专题01 方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题01 方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题二 列方程】 【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2022九年级·全国·专题练习）受疫情影响，某公司2月份产值相比1月份下降80%，3月份开始回暖，达到1月份产值的70%，设该公司3月份相比2月份增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（    ） A．80%(1+x)＝70% B．(1﹣80%)(1+x)＝70% C．1﹣80%+x＝70% D．(1﹣80%)x＝70% 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24七年级上·湖南湘潭·期末）若是一元一次方程，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．1 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若是关于的一元一次方程，求的值． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）小明在做作业时，不小心把方程中的一个常数污染了看不清，被污染的方程为，他翻看答案，得知方程的解为，则这个常数是（    ） A．－14 B．－6 C．2 D．6 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ． 3．（23-24七年级上·广东·单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·云南红河·期末）如果是关于的方程的解，那么的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 3．（23-24六年级下·上海普陀·期中）已知x＝4是关于x的方程3x+2＝﹣2a的解，求2a2+a的值． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24七年级上·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形正确的是（  ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确是 （填正确的序号） 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24六年级上·全国·单元测试）利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）利用等式性质解方程： (1)； (2)． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（2023·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 1．（23-24七年级上·浙江·课后作业）若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 1、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 2、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 3、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 1、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 2、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 3、（2023秋·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）小刚在做作业时，不小心将方程■中的一个常数涂黑了，在询问老师后，得知方程的解是，这个被涂黑的常数是（    ）． A． B．4 C． D．2 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是关于的一元一次方程，则 ． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空： （1）若，则．这是根据等式的性质 ，在等式两边 ； （2）等式两边 ，得 ，其依据是 ； （3）已知等式，根据等式的性质 ，两边 ，可以得到． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列等式变形中，正确的有 （填写序号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 10．（23-24八年级下·广西贺州·期末）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 15．（2024七年级上·山东·专题练习）若是关于x的一元一次方程，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义， 含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②是不等式，⑤，不是等式，不是方程， 故方程有4个， 故选：B． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【详解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 【经典例题二 列方程】 【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 1．（2022九年级·全国·专题练习）受疫情影响，某公司2月份产值相比1月份下降80%，3月份开始回暖，达到1月份产值的70%，设该公司3月份相比2月份增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（    ） A．80%(1+x)＝70% B．(1﹣80%)(1+x)＝70% C．1﹣80%+x＝70% D．(1﹣80%)x＝70% 【答案】B 【分析】设该公司3月份相比2月份增长率为x，根据某公司2月份产值相比1月份下降80%，3月份开始回暖，达到1月份产值的70%，列出方程即可． 【详解】解：设该公司3月份相比2月份增长率为x， 根据题意知：（1﹣80%）（1+x）＝70%， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键在于能够准确理解题意． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：设去年同期这个景点接待市民游客万人， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用方程表示增长率的计算，掌握增长率的计算，方程的运用，用字母表示数（或数量关系）的原则是解题的关键． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 1．（23-24七年级上·湖南湘潭·期末）若是一元一次方程，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟记定义是解题关键．根据一元一次方程的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵是一元一次方程， ， 解得， 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义求出的值代入计算即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若是关于的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程求出m值，再代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， 且， 解得， 当时，原式 ． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，熟知方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， ， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）小明在做作业时，不小心把方程中的一个常数污染了看不清，被污染的方程为，他翻看答案，得知方程的解为，则这个常数是（    ） A．－14 B．－6 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程求解是解答本题的关键． 设被污染的常数为a，根据一元一次方程的性质，将代入到原方程，通过计算即可得到答案． 【详解】设被污染的常数为a，根据题意得， 将代入方程中 ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，方程无数解的条件，求代数式的值，熟练掌握解是解题的关键． 【详解】∵方程的解总是2， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东·单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级上·云南红河·期末）如果是关于的方程的解，那么的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】直接利用一元一次方程解代入x的值，进而得出答案． 【详解】解：把x＝10代入方程， 得2＋m＝−3， 解得m＝−5． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】把代入方程得到关于a与b的关系式，再将关系式代入即可求解． 【详解】把代入方程，得：，即， 代入所求方程，得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 3．（23-24六年级下·上海普陀·期中）已知x＝4是关于x的方程3x+2＝﹣2a的解，求2a2+a的值． 【答案】78 【分析】把x＝4代入方程得到一个关于的方程，即可求得的值，然后代入代数式计算． 【详解】解：把x＝4代入方程得：， 解得：． ∴． 【点睛】本题考查了方程的解，利用方程的解满足方程得出的值是解题关键． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24七年级上·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项错误，符合题意； 、由，可得，原选项正确，不符合题意； 故选：． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形正确的是（  ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． 根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．如果，那么，故选项错误； B．如果，那么，故选项正确； C．如果，那么或，故选项错误； D．如果，且，那么，故选项错误． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确是 （填正确的序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤ 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【答案】(1)第一步的依据是：等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查利用等式的性质解方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． （1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时除以； （3）在等式的两边两边同时减去5； （4）在等式的两边同时加上，再减去6，然后再除以5． 【详解】（1）解：原方程两边同时减去3可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （2）解：原方程两边同时除以可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （3）解：原方程两边同时减去5可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （4）解：原方程两边同时加上得：， 原方程两边同时减去6可得：， 原方程两边同时除以5可得：， 当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解为． 2．（23-24六年级上·全国·单元测试）利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；熟练掌握等式的性质是解题的关键．结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解： 两边同时减去，得 ， 解得． （2）解： 两边同乘，得 ， 解得． （3）解： 两边同时减去得， ， 两边同除以得， 解得． （4）解： 两边减去得 ， 解得． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）利用等式性质解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的基本性质． （1）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘，即可求得答案； （2）首先方程两边同加上2，再方程两边同除以4，即可求得答案． 【详解】（1）解：两边同加上5，得： ， 化简，得： ， 两边同乘，得： ， 解得； （2）解：两边同加上2，得： ， 化简，得： ， 两边同除以4，得： ， 解得． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（2023·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【答案】D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 1．（23-24七年级上·浙江·课后作业）若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 【答案】 【分析】本题考查等式的性质．利用等式的性质，把等式变形为的形式，再两边同时除以，得，得结论． 【详解】解：两边同时减去，得． 两边同时减去， 得． 两边同时除以， 得 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质即可求解． 【详解】解：根据等式性质1： 的两边都加上，得，即， 根据等式性质2：的两边都除以3，得， 所以． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断即可． 【详解】解：等式两边同减去，得： ， 等式两边同减去，得： ， 等式两边再同时加上1，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练运用等式的性质进行变形是解决本题的关键． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可． 【详解】解：关于x的方程变形为， 由表格中的数据可知，当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解． 1、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可； 【详解】解：A.当x=-2时，，故不符合题意； B. 当x=-2时，，故不符合题意； C. 当x=-2时， ，故不符合题意； D. 当x=-2时，，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 2、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 3、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析. 【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为： ∵x=2是方程ax﹣4=0的解， ∴把x=2代入得：2a﹣4=0， 解得：a=2， 将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8， 将x=3代入该方程左边，则左边=7， 代入右边，则右边=1， 左边≠右边， 则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解． 【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 【答案】 【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为x=20的方程为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键． 1、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 【答案】x=110 【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案． 【详解】解：第1个方程是x+=3，解为x=2×1=2； 第2个方程是=5，解为x=2×3=6； 第3个方程是=7，解为x=3×4=12； … 可以发现,第n个方程为=2n+1， 解为n(n+1) ． ∴第10个方程=21的解为：x=10×11=110． 故答案为x=110． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题． 2、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 【答案】见解析 【详解】试题分析： 我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“，其中为正整数”，而其解为：. 试题解析： （1）猜想得：的解为，验证如下： 当时，原方程左边==方程是右边，∴是原方程的解； 当时，原方程左边==方程右边， ∴是原方程的解；即猜想是正确的； （2）一般情形：方程的解为. 3、（2023秋·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A. ，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是一元一次方程，故该选项正确，符合题意； D. ，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题等式的性质、整式的加减等知识，解题的关键是正确的变形合并同类项．根据得到，，，代入，即可判断A，B，C，D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，故B不正确，不符合题意， ∴，， ∵有理数，，互不相等， ∴，故A不正确，不符合题意， ∵ ∴，故C不正确，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 3．（23-24七年级下·云南德宏·期末）由可以得到用x表示y的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质，恒等变形即可得到答案． 本题考查等式的性质，读懂题意，按要求恒等变形是解决问题的关键． 【详解】解：由，得， 故选：B． 4．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键； 根据等式的基本性质，即：①等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立，②根据等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．逐项判断即可． 【详解】A．利用等式基本性质1，等式的两边同时减去6，等式仍然成立，原式计算正确，故该选项不符合题意； B．利用等式基本性质2，等式的两边同时乘以，等式仍然成立，然后利用等式基本性质1，等式的两边同时加1，等式仍然成立，原式计算正确，故该选项不符合题意； C．利用等式基本性质2，等式的两边同时乘以，等式仍然成立，原式计算正确，故该选项不符合题意； D．利用等式基本性质2，两边都除以x，x必须不为0，才能得到，原式计算错误，故本选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）小刚在做作业时，不小心将方程■中的一个常数涂黑了，在询问老师后，得知方程的解是，这个被涂黑的常数是（    ）． A． B．4 C． D．2 【答案】C 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，根据一元一次方程的一般形式可得且，求解即可，掌握一元一次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空： （1）若，则．这是根据等式的性质 ，在等式两边 ； （2）等式两边 ，得 ，其依据是 ； （3）已知等式，根据等式的性质 ，两边 ，可以得到． 【答案】 2 都除以 都减去 等式的性质1 1 都加3 【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘或除同一个数（除数不能为0），等式仍成立． （1）根据等式的性质2得出即可； （2）根据等式的性质1得出答案即可； （3）根据等式的性质1得出答案即可． 【详解】解：（1）若，则．这是根据等式的性质2，在等式两边都除以， 故答案为：2，都除以； （2）等式两边都减去，得，其依据是等式的性质1， 故答案为：都减去，，等式的性质1； （3）等式，根据等式的性质1，两边都加3，可以得到， 故答案为：1，都加3． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列等式变形中，正确的有 （填写序号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，则，正确； ③若，则不成立，故③错误； ④若，则，错误，a也可能等于0； ⑤若，则，故，正确． 故正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·广西贺州·期末）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，熟练掌握整体思想的运用是解题的关键． 先利用一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，得到，再把变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴即， ∴ ， 故答案为：2023． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查利用等式的性质解方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． （1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时除以； （3）在等式的两边两边同时减去5； （4）在等式的两边同时加上，再减去6，然后再除以5． 【详解】（1）解：原方程两边同时减去3可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （2）解：原方程两边同时除以可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （3）解：原方程两边同时减去5可得：， 当时，左边右边， 故原方程的解为； （4）解：原方程两边同时加上得：， 原方程两边同时减去6可得：， 原方程两边同时除以5可得：， 当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解为． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等 (2)③，等式两边同时除以的x可能为0 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质． （1）①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． （2）小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； （3）正确的解题过程为：第③步改为x﹣3x＝0，故x＝0． 【详解】（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 【答案】(1)，等式的性质2；变形过程见解析 (2)，等式的性质2；变形过程见解析 (3)6，等式的性质2；变形过程见解析 (4)，等式的性质1；变形过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练利用等式的性质解一元一次方程是解题的关键． （1）根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，得出所求； （2）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （3）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （4）根据等式的性质1，等号两边都减去，再除以，等号仍成立，得出所求． 【详解】（1）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （2）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （3）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：6，等式的性质2； （4）解：如果，根据等式的性质1，等号两边都减去，等号仍成立，那么，， 等号两边都除以，那么； 故答案为：，等式的性质1． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质进行计算，即可解答； （2）根据等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：正确， 理由：∵， ∴， ∴； （2）不正确， 理由：∵， ∴， ∴， ． ∴不正确． 15．（2024七年级上·山东·专题练习）若是关于x的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，求代数式的值，根据一元一次方程的定义，得到，求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$