是正实数，且，则 . 变式3-1．将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 变式3-2．，且，则的值为 . 变式3-3．已知，则 . 热点四 对数的运算性质 例7． 成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 例8．若正数a，b满足，则（   ） A．128 B．108 C．2 D．1 变式4-1．= 变式4-2．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.根据该公式可知，级地震的最大振幅是级地震最大振幅的（    ） A．10倍 B．倍 C．倍 D．100倍 变式4-3．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 热点五 换底公式 例9．计算． 例10．已知，且，则 . 变式5-1．计算：； 变式5-2．已知，则的最小值为 . 变式5-3．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 热点六 用已知指对数表示其他指对数 例11．已知，，用含a、b的式子表示 ． 例12．已知，，则 （用，表示）． 变式6-1．已知，，那么用表示为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知，则 (用表示) 变式6-3．已知，，用，表示为 ． 一、单选题 1．（2023-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 2．（2023-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 6．（2022-23高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 7．（2023-24高二下·广东深圳·期末）已知 均为不等于 1 的正实数，若 ，则 （      ） A． B． C． D． 8．（2022-23高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．（2022-23高一下·辽宁阜新·期末）下列各等式中成立的是（      ）. A． B． C． D． 10．（2023-24高一上·安徽宣城·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2022-23高一上·福建厦门·期末）已知，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2022-23高一上·四川绵阳·期中）已知函数，则 ． 13．（2023-24高一下·陕西安康·期末）已知，，则 . 14．（2023·浙江·模拟预测）若实数，且，则 . 四、解答题 15．（2023-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 16．（2022-23高二上·四川·期中）求值： (1)； (2). 17．（2023-24高二下·河北沧州·期末）已知均不等于1的正数满足且且1，且. (1)若，求的最小值； (2)当时，求的最大值； (3)若的最小值为，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 指对数运算 考点1根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到: （1）. （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中. 考点2指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 考点3对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 考点4对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3）． 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 热点一 根式的性质及根式与分数指数幂的互化 例1．将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D 例2．若，则的化简结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 变式1-1．已知且，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，可得， 又因为，解得. 故选：A. 变式1-2．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D 变式1-3．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 热点二 指数幂的运算 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 例4．（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）32；（2） 【详解】（1）原式； （2）由， 因为，所以，， 所以. 故. 变式2-1．已知，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D. 变式2-2．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以，得. 故选：A 变式2-3．计算下列各式: (1); (2). 【答案】(1) (2)9 【详解】（1） . （2） . 热点三 指数式与对数式的互化 例5．若，则（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，，∴， 故选：A． 例6．已知均是正实数，且，则 . 【答案】 【详解】由可得（*）， 因将（*）代入，可得即得， 由，得. 故答案为：. 变式3-1．将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 变式3-2．，且，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，且， 所以有，则. 故答案为：. 变式3-3．已知，则 . 【答案】 【详解】由，得，即，所以. 故答案为： 热点四 对数的运算性质 例7． 成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 【答案】B 【详解】成立，则，分为或两种情况， 若，则成立，能推出成立， 但，则成立，不能推出， 而成立一定能推出成立， 所以“成立”是“成立”的必要而不充分条件， 故选：B 例8．若正数a，b满足，则（   ） A．128 B．108 C．2 D．1 【答案】B 【详解】令， 则，，， 因为，所以，所以， 故选：B． 变式4-1．= 【答案】 【详解】， 故答案为： 变式4-2．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.根据该公式可知，级地震的最大振幅是级地震最大振幅的（    ） A．10倍 B．倍 C．倍 D．100倍 【答案】D 【详解】因为，根据题意设级地震的最大振幅为，级地震的最大振幅为， 所以①，②，①②有：， 所以，解得. 故选：D 变式4-3．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以， 所以，又，所以， 当时，，定义域为R关于原点对称， 且， 所以是奇函数，所以， 所以. 故选：D. 热点五 换底公式 例9．计算． 【答案】 【详解】原式 ． 例10．已知，且，则 . 【答案】或 【详解】因为，整理得到， 解得或，所以或， 故答案为：或. 变式5-1．计算：； 【答案】 【详解】原式 ． 变式5-2．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由于，所以， ，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 变式5-3．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 热点六 用已知指对数表示其他指对数 例11．已知，，用含a、b的式子表示 ． 【答案】 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 例12．已知，，则 （用，表示）． 【答案】 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 变式6-1．已知，，那么用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据可得结果. 【详解】由得，由得， 所以， 所以，所以. 故选：D 【点睛】本题考查了指数幂的运算，属于基础题. 变式6-2．已知，则 (用表示) 【答案】 【详解】， 因为，代入上式，化为. 故答案为：. 变式6-3．已知，，用，表示为 ． 【答案】 【详解】依题意有，即， 变形为， 解得：，． 所以， 故答案为：. 一、单选题 1．（2023-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A 2．（2023-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3．（2023-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 4．（2023-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，得， 则，即. 故选：A 5．（2023-24高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】D 【详解】由已知可得，，两边同除得， 所以． 当且仅当时等号成立， 故选：D 6．（2022-23高三上·全国·阶段练习）若实数x，y满足，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，又， 所以， 设，则，即. 因为， 即，当且仅当，即时等号成立， 解得，，所以的取值范围是 故选：C. 7．（2023-24高二下·广东深圳·期末）已知 均为不等于 1 的正实数，若 ，则 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， ， 故选：D 8．（2022-23高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）. 所以，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以， 故选：. 二、多选题 9．（2022-23高一下·辽宁阜新·期末）下列各等式中成立的是（      ）. A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，，，，则AC错误，BD正确； 故选：BD. 10．（2023-24高一上·安徽宣城·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11．（2022-23高一上·福建厦门·期末）已知，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，得， 所以，所以， 所以， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．（2022-23高一上·四川绵阳·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【详解】函数， ， ． 故答案为：． 13．（2023-24高一下·陕西安康·期末）已知，，则 . 【答案】2 【详解】因为，，则且， 所以， 所以，. 故答案为：. 14．（2023·浙江·模拟预测）若实数，且，则 . 【答案】0 【详解】因，则，， 又由换底公式推论可得，设，则， 故， 由换底公式，则. 故答案为：0 四、解答题 15．（2023-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【详解】（1） =； （2） . 16．（2022-23高二上·四川·期中）求值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1） . （2）. 17．（2023-24高二下·河北沧州·期末）已知均不等于1的正数满足且且1，且. (1)若，求的最小值； (2)当时，求的最大值； (3)若的最小值为，求的值. 【答案】(1)8 (2)16 (3) 【详解】（1）当时，， ，当且仅当时取等号， 的最小值为8. （2）由已知， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值为16. （3）由（2）知，则， ， 当且仅当时取等号. 因为的最小值为， 所以，则， 解得， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$