八年级数学第三次月考测试卷【华东师大版，测试范围：第十一章～第十四章】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题。 2．测试范围：数的开方~勾股定理（华东师大版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列实数，，，0，﹣π，0.010010001…（两个1之间依次增加1个0）中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（4分）下列运算结果正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 C．a3•a3＝a9 D．（a+2b）2＝a2+4b2 3．（4分）无理数的大小在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（　　） A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE 5．（4分）若a，b为等腰△ABC的两边，且|b﹣3|＝0，则△ABC的周长为（　　） A．15 B．12 C．12或15 D．15或18 6．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（4分）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6 C．a2＝b2﹣c2 D．a，b，c＝1 8．（4分）能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝3 9．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：∠CDE＝∠CAB； 结论Ⅱ：AB+EC＝AC． A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 10．（4分）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）的平方根是 　 　． 12．（4分）若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y﹣2＝　 　． 13．（4分）已知m+n＝8，mn＝15，则m2﹣mn﹣n2的值是 　 　． 14．（4分）如图，AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，以AD为边向右作等边三角形ADE，则∠EAC的度数为 　 　． 15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD+BD＝　 　． 16．（4分）在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，若AD＝7，CD＝5，则BD＝　 　． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17．（4分）计算： 18．（8分）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 19．（8分）先化简，再求值，（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）+（2ab2﹣b3）÷b，其中a＝2，b＝（﹣3）0． 20．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB （2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数． 21．（8分）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km． （1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由； （2）求原来的路线AC的长． 22．（10分）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值． 解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2． 所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10． 请仿照上例解决下面的问题： （1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值； （3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）． 23．（12分）如图，线段OA和射线OP（∠AOP＞60°）． （1）在∠AOP的内部求作一点B，使得△OAB是等边三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若点C在射线OP上，OA＝4，四边形OABC的周长为16，OC﹣BC＝2，求证：△OBC是直角三角形． 24．（14分）若一个三位数t（其中a，b，c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为F（t）．例如，246的差数F（246）＝642﹣246＝396，452的差数F（452）＝542﹣245＝297． （1）已知一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，则a＝　 　． （2）若一个三位数t（其中a、b都不为0）能被4整除，将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“循环数”．例如：因为344＝4×86，443＝4×110+3，434＝4×108+2．所以344是4的一个“循环数”．求出所有三位数中4的“循环数”t，并求F（t）最大值． 25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点O为△ABC两外角∠CBD，∠BCE的平分线的交点，连接OB，OC． （1）求证OB＝OC； （2）如图2，点M在线段BC上，点N为射线CE上一点，且满足∠ABC＝2∠MON． ①求△CMN的周长； ②如图3，若∠A＝30°，且点O'为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，线段AC上是否存在一点G，使得△CGM与△CMN的周长相等？若存在，请直接写出∠MO'G的度数；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题。 2．测试范围：数的开方~勾股定理（华东师大版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列实数，，，0，﹣π，0.010010001…（两个1之间依次增加1个0）中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：， 实数，，，0，﹣π，0.010010001…（两个1之间依次增加1个0）中，无理数有：﹣π，﹣0.010010001……（每两个1之间依次增加1个0），共2个， 故选：A． 2．（4分）下列运算结果正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 C．a3•a3＝a9 D．（a+2b）2＝a2+4b2 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式分别进行计算，即可得出答案． 【解答】解：A、2a+3a＝5a，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，原计算正确，故此选项符合题意； C、a3•a3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（a+2b）2＝a2﹣4ab+4b2，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（4分）无理数的大小在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】先用夹逼法估算的取值范围，进一步得出的取值范围，再估算的取值范围即可． 【解答】解：∵， 即， ∴， ∴， 即， 故选：B． 4．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（　　） A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE 【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可． 【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意； B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意； C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意； D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意； 故选：A． 5．（4分）若a，b为等腰△ABC的两边，且|b﹣3|＝0，则△ABC的周长为（　　） A．15 B．12 C．12或15 D．15或18 【分析】先根据非负数的性质得a＝6，b＝3，再分两种情况进行讨论：当a＝6为等腰△ABC的底时，则腰为3；②当a＝6为等腰△ABC的腰时，底为3，根据每一种情况利用三角形三边之间的关系判定是否构成三角形，然后再求出周长即可． 【解答】解：∵|b﹣3|＝0， 又∵0，|b﹣3|≥0． ∴a﹣6＝0，b﹣3＝0， ∴a＝6，b＝3， ∵a，b为等腰△ABC的两边， ∴有以下两种情况： ①当a＝6为等腰△ABC的底时，则腰为3， ∴△ABC的三边为：6，3，3， 由于3+3＝6，不符合构成三角形的条件，此种情况不存在； ②当a＝6为等腰△ABC的腰时，底为3， ∴△ABC的三边为：6，6，3， 由于6+3＞6，符合构成三角形的条件， ∴该等腰△ABC的周长为：6+6+3＝15． 故选：A． 6．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：连接AE， ∵DE垂直平分AB，BE＝5， ∴AE＝BE＝5， 在Rt△ACE中，∠C＝90°， ∴AC4， 故选：C． 7．（4分）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝4：5：6 C．a2＝b2﹣c2 D．a，b，c＝1 【分析】依据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出结论． 【解答】解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形． B、∵42+52≠62，∴△ABC不是直角三角形； C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形； D、∵a，b，c＝1，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形； 故选：B． 8．（4分）能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝3 【分析】根据题意、乘方的意义举例即可． 【解答】解：当a＝0时，a2＝0， ∴a2＝a， 故选：B． 9．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：∠CDE＝∠CAB； 结论Ⅱ：AB+EC＝AC． A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 【分析】根据尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，DE为AC的垂线，可得△ABD≌△AED，可判断结论Ⅱ，再由∠DCE+∠CDE＝90°，∠DCE+∠CAB＝90°，可得结论Ⅰ正确． 【解答】解：由尺规作图痕迹可知， AD为∠BAC的角平分线，DE为AC的垂线， ∴∠BAD＝∠EAD，△AED为直角三角形， ∴∠B＝90°，∠AED＝90°， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（AAS）， ∴AB＝AE， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+EC＝AC， 故结论Ⅱ正确； ∵∠DCE+∠CDE＝90°， ∠DCE+∠CAB＝90°， ∴∠CDE＝∠CAB， 故结论Ⅰ正确， 故选：A． 10．（4分）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【分析】分别化简a，b，c，即可比较出答案． 【解答】解：∵a＝2024×（2024﹣2023）＝2024， b2023， c2023， ∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）的平方根是 　　． 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解． 【解答】解：的平方根是±． 故答案为：±． 12．（4分）若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y﹣2＝　16　． 【分析】由5x﹣3y﹣2＝0得5x﹣3y＝2，再根据同底数幂的除法法则解答即可． 【解答】解：由5x﹣3y﹣2＝0得5x﹣3y＝2， ∴25x÷23y﹣2 ＝25x﹣（3y﹣2） ＝25x﹣3y+2 ＝22+2 ＝24 ＝16． 故答案为：16． 13．（4分）已知m+n＝8，mn＝15，则m2﹣mn﹣n2的值是 　1或﹣31　． 【分析】由已知条件入手，把m+n＝8两边同时平方，就可以出现m2+2mn+n2的形式，再结合mn＝15，求出m﹣n的值后，再求m2﹣mn﹣n2的值即可． 【解答】解：∵m+n＝8，mn＝15， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ＝82﹣4×15 ＝4， ∴m﹣n＝±2， 当m﹣n＝2时： m2﹣mn﹣n2 ＝m2﹣n2﹣mn ＝（m+n）（m﹣n）﹣mn ＝8×2﹣15 ＝1， 当m﹣n＝﹣2时： m2﹣mn﹣n2 ＝m2﹣n2﹣mn ＝（m+n）（m﹣n）﹣mn ＝8×（﹣2）﹣15 ＝﹣31． 故答案为：1或﹣31． 14．（4分）如图，AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，以AD为边向右作等边三角形ADE，则∠EAC的度数为 　15°　． 【分析】由等腰三角形的性质得到∠DAC∠BAC90°＝45°，由等边三角形的性质得到∠DAE＝60°，即可求出∠CAE的度数． 【解答】解：∵AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线， ∴∠DAC∠BAC90°＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°， ∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝60°﹣45°＝15°． 故答案为：15°． 15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD+BD＝　21　． 【分析】由勾股定理得BC＝25，再根据三角形面积求出AD＝12，然后由勾股定理求出BD＝9，即可得出结论． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20， ∴BC25， ∵AD⊥BC， ∴S△ACBBC•ADAB•AC， ∴25AD＝15×20， ∴AD＝12， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD9， ∴AD+BD＝12+9＝21， 故答案为：21． 16．（4分）在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，若AD＝7，CD＝5，则BD＝　　． 【分析】连接AC，易证明△ABC为等边三角形，将△BCD绕点C顺时针旋转60°，得到△ACE，连接DE，由旋转的性质可得BD＝AE，CD＝CE，∠DCE＝60°，则△CDE为等边三角形，因此CD＝DE＝5，∠ADE＝90°，由勾股定理可求出AE，以此即可求解． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC， 将△BCD绕点C顺时针旋转60°，得到△ACE，连接DE，如图， 由旋转的性质可得，BD＝AE，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝DE＝5，∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， 在Rt△ADE中，AD＝7，DE＝5， 由勾股定理得， ∴BD＝AE． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17．（4分）计算： 【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式2+22 ＝3． 18．（8分）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可． 【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m） ＝（m﹣2）（x2﹣y2） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）． 19．（8分）先化简，再求值，（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）+（2ab2﹣b3）÷b，其中a＝2，b＝（﹣3）0． 【分析】将原式中的第一项利用完全平方公式进行化简，第二项利用平方差公式进行化简，第三项利用多项式除以单项式的法则计算，最后去括号后合并同类项即可得到最简结果，再将a和b的代入计算即可求值． 【解答】解：原式＝（4a2﹣4ab+b2）﹣（4a2﹣b2）+（2ab﹣b2） ＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2+2ab﹣b2 ＝﹣2ab+b2， 当a＝2，b＝（﹣3）0＝1时， 原式＝﹣2×2×1+12＝﹣3． 20．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB （2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数． 【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出∠A＝∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：∵E为AC中点， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°， ∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°， ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BED＝90°﹣75°＝15°． 21．（8分）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km． （1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由； （2）求原来的路线AC的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出AC的长度． 【解答】解：（1）CH是村庄C到河边最近的路；理由如下： ∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9， ∴CH2+BH2＝BC2， ∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°， ∴CH⊥AB， ∵垂线段最短， ∴CH是村庄C到河边最近的路； （2）∵∠CHB＝90°， ∴∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， ∵AB＝AC， ∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8， ∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42， 解得：AC＝2.5， 答：原来的路线AC的长为2.5km． 22．（10分）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值． 解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2． 所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10． 请仿照上例解决下面的问题： （1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值； （3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）． 【分析】（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝﹣10，a+b＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21； （2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab； （3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900． 【解答】解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1， 由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21， 即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21； （2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020， 由完全平方公式可得ab， 即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为； （3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10， 又由ab＝200， ∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900． 23．（12分）如图，线段OA和射线OP（∠AOP＞60°）． （1）在∠AOP的内部求作一点B，使得△OAB是等边三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若点C在射线OP上，OA＝4，四边形OABC的周长为16，OC﹣BC＝2，求证：△OBC是直角三角形． 【分析】（1）作AB＝OB＝OA，即可得出答案； （2）根据勾股定理的逆定理证明． 【解答】解：（1）如图：点B即为所求； （2）∵△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝4， ∴OC+BC＝8， ∵OC﹣BC＝2， ∴OC＝5，BC＝3， ∴OB2+BC2＝OC2， ∴∠OBC＝90°， ∴△OBC是直角三角形． 24．（14分）若一个三位数t（其中a，b，c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为F（t）．例如，246的差数F（246）＝642﹣246＝396，452的差数F（452）＝542﹣245＝297． （1）已知一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，则a＝　9　． （2）若一个三位数t（其中a、b都不为0）能被4整除，将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“循环数”．例如：因为344＝4×86，443＝4×110+3，434＝4×108+2．所以344是4的一个“循环数”．求出所有三位数中4的“循环数”t，并求F（t）最大值． 【分析】（1）由一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，可得a＝9，依此即可求解； （2）由一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，可得b＝2或4或6或8，根据将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，可得a＝7或3，再根据将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，可得b＝4或8，可得4的“循环数”t为344，384，744，784，进一步求得F（t）的最大值． 【解答】解：（1）∵一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693， ∴F（a2b）＝100a+10b+2﹣（200+10b+a）＝99a﹣198＝693， 解得a＝9． 故答案为：9； （2）∵一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除， ∴b＝2或4或6或8， ∵将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3， ∴a＝7或3， ∵将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2， ∴b＝4或8， ∴4的“循环数”t为344，384，744，784， ∴F（344）＝443﹣344＝99， F（384）＝843﹣348＝495， F（744）＝744﹣447＝297， F（784）＝874﹣478＝396． F（t）最大值是495． 25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点O为△ABC两外角∠CBD，∠BCE的平分线的交点，连接OB，OC． （1）求证OB＝OC； （2）如图2，点M在线段BC上，点N为射线CE上一点，且满足∠ABC＝2∠MON． ①求△CMN的周长； ②如图3，若∠A＝30°，且点O'为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，线段AC上是否存在一点G，使得△CGM与△CMN的周长相等？若存在，请直接写出∠MO'G的度数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由角平分线的性质可得∠CBO＝∠BCO，可得结论； （2）①由“SAS”可证△BOH≌△CON，可得OH＝ON，∠BOH＝∠CON，由“SAS”可证△MON≌△MOH，可得MN＝MH，即可求解； ②由“SAS”可证△BO'H≌△CO'G，可得O'H＝O'G，∠BO'H＝∠CO'G，由“SSS”可证△MO'H≌△MO'G，可得∠MO'H＝∠MO'G，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠BCE， ∵点O为△ABC两外角∠CBD，∠BCE的平分线的交点， ∴∠DBO＝∠CBO∠DBC，∠BCO＝∠ECO∠BCE， ∴∠CBO＝∠BCO， ∴BO＝CO； （2）①解：如图，在BC上截取BH＝CN，连接OH， ∵∠DBC＝∠BCE，点O为△ABC两外角∠CBD，∠BCE的平分线的交点， ∴∠DBO＝∠CBO∠DBC，∠BCO＝∠ECO∠BCE， ∴∠OBC＝∠OCE， 又∵OB＝OC，BH＝CN， ∴△BOH≌△CON（SAS）， ∴OH＝ON，∠BOH＝∠CON， ∴∠COM+∠CON＝∠COM+∠BOH， ∴∠MON＝∠COM+∠BOH， ∵∠ABC+∠DBO+∠CBO＝180°，∠CBO+∠BCO+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝∠ABC， ∵∠ABC＝2∠MON， ∴∠BOC＝2∠MON， ∴∠MON＝∠MOH， 又∵OM＝OM，OH＝OE， ∴△MON≌△MOH（SAS）， ∴MN＝MH， ∴△MCN的周长＝CM+CN+MN＝CM+BH+MH＝BC＝2； ②解：线段AC上存在一点G，使得△CGM与△CMN的周长相等，理由如下： ∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∵点O'为∠ABC，∠ACB的平分线的交点， ∴∠ACO'＝∠O'BC＝∠O'CB＝37.5°， ∴∠BO'C＝105°，O'B＝O'C， 如图3，在BC上截取BH＝CN，在AC上截取CG＝CN，连接O'H，O'G，MG， ∴BH＝CG， 又∵O'B＝O'C，∠O'BC＝∠O'CB＝∠ACO'， ∴△BO'H≌△CO'G（SAS）， ∴O'H＝O'G，∠BO'H＝∠CO'G， ∵△CGM与△CMN的周长相等， ∴CG+CM+MG＝BC， ∴MG＝MH， 又∵O'M＝O'M，O'H＝O'C， ∴△MO'H≌△MO'G（SSS）， ∴∠MO'H＝∠MO'G， ∴∠MO'H＝∠CO'M+∠BO'H∠BO'C＝52.5°， ∴∠MO'G＝52.5°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$