第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广州专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 2．如图，在中，，， ，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 5．2022年2月4日第24届冬季奥运会在北京举办，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动．如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行，若滑行距离米，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，在网格图形中，点A、O、B均在格点上，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 7．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 8．在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，E是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（　　） A． B． C． D． 10．如图， 在中，，，为上一点且：：，于，连接，则的值等于 （   ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在中，如果，，那么的值是 ． 12．若，则 ． 13．某人从水平地面沿坡度为的斜面前进，则此时他离地面的高度为 ． 14．在中， 则的长为 ． 15．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．则安装热水器的铁架水平横管的长度约为 ．（结果精确到米，参考数据： ， ， ，） 16．如图，在等腰三角形中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则长的最大值为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算： 18．（4分）如图中，，试求出的三个三角函数值． 19．（6分）如图， 在中， 于D， 若 求 20．（6分）长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为，由点A往前走至点B处，测得电视塔顶P处仰角为，请求出电视塔的高度．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：，，） 21．（8分）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 22．（10分）如图，已知是的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 23．（10分）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 24．（12分）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（12分）如图1，在矩形中，点E中的中点，交边于F，连． (1)求证：； (2)若，直线写出的值______； (3)如图2，点G为边上一点，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，， ，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．根据解题即可． 【详解】∵在中，，， ， ∴， 故选：D． 3．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 4．在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据已知条件，利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：D． 5．2022年2月4日第24届冬季奥运会在北京举办，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动．如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行，若滑行距离米，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．过点作水平面于点，根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点作水平面于点， 在中，，米， ， （米）， 故选：B． 6．如图，在网格图形中，点A、O、B均在格点上，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，连接格点，在中求出的正切值即可． 【详解】解：连接格点． 在中， 故选：B． 7．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．如图1，连接交于O，根据菱形的性质得到，，平分，则，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，如图2，利用正方形的性质得到的长． 【详解】解：如图1，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，平分， ∵， ∴， ∴， 如图2，∵四边形为正方形， ∴． 故选：A． 9．如图，在中，E是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列出关系式是解题的关键．连接，由切线的性质得，则，由，得，所以，于是得，即可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， 的余弦值为， 故选：B． 10．如图， 在中，，，为上一点且：：，于，连接，则的值等于 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．由平行线分线段成比例得出，设，则，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：根据题意：在中，，， ， ∴， ：：， ， ， 设，则， 在中有，． 则． 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在中，如果，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，是等腰三角形，可知等腰三角形的三线合一，如图所示，过点作于，在中，根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作于，， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形，余弦的计算方法，掌握等腰三角形的性质，构造直角三角形，余弦的计算方法是解题的关键． 12．若，则 ． 【答案】/30度 【分析】由，，可得，即可解得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了特殊角的锐角三角函数，熟知是解题的关键． 13．某人从水平地面沿坡度为的斜面前进，则此时他离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】根据题意可设，再由勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图： ∵水平地面沿坡度为， ∴可设， ∴， 解得：， 即此时他离地面的高度为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了坡角问题的应用，通过构造直角三角形解答问题，利用锐角三角函数求解是解题关键． 14．在中， 则的长为 ． 【答案】15或9 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，分高在的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：过点作， ①当高在的内部时，如图： 则： 设， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当高在的外部时，如图： 同法可得：， ∴； 故答案为：15或9． 15．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．则安装热水器的铁架水平横管的长度约为 ．（结果精确到米，参考数据： ， ， ，） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，如图，作于，则四边形是矩形，，则，，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 如图，作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在等腰三角形中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，则长的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，三线合一，过点作，过点作，旋转的性质结合三线合一，推出，进而得到最大时，最大，得到点与点重合时，最大，三线合一和锐角三角函数求出的长，即可求出的最大值． 【详解】过点作，过点作， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵点在边上运动（可与点，重合）， ∴当点与点重合时，最大， ∵，，， ∴，， ∴当时，最大为； 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算： 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：原式， 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 18．（4分）如图中，，试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角函数的定义，结合已知，先利用勾股定理求出的长，再根据，，即可求解的三个三角函数值． 【详解】解： 中，， ， ，，． 19．（6分）如图， 在中， 于D， 若 求 【答案】 【分析】证明，得到，结合已知条件和正切的定义，进行求解即可，此题考查了相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义，难度不大． 【详解】解：，于， ，， ． ， 即． ， 设为，则为． ． 在中，， ． 20．（6分）长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为，由点A往前走至点B处，测得电视塔顶P处仰角为，请求出电视塔的高度．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：，，） 【答案】电视塔的高度为 【分析】在中，根据三角函数的定义得到，利用，求出的长度，根据等腰直角三角形的性质得到，于是利用得到结论． 【详解】 解：在中， ，，， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：电视塔的高度为． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键． 21．（8分）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 22．（10分）如图，已知是的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用三角函数和勾股定理结合解直角三角形： （1）过点A作于点H，在中，可得，在中，可得 ，即可求解； （2）求出，可得，在中，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 23．（10分）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 24．（12分）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及勾股定理是解题的关键； （1）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后利用同弧所对的圆周角相等可得：，从而可得； （2）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后在中，利用勾股定理列出方程进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ． 25．（12分）如图1，在矩形中，点E中的中点，交边于F，连． (1)求证：； (2)若，直线写出的值______； (3)如图2，点G为边上一点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及求三角函数值，证明三角形相似并运用性质解决问题是解答本题的关键： （1）证明结合即可得出结论； （2）根据可得出设分别可求出从而可求出； （3）多次运用相似三角形的判定与性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ 设则 解得， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$