特训16 平方差与完全平方公式专项突破（六大题型分类通关）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训16 平方差与完全平方公式专项突破 【特训过关】 一、公式识别 1．下列各式中，为完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列多项式中是完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，能应用平方差公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 7．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 8．若是完全平方式，则常数k的值为　 　． 9．若是完全平方式，则k的值等于 　 　． 10．如果是一个完全平方式，那么常数m＝ 　 　． 11．若是完全平方式，则k＝　 　． 12．若关于x的代数式是完全平方式，则常数m＝ 　 　． 13．已知是一个完全平方式，则m的值为 　 　 14．如果是一个完全平方式，那么常数m＝　 　． 15．若多项式是一个完全平方式，则m＝ 　 　． 16．若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则m＝ 　 　． 二、公式基础运用 17．　 　． 18．计算：　 　． 19．计算：　 　． 20．如果（m、n都是常数），那么n的值是　 　． 21．若，则　 　． 22．若m与n互为倒数，则的值为 　 　． 23．计算：　 　． 24．在横线上填入适当的整式：（ 　 　）． 25．若，则的值是 　 　． 26．计算：　 　． 27．计算：． 28．计算：． 29．计算：． 30．计算：． 31．计算：． 32．化简：． 三、公式灵活运用 33．若，，则的值为（　　） A．57 B．21 C．45 D．33 34．已知，，则的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 35．已知，，则的值为（　　） A．9 B．16 C．19 D．25 36．已知，，则　 　． 37．计算：　 　． 38． [b﹣（ 　 　）][b+（ 　 　）]＝　 　． 39．计算　 　． 40．若，且，则　 　． 41．计算：　 　． 42．计算：　 　． 43．计算：　 　． 44．计算：　 　． 45．计算　 　． 46．计算：　 　． 47．计算　 　． 48．计算　 　． 49．用简便方法计算： （1）； （2）． 50．． 51．已知，， （1）求的值； （2）求代数式的值． 四、完全平方公式的变式 52．已知，，则的值为 　 　． 53．若，则的值为　 　． 54．若，，则　 　． 55．若，则　 　． 56．已知，则的值是 　 　． 57．已知：，则　 　． 58．已知． （1）求的值； （2）求的值． 59．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 五、公式的几何背景 60．如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 61．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 62．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（　　） A． B． C． D． 63．两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，，那 么阴影部分的面积是（　　） A．30 B．34 C．40 D．44 64．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形 （如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（　　） A． B． C． D． 65．如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形， 上述操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 66．如图1是一个长为宽为b的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形， 然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 　 　． 67．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如 图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分 的面积为 　 　． 68．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方 形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 　 　. 69．可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些恒等式，下列三个恒等式：①； ②；③，由图中空白部分的正方形面积的计算可验证的恒 等式是 　 　． 70．如图1，是一个长为，宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成 四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． （1）图1中的每个小长方形的面积为 　 　；图2中的中间空白部分的面积为 　 　； （2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为 　 　； （3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值． 71．如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分），观察图形，解答下 列问题： （1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：　 　，方法2：　 　；从中你发现什么结论呢？　 　； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②如图2，C是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 72．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 　 　（填序号）； （2）【应用】利用“平方差公式”计算：； （3）【拓展】计算：． 73．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形．（如 图2所示） （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 　 　（写成平方差的形式）． （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 　 　，长是 　 　，面积是 　 　．（写成多项式乘法形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 　 　． （4）请应用这个公式完成下列各题． ①已知，，则　 　． ②计算：． 六、公式的综合应用 74．已知，，其中m为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（　　） 嘉嘉：由已知条件可知． 淇淇：由已知条件可知． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 75．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如 （，．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之 和为（　　） A．2700 B．2701 C．2601 D．2600 76．已知多项式和（m、n为常数），以下结论正确的是（　　） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③若且，则； ④当时，一定有； ⑤若，且x，y为整数，则． A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．③④⑤ 77．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则的第三项的系数为　 　． 78．小明将展开后得到；小红将展开后得到 ，若两人计算过程无误，则的值是 　 　． 79．我们把形如（其中X是一个整式）的式子叫完全平方式，如就是一个完全平方式，设 多项式． （1）试将多项式A写成两个完全平方式和的形式； （2）令，写出a，b取值的所有可能的结果． 80．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在交谈．老人说：“我俩的年龄的平方 差是195…”，不等老人说完，青年人就说：“真巧，我俩年龄的平方差也是195”．这时，一对中年夫妇也 凑过来说：“真是巧极了，我俩年龄的平方差也是195”．现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少岁？如 果你有兴趣，不妨把第四对人的年龄也找出来． 81．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如， ，，则说明4，12，20都是神秘数． （1）28和2012是神秘数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为和（k为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？ （3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训16 平方差与完全平方公式专项突破 【特训过关】 一、公式识别 1．下列各式中，为完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：选项A中，不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故选项A错误； 选项B中，不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故选项B错误； 选项C中，符合完全平方式的特点，是完全平方式，故选项C正确； 选项D中，不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故选项D错误； 故选：C． 2．下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．不是完全平方式，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．不是完全平方式，所以C选项不符合题意； D．不是完全平方式，所以D选项不符合题意； 故选：B． 3．下列多项式中是完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意； B．，所以多项式是完全平方公式，故本选项符合题意； C．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意； D．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．下列各式中，能应用平方差公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：A．不符合平方差公式特征，不符合题意； B．，不符合平方差公式特征，不符合题意； C．，不符合平方差公式特征，不符合题意； D．符合平方差公式特征，符合题意； 故选：D． 5．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．可以用平方差公式分解因式，不符合题意； B．不可以用平方差公式分解因式，符合题意； C．可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D．可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 故选：B． 6．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C．，能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D．，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．，不可以用平方差公式计算，故选项A不符合题意； B．，可以用平方差公式计算，故选项B符合题意； C．，不可以用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D．，不可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意； 故选：B． 8．若是完全平方式，则常数k的值为　 　． 【答案】9． 【解析】解：根据题意可知，， ∴， ∴常数k的值为9． 故答案为：9． 9．若是完全平方式，则k的值等于 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如果是一个完全平方式，那么常数m＝ 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 11．若是完全平方式，则k＝　 　． 【答案】． 【解析】解：， 解得． 故答案为：． 12．若关于x的代数式是完全平方式，则常数m＝ 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∵是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知是一个完全平方式，则m的值为 　 　 【答案】4或． 【解析】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：4或． 14．如果是一个完全平方式，那么常数m＝　 　． 【答案】21或． 【解析】解：∵是一个完全平方式， ∴，即， ∴， 解得：或． 故答案为：21或． 15．若多项式是一个完全平方式，则m＝ 　 　． 【答案】1或． 【解析】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：1或． 16．若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则m＝ 　 　． 【答案】或18． 【解析】解：∵是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：或18． 二、公式基础运用 17．　 　． 【答案】． 【解析】解：， 故答案为：． 18．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：， 故答案为：． 19．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 20．如果（m、n都是常数），那么n的值是　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 21．若，则　 　． 【答案】12． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 22．若m与n互为倒数，则的值为 　 　． 【答案】4． 【解析】解：∵m与n互为倒数， ∴， ∴． 故答案为：4． 23．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 24．在横线上填入适当的整式：（ 　 　）． 【答案】． 【解析】解：， 故答案为：． 25．若，则的值是 　 　． 【答案】1． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 26．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：， 故答案为：． 27．计算：． 【答案】． 【解析】解：． 28．计算：． 【答案】． 【解析】解：． 29．计算：． 【答案】． 【解析】解： ． 30．计算：． 【答案】． 【解析】解：原式． 31．计算：． 【答案】． 【解析】 解：原式． 32．化简：． 【答案】． 【解析】解：． 三、公式灵活运用 33．若，，则的值为（　　） A．57 B．21 C．45 D．33 【答案】C． 【解析】解：， ∵，， ∴原式． 故选：C． 34．已知，，则的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 35．已知，，则的值为（　　） A．9 B．16 C．19 D．25 【答案】C． 【解析】解：∵，， ∴． 故选：C． 36．已知，，则　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 37．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 38． [b﹣（ 　 　）][b+（ 　 　）]＝　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 39．计算　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 40．若，且，则　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∵， ∴． 41．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解： ， 故答案为：． 42．计算：　 　． 【答案】39996． 【解析】 故答案为：39996． 43．计算：　 　． 【答案】1． 【解析】解：， 故答案为：1． 44．计算：　 　． 【答案】9． 【解析】解：原式＝． 故答案为：9． 45．计算　 　． 【答案】1． 【解析】解：， 故答案为：1． 46．计算：　 　． 【答案】2． 【解析】解： ＝2． 故答案为：2． 47．计算　 　． 【答案】． 【解析】解： ． 故答案为：． 48．计算　 　． 【答案】． 【解析】解：将代入可得： ． 故答案为：． 49．用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8099；（2）400． 【解析】解：（1）原式； （2）原式． 50．． 【答案】． 【解析】解：设 ∴． 51．已知，， （1）求的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）20；（2）20． 【解析】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2） ， ， 又∵， ∴原式． 四、完全平方公式的变式 52．已知，，则的值为 　 　． 【答案】17． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：17． 53．若，则的值为　 　． 【答案】13． 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴． 54．若，，则　 　． 【答案】． 【解析】解：， ①+②得：， ∴， ∴． 故答案为：． 55．若，则　 　． 【答案】49． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：49． 56．已知，则的值是 　 　． 【答案】16． 【解析】解：设， ∵， ∴， 即， 解得， 即的值为16． 故答案为：16． 57．已知：，则　 　． 【答案】7． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 58．已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）18；（2）5． 【解析】解：（1）根据条件可知，即， ∴， 即， ∴； （2）∵， ∴． 59．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）5；（2）1． 【解析】解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 五、公式的几何背景 60．如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：根据题意可知，大正方形的面积为：， 又∵大正方形的面积＝两个长方形面积+两个正方形的面积， 故大正方形的面积为：， ∴． 故选：B． 61．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A． 【解析】解：由图形中各个部分面积之间的关系可得， 故选：A． 62．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：∵由选项A可得， ∴选项A不符合题意； ∵由选项B可得， ∴选项B不符合题意； ∵由选项C可得． ∴选项C不符合题意； ∵由选项D可得， ∴选项D符合题意； 故选：D． 63．两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，，那 么阴影部分的面积是（　　） A．30 B．34 C．40 D．44 【答案】A． 【解析】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分的面积 故选：A． 64．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形 （如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 65．如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形， 上述操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：由图1可知剩余部分的面积为：， 由图2可求长方形的面积为：， ∴， 故选：C． 66．如图1是一个长为宽为b的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形， 然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵图2中小正方形的边长为， ∴， ∵图2中大正方形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：． 67．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如 图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分 的面积为 　 　． 【答案】6． 【解析】解：如图，设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵，两个正方形面积之和为13， ∴即，， ． 故答案为：6． 68．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方 形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 　 　. 【答案】． 【解析】解：由题意得可得拼成长方形的长为， 宽为， 又已知拼成的长方形的一边长为， 所以另一边长为， 故答案为：． 69．可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些恒等式，下列三个恒等式：①； ②；③，由图中空白部分的正方形面积的计算可验证的恒 等式是 　 　． 【答案】③． 【解析】解：图形中空白部分是边长为的正方形，因此面积为， 空白部分也可以看作从边长为a的大正方形中剪去两个长为a，宽为b的长方形，再加上边长为b的小正方形，因此， 所以有， 故答案为：③． 70．如图1，是一个长为，宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成 四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． （1）图1中的每个小长方形的面积为 　 　；图2中的中间空白部分的面积为 　 　； （2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为 　 　； （3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】解：（1）由题意得，图1中的每个小长方形的面积是； 图2中间空白的部分的面积是． 故答案为：，； （2）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：． 故答案为：； （3）由（2）题关系式可得， ， ∴， 即的值是． 71．如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分），观察图形，解答下 列问题： （1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：　 　，方法2：　 　；从中你发现什么结论呢？　 　； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②如图2，C是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1），，；（2）①；②12． 【解析】解：（1）根据题意可知，方法1：阴影部分面积是边长为a的正方形面积和边长为b的正方形面积之和， ∴； 方法2：阴影部分面积＝边长为的正方形面积﹣长为a，宽为b的长方形面积， ∴． 又∵两种方式表示的阴影部分面积是相等的：． 故答案为：，，； （2）①设，， 则，， 根据（1）可知：，即， ∴， 即； ②设，， ∵，， 联立方程组可得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 72．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 　 　（填序号）； （2）【应用】利用“平方差公式”计算：； （3）【拓展】计算：． 【答案】（1）①②③；（2）1；（3）． 【解析】解：（1）图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2）； （3） ． 73．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形．（如 图2所示） （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 　 　（写成平方差的形式）． （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 　 　，长是 　 　，面积是 　 　．（写成多项式乘法形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 　 　． （4）请应用这个公式完成下列各题． ①已知，，则　 　． ②计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①3②． 【解析】解：（1）阴影部分的面积是：； 故答案为：； （2）由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 故答案为：，，； （3）由题意，得：； 故答案为：； （4）①由，可知：， ∵，， ∴； 故答案为：3； ②原式 ． 六、公式的综合应用 74．已知，，其中m为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（　　） 嘉嘉：由已知条件可知． 淇淇：由已知条件可知． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】B． 【解析】解：∵，，m为正整数， ∴， ∴， ∴，与不相符，故嘉嘉判断错误； ∵，，m为正整数， ∴，， ∵， ∴，符合，故淇淇判断正确． 故选：B． 75．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如 （，．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之 和为（　　） A．2700 B．2701 C．2601 D．2600 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为： ， 故选：D． 76．已知多项式和（m、n为常数），以下结论正确的是（　　） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③若且，则； ④当时，一定有； ⑤若，且x，y为整数，则． A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．③④⑤ 【答案】B． 【解析】解：①当且时， ， ∴①的结论正确； ②当时， ， ∴所得的结果中不含一次项， ∴②的结论正确； ③若且， 则， ∴，， ∴③的结论不正确； ④当时， ， 由于不能确定的符号，所以的符号不确定， ∴不一定成立， ∴④的结论不正确； ⑤∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴或． ∴． ∴⑤的结论正确． 故选：B． 77．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则的第三项的系数为　 　． 【答案】15． 【解析】解：由题意可得：， 则的第三项的系数为：15． 故答案为：15． 78．小明将展开后得到；小红将展开后得到 ，若两人计算过程无误，则的值是 　 　． 【答案】4041． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4041． 79．我们把形如（其中X是一个整式）的式子叫完全平方式，如就是一个完全平方式，设 多项式． （1）试将多项式A写成两个完全平方式和的形式； （2）令，写出a，b取值的所有可能的结果． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】解：（1） ． （2）， 所以， 解得：或． 80．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在交谈．老人说：“我俩的年龄的平方 差是195…”，不等老人说完，青年人就说：“真巧，我俩年龄的平方差也是195”．这时，一对中年夫妇也 凑过来说：“真是巧极了，我俩年龄的平方差也是195”．现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少岁？如 果你有兴趣，不妨把第四对人的年龄也找出来． 【答案】见解析． 【解析】解：设两人的年龄是x，y， 则 即 把195分解因数可知： 那么 解得，， ∴两位老人年龄97岁，98岁； ∵ ∴ 解得，， ∴两位青年人的年龄是22岁，17岁； ∵ ∴ 解得，， ∴中年夫妇的年龄是31岁，34岁； ∵ ∴ 解得， ∴第四对人的年龄是1岁和14岁． 81．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如， ，，则说明4，12，20都是神秘数． （1）28和2012是神秘数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为和（k为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？ （3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么？ 【答案】（1）28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数；（3）两个连续的奇数的平方差不是神秘数，理由见解析． 【解析】解：（1）∵，， ∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”； （2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下： ， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数， ∵是奇数， ∴它是4的倍数，不是8的倍数； （3）设两个连续的奇数为：，，则 ， 此数是8的倍数，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数， 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$