4.3.1等比数列的概念第一课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第1课时　等比数列的概念 及通项公式 4.3.1　等比数列的概念 1 学习目标展示 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导及变形过程. 4. 体会等比数列与指数函数的关系. 环节一 创设情境，引入问题 下面我们按照这样的思路来研究等比数列。请看以下几个实例中的数列，思考它们有何共同特征？ 【实例1】两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ; ① 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ 问题1:我们已经学习等差数列，等差数列的研究架构是什么？ 背景→概念→通项公式→性质→前n项的和公式→应用 【实例2】 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长 度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到 的“棰”的长度依次是： 【实例3】一张A4纸，对折23次后，一张A4纸的厚度将达到约839米，超过地球上最高的建筑物迪拜塔的高度。对折42次后，纸的厚度将达到439,805公里，超过了地月平均距离。 1, 2, 4, 8, 16, 32, ‧‧‧. ⑤ 环节二 创设情境，抽象概念 问题2 仔细观察实例中的6个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现这些数列的取值规律?你发现了什么规律? 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ; ① 100, 1002, 1003, ‧‧‧,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ 1, 2, 4, 8, 16, 32, ‧‧‧. ⑤ 如果用{an}表示数列①，那么有 取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9． 共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 追问 数列②~⑤，从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都分别等于多少？ 环节二 创设情境，抽象概念 问题3 类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示. an-an-1=d(n≥2,n∈N*) an+1-an=d(n∈N*) 符号 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做___________常数叫做等 数列的_____ 二 比 同 等比数列. 公比 比 等比数列 q 符号 公比通常用字母 表示. 环节二 创设情境，抽象概念 问题4 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 等差中项 如果三个数a, A, b组成等差数列， 那么A叫做a和b的等差中项. 等比中项 如果三个数a, G, b组成 ，那么G叫做a和b的 . 等比数列 等比中项 追问 任意两个实数a，b都有等比中项吗？ ∴a, G, b成等比数列  (ab>0) 环节二 创设情境，抽象概念 a, A, b等差数列  问题5 根据等比数列的定义及推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列{an}的首项为a1, 公差为q, 根据等比数列的定义, 可得 ∴ a2= a1q， a3= a2q = a1q2， a4= a3q= a1q3， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ∴ an= a1qn-1 (n≥2). 又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立. 因此，首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为 追问 还有其它方法推导吗？ 环节三 推导公式，内涵辨析 追问 还有其它方法推导吗？ 累加法 类比 设一个等比数列{an}的首项为a1, 公差为q, 根据等比数列的定义, 可得 …… n-1个 又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立. an=a1qn-1 (n∈ ) 累乘法 环节三 推导公式，内涵辨析 等比数列的通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为 思考 已知等比数列{an}的公比为q，能否用{an}的第m项am表示an？ an=a1qn-1 (n∈ N*) 等比数列{an}的通项公式： 等差数列{an}的通项公式： 环节三 推导公式，内涵辨析 问题6 类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？ 指数型函数 l 追问1 类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？ 环节三 推导公式，内涵辨析 追问2 公比q＞0且q≠1的等比数列{an}的图象有什么特点？ ● ● ● ● ● 下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题. 环节三 推导公式，内涵辨析 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. ① ② ②的两边分别除以①的两边，得 解得 两个，需对其分类讨论 把代入①，得 此时==384=24 把代入②，得 此时==-384=-24 因此，的第5项是24或-24 解法1: 环节四 例题练习，巩固理解 解法2: 因为是和的等比中项，所以 因此，的第5项是24或-24 == 所以 例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 注意设法 解: 环节四 例题练习，巩固理解 环节五 目标检测，检验效果 （3），a1a3=36,a2+a4=60，求a1用和公比q. 环节五 作业布置，迁移应用 高效作业8：必做A组 挑战B组 $$