专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（22·23七年级上·河南开封·期中）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 2．（24-25七年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解为 ． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知，． (1)计算； (2)若和时，（1）中式子的值相等，试求的值． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（22·23七年级上·天津南开·期末）四位同学解方程，去分母分别得到下面的四个方程： ①；                ②； ③；            ④． 其中解法有错误的是（    ）． A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 1．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）已知关于的一元一次方程的解是2的倒数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）定义一种新运算：，例如：． ① ． ②若，则x的值为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】1．（22·23上·福州·阶段练习）已知是方程的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 1．（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 2．（23-24七年级下·全国·期中）如果与的值互为相反数，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知为常数，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如果方程的解与方程的解相同，则 ． 3．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程和的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（23-24七年级下·四川内江·期末）若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（    ） A． B． C． D．4 2．（23-24七年级上·四川广元·期末）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足题意的整数k的和是 ． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元一次方程，． (1)若该方程的解与方程的解互为相反数，求a的值； (2)若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 1．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）若方程的解也是方程的解，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）方程的解与关于的方程的解互为倒数，则 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 1．（24-25八年级上·全国·开学考试）研究下面解方程的过程： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小亮解一元一次方程的过程： 去分母，得．………第一步 去括号，得．…………第二步 移项，得．…………第三步 合并同类项，得．………第四步 方程的两边都除以，得．……第五步 老师告诉小亮解题过程错误，请你帮小亮找出在以上解题过程中从第步开始出错，错误的原因是 ，该方程正确的解为 ． 3．（23-24七年级上·北京门头沟·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解： …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步    …………第⑤步 ．  ………第⑥步 乙同学： 解方程． 解：   …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ． ………第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择________同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； （2）该同学的解答过程从第________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是__________________________________； （3）请写出正确的解答过程． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级下·山西晋城·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24七年级下·山西临汾·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 3．（2024·浙江杭州·一模）计算：． 芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于4，求被污染的数字． 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算： ，例如：，那么当时，的值是(  ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程 差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 3．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 2．（22·23七年级上·江苏常州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．（22·23七年级下·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）下列解方程变形错误的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 4．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）若关于的不等式组的解集是，且关于的方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）现规定一种运算：，如果，那么 ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）若关于x的一元一次方程的解为；则称该方程为“奇异方程”，例如：的解为，则该方程是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程是奇异方程，则m的值为 ． 10．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 12、（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． (1)若方程是方程的“稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（22·23七年级上·河南开封·期中）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项得定义，分别得到关于a和关于b的一元一次方程，解之，代入方程，解关于x的一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， 把代入，得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和同类项，正确掌握同类项得定义和解一元一次方程的方法是解题的关键． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：A、由得，故选项A不符合题意； B、由得，故选项B不符合题意； C、由得，故选项C不符合题意； D、由去分母得，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和方程的解等知识点，把代入已知方程计算求出a的值，代入所求方程计算求出y的值即可，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决此题的关键． 【详解】把代入方程中得：， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知，． (1)计算； (2)若和时，（1）中式子的值相等，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算，解一元一次方程等知识． （1）根据整式的加减计算法则得到，再去括号，合并同类项即可得到答案； （2）分别把和代入（1）所求式子计算出对应的结果，进而可得方程，解方程得到，再把所求式子去括号，合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当时，， 当时，， ∵和时，（1）中式子的值相等， ∴， ∴， ∴ ． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（22·23七年级上·天津南开·期末）四位同学解方程，去分母分别得到下面的四个方程： ①；                ②； ③；            ④． 其中解法有错误的是（    ）． A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据去分母的规则，对选项逐个判断即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以6，可得：，可知，③正确，④错误， 去括号可得：，可知，①错误，②正确， 错误的是：①④ 故选：D 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，去分母和去括号，解题的关键是熟练掌握去分母和去括号的规则． 1．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）已知关于的一元一次方程的解是2的倒数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解方程，转化为m的方程求解即可． 【详解】∵关于的一元一次方程的解是2的倒数, ∴， 解得， 故选B． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）定义一种新运算：，例如：． ① ． ②若，则x的值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键． ①根据的新定义运算代值求解即可； ②根据新定义运算得到方程，解方程即可； 【详解】解：①∵， ∴． ②∵， ∴， 即：， 解得：． 故答案为：①0；②1． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，． 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】1．（22·23上·福州·阶段练习）已知是方程的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值和解一元一次方程是解题的关键． 1．（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·期中）如果与的值互为相反数，则 ． 【答案】4 【分析】根据相反数的定义，得，解方程即可． 本题考查了相反数，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 解得． 故答案为：4． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）先将方程各项系数化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先将方程各项系数化为整数，去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可； （3）先将方程各项系数化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， 即， 化简，得， 解得； （2）解：， 原方程可化为， 即， 化简，得， 解得； （3）解：， 整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 方程的两边都除以13，得． 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知为常数，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的的特殊解法，掌握整体代换的思想是解题的关键．根据关于的一元一次方程的解，可以得到的值，把的值代入关于的方程式中，可以得到的解． 【详解】解：变形得， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴中， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）由关于的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵关于的方程与方程是“美好方程” ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为，其中一个解为， ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于的一元一次方程的解为： ∴关于的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，首先解出x的值，再代入方程求出a的值即可． 【详解】解：解方程，得：， 方程与关于的方程的解相同， 将代入方程中， 得到， 解得：， 故选：A． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若方程与关于x方程的有相同的解，则a的值为(    ) A．6 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次程，以及根据一元一次方程的解求参数，先根据求出x的值，再将x的值代入中，求出a的值，能够熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：， 将代入得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如果方程的解与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程同解问题，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先解出的解，将的值代入即可得到答案． 【详解】解：， 解得， 将代入， 解得． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程和的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等式的性质求出每个方程的解，根据同解方程得出，再求出的值即可； （2）把代入，再根据积的乘方和有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由，得， 由，得． 因为这两个方程的解相同， 所以， 解得； （2）解：把代入，得 原式 ． 【点睛】本题考查了同解方程和实数的混合运算，能得出关于m的一元一次方程是解题的关键． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（23-24七年级下·四川内江·期末）若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴满足条件的整数的取值个数是， 故选：C． 1．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能得出关于m的方程的解解答此题的关键. 先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案. 【详解】, , , , 方程的解是非负整数， 的值为 ，，，4， ， 故选：C 2．（23-24七年级上·四川广元·期末）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足题意的整数k的和是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．求出方程的解为，从而可得是正整数，据此求出k的值，由此即可得． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵一元一次方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或1或0或， ∴满足题意的整数k的和是． 故答案为：0． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元一次方程，． (1)若该方程的解与方程的解互为相反数，求a的值； (2)若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先解方程，得出，根据该方程的解与方程的解互为相反数，得出方程的解为，然后将代入，即可得出答案； （2）先解方程，得出，根据a为非零整数，且该方程的解为正整数，得出或，求出a的值即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与方程的解互为相反数， ∴的解为， 把代入得： ， 解得：； （2）解： 移项得合并同类项得：， 即， 解得：， ∵a为非零整数，且该方程的解为正整数， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程解的定义，准确进行计算． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 1．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）若方程的解也是方程的解，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程即可求出a的值． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 将代入中得：， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了同解方程，同解方程即为解相等的方程． 2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）方程的解与关于的方程的解互为倒数，则 ． 【答案】1 【分析】解方程得出的值，根据方程的解互为倒数知另一方程的解，代入可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得． ∵的倒数是， ∴将代入方程， 则， 解得． 故答案为：． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【答案】（1）；（2）m 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值； （2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值． 【详解】解：（1）方程， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）， 移项得：， 系数化为一得：x， ， 移项得：， 系数化为一得：， ∴， 解得：m． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 1．（24-25八年级上·全国·开学考试）研究下面解方程的过程： 去括号，得，① 移项，得，② 合并同类项，得，③ 两边都除以6，得．④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的求解．熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键，注意：括号前是负号去括号时括号中各项都变号． 根据解方程的方法和步骤即可判断，括号前是负号去括号时括号中各项都变号． 【详解】去括号，得， ①变形错误． 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小亮解一元一次方程的过程： 去分母，得．………第一步 去括号，得．…………第二步 移项，得．…………第三步 合并同类项，得．………第四步 方程的两边都除以，得．……第五步 老师告诉小亮解题过程错误，请你帮小亮找出在以上解题过程中从第步开始出错，错误的原因是 ，该方程正确的解为 ． 【答案】 三 移项没有变号 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法进行计算即可求解． 【详解】解： 等式两边同时乘以4，去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 方程的两边都除以，系数化为，得， ∴第三步开始出错，出错的原因是移项没有变号，方程正确的解为， 故答案为：①三；②移项没有变号；③ ． 3．（23-24七年级上·北京门头沟·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解： …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步    …………第⑤步 ．  ………第⑥步 乙同学： 解方程． 解：   …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ． ………第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择________同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； （2）该同学的解答过程从第________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是__________________________________； （3）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）甲；（2）②，去分母时这一项没有加括号；（3）解答过程见解析． 【分析】（1）直接选择即可； （2）按照自己的选择逐步查看，第几步开始错误填序号即可； （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可求解． 【详解】解：（1）甲； （2）②，去分母时这一项没有加括号； （3）．    ． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的求解，属于基础题，要有一定的运算求解能力，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解决此题的关键． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级下·山西晋城·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单． 把方程的解代入方程进行计算即可求解． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得． 故选C． 1．（23-24七年级下·山西临汾·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法．设被污染的数字为a，将代入，得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】解：设被污染的数字为a． 将代入得：． 解得：． 故选：C． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的方程，再求解即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·一模）计算：． 芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于4，求被污染的数字． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）设，进而解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）由题意可得， 设， ， ， ， ， ， ， 即被污染的数字是． 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意可得，解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得， 系数化为得，， 故选：． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算： ，例如：，那么当时，的值是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据定义的新运算，表示出的式子，再与成立方程，求出解即可． 【详解】解： ， ∴， 解得， 故选：A． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ． 【答案】2 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，先根据新定义得出关于x的方程，然后求解即可． 【详解】解：根据题意化简，得：， 整理得：，即， 解得：． 故答案为：2 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程 差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即． 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∴ ． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，倒数和绝对值的定义，代数式求值，根据绝对值的定义得到，解方程可得或；根据倒数的定义可得，解得，据此代值计算即可． 【详解】解；∵的绝对值是2， ∴， ∴或， ∴或； ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴或 故选：C． 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 【答案】C 【分析】根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或， ∴或， ∴x的相反数是或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据当时，取到最小值为0，据此求解即可． 【详解】解：当时，取到最小值为0．则的最小值是5； 当时，式子取到最大值， ∴， 解得， 故答案为：5；． 3．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【答案】(1)；或 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值； （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据题意对去绝对值即可求解； （3）分数的点位于的左边或的右边两种情况讨论，再分别计算即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：； （3）解：， 数的点位于的左边或的右边， 当数的点位于的左边时，则， 解得； 数的点位于的右边，则， 解得； 综上，或． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴ ∴， ∴， 即 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 1．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的整体替换即可解得． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为 ∴关于y的一元一次方程中， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的的解，解题的关键是会用整体替换的思想． 2．（22·23七年级上·江苏常州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为：， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 3．（22·23七年级下·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解； 【详解】（1）解：∵方程的解为， 方程的解为， 而方程与是“友好方程”， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为， 依题意得或， 解得或， 故k的值为或； （3）解：方程的解为， ∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”， ∴关于x的方程的解为， ∵关于y的一元一次方程变形得， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值后，解方程即可. 本题考查了绝对值方程，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键. 【详解】解：， 故或， 解得或. 故选C. 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，把等式两边分别乘以即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：C． 3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）下列解方程变形错误的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：由得，故选项A不符合题意； 由得，故选项B不符合题意； 由得，故选项C不符合题意； 由去分母得，故选项D不符合题意； 故选D． 4．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，关键在于找出两个式子之间的联系，找出联系即可求解．将关于的一元一次方程变形为，由已知即可求解． 【详解】 解：将关于的一元一次方程变形为， 即， ∵一元一次方程， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）若关于的不等式组的解集是，且关于的方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查解含参数不等式组、由不等式组解集情况求参数范围、解含参数的一元一次方程，根据一元一次方程解的情况求参数范围、求不等式组的整数解等知识，熟练掌握不等式及不等式组解集的求法、一元一次方程的解法是解决问题的关键． 先由不等式组解集的情况求出，再由一元一次方程解的情况求出，从而得到所有满足条件的整数的值之和． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 若关于的不等式组的解集是，则，解得； 解得， 关于的方程的解是正数， ，解得； ，则所有满足条件的整数的值为，它们的和为， 故选：C． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【答案】3或4或6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键． 根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得， 因为关于x的方程的解是正整数， 得，或． 解得，或． 故答案为：3或4或6． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）现规定一种运算：，如果，那么 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了解一元一次方程．先根据新定义运算，得出关于x的方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 故答案为：4 8．（2024七年级上·全国·专题练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 方程右边的项没有乘，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，求得的值，然后把的值代入中，最后解方程即可． 【详解】解：方程右边的项没有乘，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：， 方程为， 去分母，得， 解得：， 故答案为：，． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）若关于x的一元一次方程的解为；则称该方程为“奇异方程”，例如：的解为，则该方程是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程是奇异方程，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据奇异方程的定义可求出方程的解，再把方程的解代入原方程得到关于m的方程，解方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程是奇异方程， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键． 先求出的解，再把x的值代入，求解即可． 【详解】解：∵的解是：， 又∵方程和有相同的解， ∴把，代入，得， 解得：． 则， 故答案是：． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）把看做一个整体，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， ∴， ∴． 12、（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1． （1）方程变形后，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 整理得， 去括号，得， 移项合并，得， 将x系数化为1，得． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可． 【详解】解：对方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； 把代入，得， 解得：． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． (1)若方程是方程的“稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义，熟练解一元一次方程是解题关键． （1）先分别解方程、，再根据“稻香方程”的定义即可求解； （2）解关于x方程，再根据“稻香方程”的定义进行计算可以得解； （3）依据题意，先解方程和，再根据“稻香方程”的定义，求出x，b，c，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 又， ∴， ∵方程是方程的“稻香方程”， ∴． 故答案为：2； （2）解：解关于x方程，得， 解关于x的方程，得， 关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”， ∴． 整理得， 又， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴关于x方程的解是，关于x方程的解是， ∵关于x方程是方程的“稻香方程”， ∴， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$