专题18 平行线的证明压轴题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版）

专题18 平行线的证明压轴题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 平行的证明压轴题定值问题】 1 【题型2 平行的证明压轴题存在性问题】 24 【题型3 探究两角间的数量关系】 48 【题型4 探究多角间的数量关系】 65 【题型1 平行的证明压轴题定值问题】 1．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②； 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 故答案为：；． 2．如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 【答案】(1)60 (2)，理由见解析 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1），得到，，，得到，，角的和差关系，得到，角平分线得到，再利用三角形的内角和定理，求解即可； （2）先证明，得到，得到，得到，平分，得到，即可得出结论； （3）根据（2）的结论以及已知条件，分别求出，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：60； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）是定值： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知，连结和交于点． (1)求证：； (2)如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)①， ②是定值，定值为 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可证明． （2）①根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合题意，即可得出，． ②根据平行线的性质可得，即，因为，∴，结合，，可得，代入中，得是定值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①解：∵，，， ∴， 即． ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即． 故，． ②解：是定值． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是定值． 4．已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 5．已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足．    (1)如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)点E，F在射线上，连接，，满足． ①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值； ②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值． 【答案】(1)补图见解析， (2)①；②m的值为或或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）利用平行线的性质，利用三角形外角的性质求出，即可求解； （2）①设，则可求，，，，，，进而求出 则，即时，，即可求解； ②分点O在线段、线段的延长线讨论，然后画出符合题意的图形，利用平行线的性质，三角形内角和定理等求解即可． 【详解】（1）解：补图如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，， ∴当时，恒为定值； ②当O在线段时，若，如图，    ∵，，， ∴，， 由①知：， ∴， 解得； 当O在线段时，若，如图，    ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当O在线段延长线时，若，如图， 则 ∵， 又， ∴ ∴， 解得； 当O在线段延长线时，若，如图，    ∴， ∴， 解得， 综上，m的值为或或． 6．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 7．如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数是定值； (3)． 【分析】（1）如图，过作，过作，证明，证明，，从而可得答案； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再利用角的和差运算可得结论； （3）如图，∵平分，平分，可得，，由三角形的内角和定理可得 ，结合（2）得：，从而可得． 【详解】（1）解：如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，是定值，理由如下： 如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵由（2）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 8．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 9．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)定值为；理由见详解； (3)； 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点作，由此可得，进而可得出结论； （3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则． 【详解】（1）解：如图标出， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：定值为：，理由如下： 过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 过点作， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． 10．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．     (1)如图1，则的度数为 （用含的式子表示）； (2)在图1中连接，请用无刻度的直尺和圆规在射线上找一点F，使得（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的条件下，点G是射线上的一点， ①若，且，连接，若中有两个相等的角，直接写出的度数； ②连接，若，于点G，，是否存在常数k，使为定值，若不存在，请说明理由；若存在，求出k的值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①的度数为或或或；②存在，当时，，为定值； 【分析】 （1）如图所示，过点作，则，根据平行线的性质得到，，则； （2）根据尺规作图的方法作出的平行线，交于点F； （3）①先求得，再分四种情况讨论，利用三角形的外角性质或三角形的内角和定理结合等腰三角形的性质即可求解； ②分当在左侧时，当在右侧时，两种情况先根据平行线的性质得到，，进而得到，再由，得到，可得进而求出，据此可得答案． 【详解】（1） 解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ，， ； 故答案为：； （2）解：所作图形如图所示， ； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， 如图，时，； 如图，； 如图，时，； 如图，时，； 综上，的度数为或或或； ②如图所示，当在左侧时， ∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时不存在常数使得为定值； 如图所示，当在右侧时， 同理可得， 当，即时，，为定值； 综上所述，存在时，，为定值． 【题型2 平行的证明压轴题存在性问题】 11．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 (3)当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义： （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②由平行线的性质得，由角平分线定义得，，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （3）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴,， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵射线分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由如下： ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 12．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）34；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： 直线， ∴， ，， ， ， ，， ， 故答案为：34． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 13．如图，已知直线，，点E，F在上，且满，平分．    (1)直线与有何位置关系？请说明理由； (2)求的度数； (3)若左右平移，在平移的过程中， ①求与的数量关系 ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)①；②存在， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）由已知平行，得到，推出，即可得出结论； （2）平行得到，根据，平分，得到，即可得出结果； （3）①平行，得到，，根据，，即可得出结论； ②设，根据平行线的性质得到，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵； ∴， ∵，平分， ∴； （3）①∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ②存在，理由如下： 设． ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 当时：， ∴ ∴，即． 14．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；理由见解析 (3)② 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：过点P作，根据平行线性质可得，然后再证明，进而证明结论； （2）如图：过点P作，根据平行线的性质可得、，然后再利用角的和差即可解答； （3）如图：当点P在①区域时，过点P作，先证明，再根据平行线的性质可得，由三角形外角和定理可得，然后根据等量代换即可判定区域①；同理判定区域②③④⑤⑥即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；，理由如下： 如图：过点P作， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵ ， ∴当动点落在区域③时，，，三角满足时，有． （3）解：如图：当点P在①区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在①区域时不符合题意； 同理：可判定点P在③④⑤⑥区域时不符合题意； 当点P在②区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在②区域时符合题意； 综上，点P在②区域时存在． 故答案为：②． 15．如图1，已知，且，，，若．    (1)求的度数； (2)求证：； (3)若平面内存在一点M，使，直线与直线交于点M，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的度数是或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质解答即可； （2）过点E作，过点F作，根据平行线的性质求出，于是得出，根据同旁内角互补，两直线平行得出，问题即可得证； （3）分四种情况讨论，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点E作，过点F作，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图2，当射线在内部，射线在下方时，延长交于点G，    ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； 如图3，当射线在内部，射线在上方时，设与交于点P，    ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 如图4，当射线在外部，射线在下方时，延长交于点K，设交于点Q，    ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 如图5，当射线在外部，射线在上方时，设交于点P，    ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数是或或或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形外角的性质，以及分类讨论思想，注意思考问题要全面，否则容易丟解． 16．如图1，直线与直线分别交于点E，F，． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，延长交直线于点G，过点G作交直线于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一动点，作平分，当点K运动到使时，与是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由平行线的判定可得结论； （2）由平行线的性质可得，由角平分线的性质可求，可得结论； （3）由外角的性质和平行线的性质可证，由角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）证明：， ， 平分，PE平分， ，， ， ． ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， ． ， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键． 17．综合与实践 如图．，，E，F是射线BC上的动点，且满足∠CAF＝∠DAC，AE平分∠BAF． (1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由． (2)求∠CAE的度数． (3)如图，将CD向右平移至处，并始终满足，是否存在某种情况，使．若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)33° (3)存在，49.5° 【分析】（1）首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出，然后再根据题意，等量代换，得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论． （2）首先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据，平分，即可算出的度数． （3）首先设，根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，得出，进而得出，再根据，即可得出方程，解出，进而即可得出的度数． 【详解】（1）解： 理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴． （3）解：存在，． 理由如下： 设． ∵， ∴， ， ∴， 若， 则， 解得， 此时， ∴存在，． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解本题的关键在熟练运用平行线的性质与判定． 18．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF. （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由. 【答案】（1）与∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM，理由见解析；（2）∠OBC：∠OFC=；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得求出∠ABC，再根据邻补角的定义求出∠BAM即可得解； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根据角平分线的定义可得∠AOF=2∠AOB，从而得到比值不变； （3）设∠OBA=x，表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和定理表示出∠AOB、∠COE，再根据角平分线的定义根据∠AOB+∠COE=∠AOC列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵OM∥CN， ∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°， ∠ABC=180°-∠OAB=180°-108°=72°， 又∵∠BAM=∠180°-∠OAB=180°-108°=72°， ∴与∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM； （2）∵OM∥CN， ∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF， ∵OB平分∠AOF， ∴∠AOF=2∠AOB， ∴∠OFC=2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC=； （3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x， 在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x， 在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x， ∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF， ∴∠COE+∠AOB=∠COF+∠AOF=∠AOC=×72°=36°， ∴72°-x+72°-2x=36°， 解得x=36°， 即∠OBA=36°， 此时，∠OEC=2×36°=72°， ∠COE=72°-2×36°=0°， 点C、E重合， 所以，不存在． 考点：平行线的判定与性质． 19．已知四边形 (1)如图1：，．求证：； (2)如图2：在（1）的条件下，取上一点作为顶点作直角，使直角的两边交于，交于．则________．（直接写出角度和） (3)如图3：在（2）的条件下，上存在点，，连接，延长交延长线于，若、恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质可得，根据，等量代换可得即可得证； （2）过点作，得出，，即可求解； （3）过点分别作的平行线，设，，，根据平行线的性质以及已知条件可得，，联立即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示， 过点分别作的平行线， ∴ ∵、恰好平分、， ∴，， 设，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴① ∵， ∴， ∴② ∵，即 ∴代入②得，③ 由①③可得，，即． 20．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，且是直角三角形，，操作发现： （1）如图1．若，求的度数； （2）如图2，若的度数不确定，同学们把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． （3）如图3，若∠BAC=30°，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析 【分析】（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案； （2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，则∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，进而得出结论； （3）过点C 作CP∥a，由角平分线定义得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°， ∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=42°； （2）理由如下： 过点B作BD∥a．如图2所示： 则∠2+∠ABD=180°， ∵a∥b， ∴b∥BD， ∴∠1=∠DBC， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1， ∴∠2+60°-∠1=180°， ∴∠2-∠1=120°； （3）∠1=∠2，理由如下： 过点C 作CP∥a，如图3所示： ∵AC平分∠BAM ∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°， 又∵a∥b， ∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°， ∴∠PCA=∠CAM=30°， ∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°， 又∵CP∥a， ∴∠2=∠BCP=60°， ∴∠1=∠2． 【题型3 探究两角间的数量关系】 21．如图，直线，直线与，分别交于点，，，分别是与的平分线，交于点，过点作交于点，    (1)如图，求证：； (2)连接，点是线段上一动点，作的平分线交于点， ①如图，当时，求的度数． ②如图，在上取一点，连接，使得，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质与判定，解题关键是两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行． （1）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出，再根据，即可得到，进而得到； （2）①先设，则，，根据平分，可得，再根据，可得方程，进而解得．②设，，则，根据即可求解； 【详解】（1）解： ， ， ，分别是与的平分线， ，， ， 即， 又， ， ； （2）①设， 则，， 平分， ， 又， ， 解得． ②猜想：， 设，， ，， 则， ， ， 是的平分线， ∴， ∴， ． 22．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题． (1)嘉嘉认为是真命题，并作出图1，，，与交于点G．根据嘉嘉的作图，求证：； (2)淇淇对嘉嘉的判断提出质疑，认为该命题是假命题，并作出图2，其他条件与（1）相同，得到，根据淇淇的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质； （1）根据平行线的性质得， ，即可求出； （2）根据平行线的性质得，，即可求出． 【详解】（1）证明： ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解： 理由： ∴ ∵ ∴ ∴ 23．如图，点F在的内部，点D在射线上，点E在射线上，连接，，，．    (1)求证：； (2)过点D作交射线于点M，连接，请你依题意在图2中补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）根据已知条件，，等量代换即可解答； （2）过点M作交DF于点N，根据平行线的性质及垂线的定义得，再证得，即可得出结论； 【详解】（1）证明： ，， ， ， （2）依题意补全图形．    数量关系：， 证明：过点M作交于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．已知直线，点E，F分别在直线，上，点P是直线与外一点，连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的平分线交的延长线于点M，的平分线交的反向延长线于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的平分线交的平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)或，详见解析 【分析】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形外角与内角的关系，根据题意理清各角之间的关系是解题关键． （1）过作，根据平行线的性质可得； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，进而可得结论； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作． ∵， ∴． ∴，． ∴． （2）解：．理由如下： 如图2，∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． 由（1）得． ∵，， ∴． ∵与互补， ∴， 整理，得． ∴． （3）解：或． 详解如下：①如图3，当点P在点E的左侧时， ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． 由（2）得，， ∴． ∴． ②如图4，当点P在点E的右侧时， ∵， ∴． 由（2）得． 由（1）得． ∴． ∴． 综上所述，或． 25．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 26．已知点A，点分别在线段，上，． (1)如图，求证：； (2)分别过点A和点作直线、使，以点为顶点的直角绕点旋转，并且的两边分别与直线，交于点和点，如图试判断、之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证 ，即可． 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴． 27．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质、三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由为： 过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴． 28．已知，如图，平分平分． (1)如图1，探究与的数量关系并证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过A作交于点H，平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）过点作，过点作，利用角平分线的定义和两直线平行，内错角相等得出 ，再利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补即可得出结论； （2）设，，求得，推出，利用平行线的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，过点E作，过点F作， ， ， ∵平分， ， ， ∵， ， ， ∵平分， ， ， ， ， 即 （2） 设 解得∶， 29．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从点D引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先证明可得，再根据可得，从而可得结论． （2）先求出，再根据可得，从而求的度数． 【详解】（1），理由如下： 且（对顶角相等）， ， ， ， 又， ， ； （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∴． 30．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究]；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 【题型4 探究多角间的数量关系】 31．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础问题】如图1，试说明： ； 【类比探究】如图2，当点 G在线段 EF的延长线上时，探究 ，，三者之间的数量关系． 【应用拓展】如图3，平分，交于点 H，且， ，直接写出 的度数． 【答案】基础问题：见详解；类比探究：，理由见详解；应用拓展： 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； 基础问题：过点G作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； 类比探究：过点G作直线，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解； 应用拓展：过点G作，过点H作，由平行线的性质得，，由平行线的判定方法得，，由平行线的性质得，，由角的和差得 ，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助线是解题的关键． 【详解】基础问题： 解：如图过点G作， 又， ， ， ， ， ． 类比探究：， 理由如下： 如图，过点G作直线， ， ，， ， ， ； 应用拓展： 解：如图，过点G作，过点H作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 平分， ， ，， ， ， ． 32．（1）如图（1），，，．求的度数； （2）如图（2），，点在射线上运动，，， ①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由 ②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由 【答案】（1）； （2）①，理由见解析；②当点P在A上方时，，当P在B点下方时，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用； （1）过作，构造同旁内角，通过平行线性质，可得． （2）①过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：点在的延长线上和点在、两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】（1）如图①，过作， ∵， ∴， ，， ，， ，， ； （2）①，理由如下： 如图②，过作交于， ∵， ∴， ，， ， 故答案为：； ②当点在的延长线上时，； 理由：如图③，过作交于， ∵， ∴， 又，， ，， ； 当点在、两点之间时，． 理由：如图④，过作交于， ∵， ∴， 又，， ，， ， 故答案为：或． 33．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图，已知，若，，则 度． (2)如图，已知，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图， 已知，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）过点作，即可得，由平行线的性质可得， ，进而由即可求解； （）．过点作，同理（）即可求证； （）．过点作，同理（）即可求证； 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 34．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 35．学习平行线的性质与判定时，我们发现借助平行线的“等角转化”可以解决许多问题． (1)如图①，，点P在，内部，过点P作．请探究，，之间的数量关系，并证明． (2)如图②，若点P在，外部，，求证：； (3)如图③，，的角平分线与的角平分线相交于点E，若，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质进行求解即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，，证明，根据平行线的判定得出结论即可； （3）根据平分，平分，得出，，证明，过点P作，根据平行线的性质和四边内角和定理即可求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过点P作，如图所示： ∴，，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （3）解：由（1）的结论可知：， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， 过点P作，如图所示： ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．如图1，直线，被所截，． (1)求证：； (2)如图2，点是直线上的一个动点（点不与，重合），试探究与，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适当的辅助线． （1）证明，根据“同位角相等，两直线平行”即可证明； （2）分三种情况讨论，当点在线段上、点在点的上方和点在点的下方，过点作，则由平行线的性质分别求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上运动，猜想：，理由如下： 过点作，如图①， ∵， ∴， ，， ， ， 即； 当点在点的上方时，猜想：，理由如下： 过点作，如图②， ∵， ∴， ，， ，即， ∴； 当点在点的下方时，猜想：，理由如下： 过点作，如图③， ∵， ∴， ，， ， ，即． 综上，或或． 37．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．    (1)求证：； (2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角定义等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）设，，，，可得即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∴． （2）解：过作，过作，如图    设，，，， ，，， ， ，， ， ， ， ． 38．如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （2）点作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得到、的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案． （4）分别过点M，P，N，作，运用平行线的判定与性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：过点作直线，    得， ， ， ， ， ； （2）解：过点作直线，    得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：当点在线段左侧时，如下图所示，   ，， ， ； 当点在线段右侧时，如下图所示，   ，， ， ， ； 的度数为或． （4）解：如图：分别过点M，P，N，作    ∵ ∴ 设 ∵平分，平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 同理的 ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论等知识点：两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 39．已知，线段分别与、相交于点E、F． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括E、F两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点P在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)不成立，关系式是：，证明见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质． （1）过P作，则，根据平行线的性质即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）过P作，则，根据平行线的性质即可得到． 【详解】（1）解：过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）， 证明：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：不成立，关系式是：， 理由是：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． 40．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义： （1）由垂直的定义先求出，再根据平行线的性质即可得到； （2）设，则，由角平分线的定义得到，则，同理可得，再由垂直的定义得到，则； （3）分当点H在点K上方时，当点H在之间时，当点H在点D下方时， 三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点H在点K上方时，过点H作，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在点D下方时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 平行线的证明压轴题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 平行的证明压轴题定值问题】 1 【题型2 平行的证明压轴题存在性问题】 5 【题型3 探究两角间的数量关系】 10 【题型4 探究多角间的数量关系】 13 【题型1 平行的证明压轴题定值问题】 1．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 2．如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 3．如图，已知，连结和交于点． (1)求证：； (2)如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 4．已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 5．已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足．    (1)如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)点E，F在射线上，连接，，满足． ①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值； ②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值． 6．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 7．如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 8．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．   9．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 10．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．     (1)如图1，则的度数为 （用含的式子表示）； (2)在图1中连接，请用无刻度的直尺和圆规在射线上找一点F，使得（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的条件下，点G是射线上的一点， ①若，且，连接，若中有两个相等的角，直接写出的度数； ②连接，若，于点G，，是否存在常数k，使为定值，若不存在，请说明理由；若存在，求出k的值，并求出这个定值． 【题型2 平行的证明压轴题存在性问题】 11．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 12．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 13．如图，已知直线，，点E，F在上，且满，平分．    (1)直线与有何位置关系？请说明理由； (2)求的度数； (3)若左右平移，在平移的过程中， ①求与的数量关系 ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 14．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 15．如图1，已知，且，，，若．    (1)求的度数； (2)求证：； (3)若平面内存在一点M，使，直线与直线交于点M，请直接写出的度数． 16．如图1，直线与直线分别交于点E，F，． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，延长交直线于点G，过点G作交直线于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一动点，作平分，当点K运动到使时，与是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由． 17．综合与实践 如图．，，E，F是射线BC上的动点，且满足∠CAF＝∠DAC，AE平分∠BAF． (1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由． (2)求∠CAE的度数． (3)如图，将CD向右平移至处，并始终满足，是否存在某种情况，使．若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 18．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF. （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由. 19．已知四边形 (1)如图1：，．求证：； (2)如图2：在（1）的条件下，取上一点作为顶点作直角，使直角的两边交于，交于．则________．（直接写出角度和） (3)如图3：在（2）的条件下，上存在点，，连接，延长交延长线于，若、恰好平分、，且，求的大小． 20．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，且是直角三角形，，操作发现： （1）如图1．若，求的度数； （2）如图2，若的度数不确定，同学们把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． （3）如图3，若∠BAC=30°，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由． 【题型3 探究两角间的数量关系】 21．如图，直线，直线与，分别交于点，，，分别是与的平分线，交于点，过点作交于点，    (1)如图，求证：； (2)连接，点是线段上一动点，作的平分线交于点， ①如图，当时，求的度数． ②如图，在上取一点，连接，使得，请猜想与的数量关系，并说明理由． 22．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题． (1)嘉嘉认为是真命题，并作出图1，，，与交于点G．根据嘉嘉的作图，求证：； (2)淇淇对嘉嘉的判断提出质疑，认为该命题是假命题，并作出图2，其他条件与（1）相同，得到，根据淇淇的作图，试判断与的数量关系，并说明理由． 23．如图，点F在的内部，点D在射线上，点E在射线上，连接，，，．    (1)求证：； (2)过点D作交射线于点M，连接，请你依题意在图2中补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．   24．已知直线，点E，F分别在直线，上，点P是直线与外一点，连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的平分线交的延长线于点M，的平分线交的反向延长线于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的平分线交的平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 25．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 26．已知点A，点分别在线段，上，． (1)如图，求证：； (2)分别过点A和点作直线、使，以点为顶点的直角绕点旋转，并且的两边分别与直线，交于点和点，如图试判断、之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 27．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 28．已知，如图，平分平分． (1)如图1，探究与的数量关系并证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过A作交于点H，平分，求的度数． 29．如图，已知，射线交于点F，交于点D，从点D引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 30．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【题型4 探究多角间的数量关系】 31．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础问题】如图1，试说明： ； 【类比探究】如图2，当点 G在线段 EF的延长线上时，探究 ，，三者之间的数量关系． 【应用拓展】如图3，平分，交于点 H，且， ，直接写出 的度数． 32．（1）如图（1），，，．求的度数； （2）如图（2），，点在射线上运动，，， ①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由 ②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由 33．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图，已知，若，，则 度． (2)如图，已知，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图， 已知，试判断之间的数量关系，并说明理由． 34．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 35．学习平行线的性质与判定时，我们发现借助平行线的“等角转化”可以解决许多问题． (1)如图①，，点P在，内部，过点P作．请探究，，之间的数量关系，并证明． (2)如图②，若点P在，外部，，求证：； (3)如图③，，的角平分线与的角平分线相交于点E，若，求的度数． 36．如图1，直线，被所截，． (1)求证：； (2)如图2，点是直线上的一个动点（点不与，重合），试探究与，之间的数量关系． 37．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．    (1)求证：； (2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．   38．如图：，点E，F分别在直线，，点P是，之间的一个动点．    (1)问题初探：如图①，当点P在线段左侧时，求证：； (2)类比解决：如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为 ； (3)学以致用：若，的平分线交于点Q，且，则 ； (4)拓展延伸：如图③，当点P在线段左侧时，点M，N分别在，上，且平分，平分，试探究，，之间的数量关系． 39．已知，线段分别与、相交于点E、F． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括E、F两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)如图③，当点P在线段的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明． 40．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$