专题04 运动的合成与分解、抛体运动规律（考点串讲）-2024-2025学年高一物理上学期期末考点大串讲（人教版2019必修第一册）

专题04 运动的合成与分解、抛体运动规律 高一物理上学期·期末复习大串讲 知识串讲 方法模型归纳 巩固提升 人教版 知识串讲 01 一.曲线运动的速度方向 1．切线 如图所示，当B点非常接近A点时，这条割线就叫作曲线在A点的切线． 切线 2．速度方向 沿曲线在这一点的________方向． 3．运动性质 速度方向时刻在________，曲线运动一定是________运动． 改变 变速 知识串讲 01 二.物体做曲线运动的条件 1．动力学角度 当物体所受合力的方向与它的速度方向________________时，物体做曲线运动． 2．运动学角度 当物体加速度的方向与速度的方向_________________时，物体做曲线运动． 不在同一直线上 不在同一直线上 知识串讲 01 三.一个平面运动的实例 1．实验装置和步骤 (1)在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡块做的小圆柱体R，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲). (2)将玻璃管倒置(图乙)，蜡块沿玻璃管匀速上升. (3)将玻璃管上下颠倒，在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动，以黑板为参照物观察蜡块的运动(图丙). 注意：蜡块相对于黑板的运动为合运动，蜡块沿玻璃管匀速上升和沿水平方向向右匀速移动为两个分运动． 知识串讲 01 2．蜡块的位置、轨迹和速度 (1)蜡块的位置． ①坐标系的建立：以运动_____时蜡块的位置为原点，以_________的方向为x轴的正方向，以____________的方向为y轴的正方向． ②位置坐标：将玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，vx、vy都不随时间变化，是常量．在时刻t，蜡块的位置可用它的两个坐标x、y表示：x＝_____，y＝_____． 开始 水平向右 竖直向上 vxt vyt 知识串讲 01 (2)蜡块运动的轨迹． ①轨迹方程：y＝________． ②几何性质：蜡块相对于黑板的运动轨迹是________． (3)蜡块的速度． ①大小：v＝___________． ②方向：v与x轴正方向的夹角为θ，则 tan θ＝________. 直线 知识串讲 01 四.运动的合成与分解 1．合运动与分运动 如果一个物体同时参与______运动，那么物体实际发生的运动就叫作那几个运动的_________.那几个运动就叫作这个实际运动的_______. 2．运动的合成与分解的定义 (1)运动的合成：由________求________的过程． (2)运动的分解：由________求________的过程． 几个 合运动 分运动 分运动 合运动 合运动 分运动 知识串讲 01 3．运动合成与分解遵从的法则 不在同一直线上，按照____________定则进行合成或分解，如图所示． 平行四边形 知识串讲 01 gt 知识串讲 01 知识串讲 01 知识串讲 01 抛物线 知识串讲 01 实验：探究平抛运动的特点 一、实验目的 1．描出平抛运动物体的轨迹． 2．探究平抛运动水平方向和竖直方向的分运动特点． 二、实验思路 将平抛运动分解为水平方向和竖直方向的两个分运动，先运用平抛竖落仪探究竖直分运动的特点，再通过分析相同时间内水平分运动的位移，确定水平分运动的特点． 知识串讲 01 三、实验器材 1．平抛竖落仪． 2．斜槽(带小球)、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、重垂线、三角板、铅笔、刻度尺． 知识串讲 01 四、实验步骤 探究1　探究平抛运动竖直分运动的特点 (1)用小锤击打弹性金属片，A球水平抛出，B球自由落下． (2)观察两球的运动轨迹并比较两球落地时间．若只听到一次声响，说明两球同时落地． (3)改变高度和打击力度，多次重复进行实验． (4)分析实验现象得出结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动． 知识串讲 01 探究2　探究平抛运动水平分运动的特点 (1)按图甲所示安装实验装置，使小球在斜槽末端点恰好静止． (2)以水平槽末端端口上小球球心位置为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴． (3)使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点． 知识串讲 01 (6)分析得出结论：平抛运动的水平分运动是匀速直线运动． (7)结论：平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合运动． (4)将白纸从木板上取下，从O点开始通过画出的若干点描出一条平滑的曲线，如图乙所示． (5)利用竖直方向自由落体运动相同时间位移比为1∶3∶5，确定相等的时间间隔，看水平分运动的位移． 知识串讲 01 五、数据处理 1．判断平抛运动的轨迹是否为抛物线：在x轴上作出等距离的几个点A1、A2、A3…向下作垂线，垂线与抛体轨迹的交点记为M1、M2、M3…用刻度尺测量各点的坐标(x，y). (1)代数计算法：将某点(如M3点)的坐标(x，y)代入y＝ax2求出常数a，再将其他点的坐标代入此关系式看看等式是否成立，若等式对各点的坐标都近似成立，则说明描绘得出的曲线为抛物线． (2)图像法：建立y－x2坐标系，根据所测量的各个点的x坐标值计算出对应的x2值，在坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，若大致在一条直线上，则说明平抛运动的轨迹是抛物线． 知识串讲 01 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 B 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 变式1　如图中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水，图中与入水速度方向可能相同的位置是 (　　) A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】B 方法模型归纳 02 二.物体做曲线运动的条件 1．物体做曲线运动的条件 (1)动力学条件：合力方向与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含三个层次的内容． ①初速度不为零； ②合力不为零； ③合力方向与速度方向不共线． (2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线． 方法模型归纳 02 2．物体的运动与合力的关系 (1)合外力方向与物体的速度方向在同一条直线上时，物体做加速直线运动或减速直线运动． (2)合外力方向与物体的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． 3．合力方向与速率变化的关系 方法模型归纳 02 (2)判断受力方向：做曲线运动的物体，运动轨迹必定在速度方向和所受合力方向之间，且合力方向(或加速度方向)一定指向轨迹的凹侧． (3)判断轨迹弯曲的方向：做曲线运动的物体，其轨迹向合力所指的方向弯曲．如图所示，抛出的石子(不计阻力)在空中运动的轨迹(图甲)，卫星绕地球运行的部分轨迹(图乙). 方法模型归纳 02 【答案】C 方法模型归纳 02 变式2.(2023年佛山一中月考)在卡塔尔世界杯赛场上，阿根廷的一位球星在球场上的完美表现圆了全世界球迷的球王梦，在足球场上与队员的配合中带球射门时，球星踢出的足球，在飞行中绕过对方球员转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示．关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是 (　　) 方法模型归纳 02 A．合外力的方向与速度方向不在一条直线上 B．合外力的方向与速度方向在一条直线上 C．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧 D．合外力的方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向 【答案】A 方法模型归纳 02 三.互成角度的两个直线分运动的合成 1．合运动与分运动 如果物体同时参与了几个运动，物体实际发生的运动就是合运动，参与的那几个运动就是分运动． 2．运动的合成与分解 (1)运动的合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则． (2)运动的合成与分解的方法：在遵循平行四边形定则的前提下，灵活采用作图法分析，可以借鉴力的合成和分解的知识，具体问题具体分析. 方法模型归纳 02 3．互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 独立性 不同方向上的分运动互不干扰 等时性 同时开始，同时结束，经历相等的时间 等效性 等效替代(可类比分力与合力的关系来理解)，简化问题 同体性 合运动与分运动是对同一物体而言的 4．合运动与分运动的关系 方法模型归纳 02 【答案】C 方法模型归纳 02 变式3.　(多选)(2023年潮州阶段检测)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升飞机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是 (　　) A．水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．水平风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与水平风力无关 D．运动员着地速度与水平风力无关 【答案】BC 方法模型归纳 02 四.小船渡河问题 1．小船渡河问题分析思路 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 例4.(2023年清远期末)小船曾是人们过河的主要工具．如图所示，已知河的两岸平行，宽度为d，河水以大小为v1的速度匀速流动，小船在静水中的速度大小为v2，且v2>v1，下列说法正确的是 (　　) A．要使小船渡河的位移最小，渡河时小船的船头应垂直河岸 B．要使小船渡河的时间最短，小船的船头应与河岸成一定夹角(小于90°) 【答案】C 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 五.“关联”速度的分解 1．“关联”速度 在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度可能是不一样的，但两端点的速度是有关联的，我们称之为“关联”速度． 2．关联速度问题核心特点 绳(杆)物关联问题：两物体通过绳(杆)相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳(杆)的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度大小是相等的． 方法模型归纳 02 3．思路及常见模型 (1)分析思路． 方法模型归纳 02 (2)常见模型． 方法模型归纳 02 【答案】C 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 【答案】C 方法模型归纳 02 六.平抛运动的规律及应用 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 例6.(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的(不计空气阻力)，则 (　　) A．a的飞行时间比b的长 B．b和c的飞行时间相同 C．a的初速度比b的小 D．b的初速度比c的大 【答案】BD 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 七.与斜面有关的平抛运动 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 【答案】B 方法模型归纳 02 【答案】D 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 【答案】ABD 方法模型归纳 02 变式9.(多选)(2023年惠州中学段考)某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等．若运动员的重心轨迹看作不计阻力的斜抛运动曲线，A、B 、C和D表示重心位置，且A和D 处于同一水平高度．下列说法正确的是(　　) A．运动员最高位置在B点处 B．运动员从A到B和从B到C竖直高度比为H1∶H2＝15∶1 C．运动员做匀变速曲线运动 D．运动员在C点时速度为零 【答案】BC 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 【答案】D 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 方法模型归纳 02 巩固提升 03 1．(2023年惠州一中段考)一个物体在F1、F2、F3三个力的共同作用下在光滑的水平面上做匀速直线运动，速度方向与F1方向相同，如图所示，关于该物体的运动，下列说法正确的是 (　　) A．若突然撤去F1，物体将做曲线运动 B．若突然撤去F1，物体将做匀加速直线运动 C．若突然撤去F2，物体将做曲线运动 D．若突然撤去F2和F3，物体将做曲线运动 【答案】C 巩固提升 03 2.如图中套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于同一水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则 (　　) A．v2＝v1 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0 【答案】D 巩固提升 03 3．(2023年茂名一中期末)某质点在Oxy平面上运动t＝0时，质点位于y轴上．它在x轴方向运动的速度－时间图像如图甲所示，它在y轴方向运动的位移－时间图像如图乙所示．有关该质点的运动情况，下列说法正确的是 (　　) A．质点沿x轴正方向做匀速直线运动 B．质点沿y轴正方向做匀速直线运动 【答案】D 巩固提升 03 4.(2022年茂名电白一中期末)如图所示，窗户上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗户上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g取10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s 【答案】B 巩固提升 03 A．在空中做匀变速曲线运动 B．在水平方向做匀加速直线运动 C．在网的右侧运动的时间是左侧的2倍 D．击球点的高度是网高的2倍 【答案】AC 巩固提升 03 【答案】B 巩固提升 03 7.(多选)(2023年广州荔湾期末)北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”，如图所示．现有甲、乙两名运动员(均视为质点)从出发区先后沿水平方向向左腾空飞出，其速度大小之比为v甲∶v乙＝2∶1 ，不计空气阻力，则甲、乙两名运动员从飞出至落到着陆坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是 (　　) 巩固提升 03 A．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向相同 B．甲、乙落到坡面上的瞬时速度大小相等 C．甲、乙在空中飞行的时间之比为t甲∶t乙＝2∶1 D．甲、乙在空中飞行的水平位移之比为x甲∶x乙＝2∶1 【答案】AC 巩固提升 03 8.小芳和小强两位同学采用了不同的实验方案来研究平抛运动． (1)小芳同学利用如图甲所示的装置进行实验．下列说法正确的是________． A．应使小球每次从斜槽上同一位置由静止 释放 B．斜槽轨道必须光滑 C．斜槽轨道的末端必须保持水平 D．本实验必需的器材，还有刻度尺和停表 甲 巩固提升 03 (2)小强同学利用频闪照相的方式研究平抛运动．如图乙为一小球做平抛运动的频闪照片的一部分．图中背景方格的边长均为5.0 cm，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.则照相机两次闪光的时间间隔Δt＝______s，小球被抛出时的水平速度v＝______m/s.(结果均保留两位有效数字) 巩固提升 03 解：(1)为使小球做平抛运动的初速度相等，应使小球每次从斜槽上同一位置由静止释放，A正确；只要每次把小球从轨道同一位置由静止释放即可保证小球的初速度相等，斜槽轨道没有必要光滑，B错误；为使小球离开斜槽后做平抛运动，斜槽轨道的末端必须保持水平，C正确；本实验不需要用秒表测量时间，D错误． 巩固提升 03 9.(2023年江门外海中学期中) 如图所示，将一个小球从h＝20 m高处水平抛出，小球落到地面的位置与抛出点的水平距离x＝40 m.g取10 m/s2，不计空气阻力．求： (1)小球在空中运动的时间； (2)小球抛出时速度的大小； (3)小球落地前的瞬时速度大小和方向． 巩固提升 03 课堂小结 五.平抛运动的速度 将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为： 1．水平方向：vx＝__。 2．竖直方向：vy＝__。 v0 3．合速度 六.平抛运动的位移与轨迹 将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为： 1．水平方向：x＝___。 2．竖直方向：y＝_____。 3．合位移 v0t eq \f(1,2)gt2 4．轨迹：由水平方向x＝v0t，解出t＝eq \f(x,v0)，代入y＝eq \f(1,2)gt2得________，平抛运动的轨迹是一条______。 y＝eq \f(g,2v\o\al( 2,0))x2 测量值 A B C D E F x/m y/m v0＝x/(m·s-1) v0的平均值 一.曲线运动的性质与特点 1．曲线运动的速度。 (1)质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致(如图所示)，故其速度的方向时刻改变。 (2)物体做曲线运动时，运动方向不断变化，即速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。 2．曲线运动的性质及分类。 (1)性质：速度是矢量，由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动一定是变速运动。 (2)分类。 例1.翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法中正确的是(　　) A．过A点时的速度方向沿AB方向 B．过B点时的速度方向沿水平方向 C．过A、C两点时的速度方向相同 D．在圆形轨道上与过M点时速度方向相同的点在AB段上 A．过A点时的速度方向沿AB方向 B．过B点时的速度方向沿水平方向 C．过A、C两点时的速度方向相同 D．在圆形轨道上与过M点时速度方向相同的点在AB段上 例2.一辆汽车在水平公路上减速转弯，沿曲线由M向N行驶。下列各图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的方向，可能正确的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　D 分运动 合运动 矢量图 条件 两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角 两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0 分运动 合运动 矢量图 条件 两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同 匀变速曲线运动 a与v成α角 例3.如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮。当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向的夹角为30°。玻璃管水平方向的移动速度为(　　) A．0.1 m/s　　　　　　 B．0.2 m/s C．0.17 m/s D．无法确定 情况 图示 说明 渡河位移最短 v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最短(等于河宽d)，对应渡河时间t＝ 渡河位移最短 v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短，此时船头与河岸夹角为－θ，最短渡河位移smin＝＝ 情况 图示 说明 渡河船速最小 在水流速度v水和船的航行方向(v合方向)确定的前提下，当船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ 变式4.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s。船在静水中的速度为v2＝5 m/s，问： (1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ [解析]　欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为 甲 v2＝5 m/s。 t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s， v合＝eq \r(v\o\al( 2,1)＋v\o\al( 2,2))＝eq \f(5,2) eq \r(5) m/s， x＝v合t＝90eq \r(5) m。 [解析]　欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。 如图乙所示，由v2sin α＝v1得α＝30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短。 乙 x＝d＝180 m， t＝eq \f(d,v′⊥)＝eq \f(d,v2cos 30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s。　 例5.如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1<m2。若将m2从位置A由静止释放，当落到位置B时，m2的速度为v2，且绳子与竖直方向的夹角为θ，则此时m1的速度大小v1等于(　　) A．v2sin θ B．eq \f(v2,sin θ) C．v2cos θ D．eq \f(v2,cos θ) 变式5.图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接活塞A，另一端与曲柄上B点相连，活塞A沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时(　　) 甲　　　　乙 A．vAcos θ＝vB　　　 B．vBcos θ＝vA C．vA＝vB D．vAsin θ＝vB 项目 水平分运动(匀速直线) 竖直分运动(自由落体) 合运动(平抛运动) 速度 vx＝v0 vy＝gt v＝ tan θ＝ 位移 x＝v0t y＝gt2 s＝ tan α＝ 项目 水平分运动(匀速直线) 竖直分运动(自由落体) 合运动(平抛运动) 加速度 ax＝0 ay＝g a＝g 方向：竖直向下 合成、分解图示 3．平抛运动的两个推论 (1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. 变式6．投壶是我国古代的一种民间游戏，据《礼记·投壶》记载，以盛酒的壶口作标的，在一定的距离内投箭矢，以投入多少计筹决胜负，负者罚酒。儒家所奉行的“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”，而投壶就来自这六艺之一。现在有甲、乙两人进行投壶的游戏，为简化起见，将箭矢视为质点球，并且不计空气阻力，不计壶 的高度。甲从离地面高hA＝1.25 m的A点以初速度v0A＝4 m/s水平抛出，质点球正好落在壶口C点。乙从离地面高hB＝0.8 m的B点水平抛出质点球，如果也要使质点球落到壶口C，初速度v0B应该是多大？(已知重力加速度g＝10 m/s2) [解析]　甲抛出的球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有 hA＝eq \f(1,2)gteq \o\al( 2,A)， 水平方向做匀速直线运动，有x＝v0A·tA， 联立解得x＝2 m， 乙抛出的球做平抛运动，同理有 hB＝eq \f(1,2)gteq \o\al( 2,B)， x＝v0B·tB， 联立解得：v0B＝5 m/s。 1．两类与斜面相关的平抛运动。 (1)常见的有两类问题： ①物体从斜面上某一点抛出以后又重新落到斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。 ②做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。 (2)基本求解思路。 题干信息 实例 处理方法或思路 速度方向 垂直打在斜面上的平抛运动 (1)画速度分解图，确定速度与竖直方向的夹角 (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy (3)根据tan θ＝eq \f(vy,vx)列方程求解 题干信息 实例 处理方法或思路 位移方向 从斜面上水平抛出后又落在斜面上的平抛运动 (1)确定位移与水平方向的夹角α，画位移分解图 (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y (3)根据tan α＝eq \f(y,x)列方程求解 例7.如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A．小球空中运动时间为eq \f(v0,gtan θ) B．小球的水平位移大小为eq \f(2v\o\al( 2,0),gtan θ) C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解 D．小球的竖直位移大小为eq \f(v\o\al( 2,0),gtan θ) 例8.如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以水平速度v0抛出一小球，经过时间t0恰好落在斜面底端，速度是v，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时间大于t0 B．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时间小于t0 C．若以速度eq \f(v0,2)水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v成eq \f(θ,2)角 D．若以速度eq \f(v0,2)水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v同向 八.一般抛体运动的规律 1．一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处 理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。 2．斜抛运动的规律： (1)速度规律。 水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。 竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。 t时刻的速度大小为v＝eq \r(v\o\al( 2,x)＋v\o\al( 2,y))。 (2)位移规律。 水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。 竖直位移：y＝v0tsin θ－eq \f(1,2)gt2。 t时间内的位移大小为s＝eq \r(x2＋y2)，与水平方向成α角，且tan α＝eq \f(y,x)。 3．射高和射程： (1)斜抛运动的飞行时间： t＝eq \f(2v0y,g)＝eq \f(2v0sin θ,g)。 (2)射高：h＝eq \f(v\o\al( 2,0y),2g)＝eq \f(v\o\al( 2,0)sin2θ,2g)。 (3)射程：s＝v0cos θ·t＝eq \f(2v\o\al( 2,0)sin θcos θ,g)＝eq \f(v\o\al( 2,0)sin 2θ,g)，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝eq \f(v\o\al( 2,0),g)。 例9．(多选)运动员在同一位置分别沿与水平地面成30°和60°角的方向踢出一只橄榄球，两次球落在同一地点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则橄榄球(　　) A．两次运动的位移相等 B．沿轨迹①运动的时间长 C．在最高点时沿轨迹②运动的速度小 D．两次的最高点位置一定在同一竖直线上 九.平抛中的临界、极值问题 求解平抛运动临界问题的一般思路： (1)确定临界状态； (2)找出临界状态对应的临界条件； (3)分解速度或位移； (4)若有必要，画出临界轨迹。 平抛运动临界、极值问题的常见特点 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。 例10.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　) A．eq \f(L1,2) eq \r(\f(g,6h))＜v＜L1eq \r(\f(g,6h)) B．eq \f(L1,4) eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \r(\f(4L\o\al( 2,1)＋L\o\al( 2,2)g,6h)) C．eq \f(L1,2) eq \r(\f(g,6h))＜v＜eq \f(1,2)eq \r(\f(4L\o\al( 2,1)＋L\o\al( 2,2)g,6h)) D．eq \f(L1,4) eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \f(1,2)eq \r(\f(4L\o\al( 2,1)＋L\o\al( 2,2)g,6h)) 变式10.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m 远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2) (1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？ (2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。 [解析]　(1)如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝eq \f(1,2)gt2可得，当排球恰不触网时有 x1＝3 m，x1＝v1t1　① h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝eq \f(1,2)gteq \o\al( 2,1)，② 由①②可得v1＝3eq \r(10) m/s。 当排球恰不出界时有 x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2，③ h2＝2.5 m，h2＝eq \f(1,2)gteq \o\al( 2,2)，④ 由③④可得v2＝12eq \r(2) m/s。 所以排球既不触网也不出界的速度范围是3eq \r(10) m/s＜v0≤12eq \r(2) m/s。 (2)如图所示为排球恰不触网也不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有 x1＝3 m，x1＝v0t′1，⑤ h′1＝h－2 m，h′1＝eq \f(1,2)gt′eq \o\al( 2,1)，⑥ x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t′2，⑦ h′2＝h＝eq \f(1,2)gt′eq \o\al( 2,2)，⑧ 由⑤⑥⑦⑧式可得，所求高度h＝eq \f(32,15) m。 [答案]　(1)3eq \r(10) m/s＜v0≤12eq \r(2) m/s (2)eq \f(32,15) m 实验：探究平抛运动的特点 例11.用如图甲所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 甲 乙 (1)下列实验条件必须满足的有________。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末段水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 (2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。 a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________(选填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时________(选填“需要”或“不需要”)y轴与重垂线平行。 (2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。 a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________(选填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时________(选填“需要”或“不需要”)y轴与重垂线平行。 b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图乙所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则eq \f(y1,y2)____eq \f(1,3)(选填“大于”“等于”或“小于”)。可求得钢球平抛的初速度v0大小为________(已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示)。 (3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是________。　 A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹 B．用频闪照相法在同一底片上记录平抛钢球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹 C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹 [答案]　a．球心　需要　b．大于　xeq \r(\f(g,y2－y1)) 　AB 变式11.(1)在“研究平抛物体的运动”的实验中，为减小空气阻力对小球的影响，选择小球时，应选择下列的________。 A．实心小铁球　　　 B．空心铁球 C．实心小木球 D．以上三种球都可以 (2)在研究平抛运动的实验中，斜槽末端要__________，且要求小球要从________________释放，现用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格边长L＝2.5 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图所示，小球由A到B位置的时间间隔为________s，小球平抛的初速度大小为______m/s。小球在B点的速度为______m/s。 [答案]　切线水平　同一位置无初速度　0.05　1　1.25 $$