第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广州专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 2．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，，，则的正切值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键． 根据正切的比值关系列式比较即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：C． 4．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求角的正切值，根据网格特点和正切定义求解即可． 【详解】解：如图，设网格中小正方形的边长为1，则，，    ∴， 故选：D． 5．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（    ）          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中， ， ∴， ∵， ∴桌沿（点A）处到地面的高度． 故选：A． 6．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，特殊直角三角形的性质等知识，如图，设．解直角三角形求出，，，可得结论． 【详解】如图，设． 在中，，， ，， ， ∴． 故选：C． 7．如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（    ） A．3 B． C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线得出，再由余弦函数确定，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得出，设米，则米，米，再解直角三角形求出的值即可得解． 【详解】解：如图， ， 在中，， ∴， 设米，则米，米， 在中，， 解得：， ∴楼房的高度为米， 故选：C． 9．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，根据轴对称的性质可得，在和中运用三角函数求解即可． 【详解】解：，，， ， ，， 根据轴对称的性质可知： ， ， ， ， ， 故选：． ． 10．如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：    则，设正方形边长为， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，在中，，则的值是 ．    【答案】/ 【分析】勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查求角的正弦值．解题的关键是掌握正弦的定义． 12．已知，为锐角，则 ． 【答案】/60度 【分析】根据60°的余弦值是解答即可 【详解】解：∵，为锐角 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 13．计算： ． 【答案】1 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是本题的关键． 14．在正方形网格中， 如图放置，则的值为 . 【答案】/ 【分析】在中利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，正切函数的定义．构造直角三角形是解题的关键． 15．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 16．如图，在Rt中，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连结，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据E、F、Q三点共线的时，的值最小即可解答． 【详解】解：取的中点Q，连接， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴当E、F、Q三点共线的时，的值最小， ∴． 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，把各个锐角三角函数值代入，再进行计算即可. 【详解】解： 18．正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要，如图1是某学生的正确握笔姿势，其示意图如图2．笔杆与纸面所成的角α为53°，笔杆AB长20cm，求笔杆顶部离纸面竖直高度BC．（参考数据：，，） 【答案】16cm 【分析】根据三角函数正弦的定义求解． 【详解】解：由题意：，，    答；笔杆顶部离纸面竖直高度BC的长为16cm． 【点睛】本题考查锐角确函数的定义及解直角三角形知识；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 20．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 21．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】高楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而即可解答． 【详解】解：如图，过D作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 由题意，得， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米． 答：高楼的高度AB为17.2米． 22．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 23．如图，在中，，是的中点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据余角和对顶角的性质可得，即可证明． （2）连接，过点作的垂线，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，根据是的中点，，，得出，，，勾股定理可得，即，再根据余角和对顶角可得，得，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：连接，过点作的垂线，垂足为，如图： ∵，是的中点，， ∴， ∵是的中点，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 24．已知为的弦，连接，且． (1)如图，求证：平分； (2)如图，点为上一点，连接交于点E，若，作，垂足为，延长交于点，延长交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）连接，先证明，则，可得，，故，由，得，即，故； （3）延长交于点，连接，过点作，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，设，则 ，可证明，则，可证明，则，，故四边形是平行四边形，证明,则，可证明四边形为平行四边形，则，在四边形中，可知，则，在中，由内角和定理得，故，则，同上可得，则，，而，故，设，则，则，此时，在中，由勾股定理得，而，则在中，由即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：延长交于点，连接，过点作，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在四边形中，可知， ∴， ∴在中，由内角和定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同上可得， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴在中，． 25．如图，在菱形中，， 为对角线． 点 E是边 延长线上的任意一点，连结交于点F， 平分交于点G． (1)求证： ． (2)若， ． ①求菱形的面积．      ②求的值． (3)若，当的大小发生变化时，在上找一点 T， 使 为定值，并求出此定值． 【答案】(1)见解析 (2)①24，② (3) 【分析】（1）由菱形的性质可证得 ，由平分交于点G，得到 ，进一步即可得到答案； （2）①连接交于点O，中求得，可得，由菱形的面积公式可得答案；②由 ，得到，，，又由，得到，则，再证明， ，，利用正切的定义得到答案； （3）过点G作 ，交于点T，有则，再证，得，由得，即可得到，为定值． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ， ∴，， ∴ ， ∵平分交于点G， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即菱形的面积是24． ②如图，连接，分别交、于点O、H， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （3）解：如图，过点G作 交于点T，此时． 理由如下：由题（1）可知，当的大小发生变化时，始终有 ， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴，为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于（ ） A．1 B． C． D．2 2．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的正切值为（　　） A．5 B． C． D． 4．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（   ）    A． B． C． D． 5．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（    ）          A． B． C． D． 6．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（    ） A．3 B． C．3.5 D．4 8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 9．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D．   二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，在中，，则的值是 ．    12．已知，为锐角，则 ． 13．计算： ． 14．在正方形网格中， 如图放置，则的值为 . 15．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 16．如图，在Rt中，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连结，则的最小值为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算：． 18．正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要，如图1是某学生的正确握笔姿势，其示意图如图2．笔杆与纸面所成的角α为53°，笔杆AB长20cm，求笔杆顶部离纸面竖直高度BC．（参考数据：，，）    19．中，，，，求边的长度． 20．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 21．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 22．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 23．如图，在中，，是的中点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．已知为的弦，连接，且． (1)如图，求证：平分； (2)如图，点为上一点，连接交于点E，若，作，垂足为，延长交于点，延长交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，若，求的值． 25．如图，在菱形中，， 为对角线． 点 E是边 延长线上的任意一点，连结交于点F， 平分交于点G． (1)求证： ． (2)若， ． ①求菱形的面积．      ②求的值． (3)若，当的大小发生变化时，在上找一点 T， 使 为定值，并求出此定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$