专题17 平行线的证明解答题按梯度分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版）

专题17 平行线的证明解答题按梯度分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 补全证明过程】 1 【题型2 基础证明题】 6 【题型3 利用平行判定平行】 9 【题型4 含辅助线证明题】 11 【题型5 平行线证明中的动点问题】 15 【题型1 补全证明过程】 1．补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 2．如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 3．如图，已知，，，求证：．补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据． 证明：∵（已知） ∴________（同位角相等，两直线平行） ∴________（________） 又∵（已知） ∴__________（__________） ∴（_________） ∴（_________） ∵（已知） ∴__________（垂直的定义） ∴ ∴ 4．根据图形和题意补全下面的说明过程：（注：“”表示“因为”，“”表示“所以”．）如图，平分．，试说明．    解： 平分（已知） ________（________________） 又 （已知） （________________） （________________） （________________________） 5．如图，已知，射线交于点F，过点D作射线，使得． 求证：．请补全证明过程．    证明：∵（已知） _______（ ）， ∵（已知） 且（ ） _______（等量代换）， _______（ ） _______（ ） （等量代换）． 6．如图，已知，分别与，交于点G，H．，分别平分，．求证：． 证明：因为， 所以．（                         ） 因为平分， 所以， 同理，__________， 所以__________， 所以．（                         ） 补全横线的内容，在括号里填写理由． 7．如图，已知中，点分别在上，交于点． (1)请补全下面解答过程，证明． 证明∶(____________)， (已知)， (____________)． (____________) (____________) (已知)， (____________)． (____________)． (2)若平分，求的度数． 8．如图，，射线与交于点，射线与交于点，若是的平分线，且． 求证：，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知） ______（______） 是的平分线（已知） （______） ______（______） （已知） ______（______） （______） （等量代换） 9．补全下列推理过程： 如图，已知，试说明：． 解：因为（已知）， 所以 （ ）. 因为（已知）， 所以（ ）. 所以 （ ）. 所以 （ ）． 因为（ ）， 所以（ ）． 10．请你补全证明过程或推理依据： 已知三角形，在上取一点，在上方取一点，连接，点是延长线的一点，若，．求证：． 证明：∵点是延长线的一点（已知）， ∴_________（平角的定义）， 又∵（已知）， ∴（_____________________）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴____________________（内错角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 【题型2 基础证明题】 11．如图，已知，，，与平行吗？ 12．如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 14．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 15．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 16．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 17．如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 18．如图，是的平分线，若，，求证：    19．如图，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 20．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【题型3 利用平行判定平行】 21．已知：如图，F、C是上的两点，且．求证： (1)； (2)． 22．如图，，，，四点在同一条直线上，，，．求证：． 23．如图，已知，，；求证：． 24．如图，已知点，，，在向一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 26．如图，已知点A在上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 27．如图，已知点C，D都在线段上，，    (1)求证：； (2)求证：． 28．如图，、、、在同一条直线上，．求证：． 29．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．如图，于点于点． (1)求证： (2)求证：． 【题型4 含辅助线证明题】 31．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 32．特例感知 （1）如图1，直线，c是截线，则__________．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：． 33．如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 34．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 35．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 36．已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 37．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 38．已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)当点在直线，之间时． 如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________； 如图，平分，平分，当时，求出的度数； (2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 39．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 40．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 【题型5 平行线证明中的动点问题】 41．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 42．直线交、于M、N，P点是直线上一个动点 (1)如图，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图，P点在射线上时，若时，证明、与的关系． 43．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 44．如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 45．已知、分别是、上的动点，也是平面内的一动点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：． 46．已知直线，点B为一动点，连接、． (1)当点B运动到直线，之间某一位置时，如图①所示，求证：； (2)当点B运动到直线下方某一位置时，如图②所示，判断、、之间的数量关系，并加以证明． (3)当点B运动到直线上方某一位置时，如图③所示，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，__________． 47．如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点P作的角平分线，在线段的右侧作． (1)如图2，当与重合时，求证：； (2)当与不重合时，探索，，之间的数量关系并说明理由． 48．如图，已知，，点P为直线上一动点． (1)求证：； (2)作射线交直线于点M，交直线于点N，且． ①当点P运动到如图1所示的位置时，用等式表示，与之间的数量关系，并证明； ②当点P运动到如图2所示的位置时，补全图形，直接用等式写出、与之间的数量关系．   49．已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 50．如图，直线，点是，之间的一个动点． (1)如图1，求证； (2)小明把一块三角板如图2放置，点，是三角板的边与平行线的交点． ①若，求的度数； ②如图3，点在线段上，连接，当，求的值． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 平行线的证明解答题按梯度分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 补全证明过程】 1 【题型2 基础证明题】 11 【题型3 利用平行判定平行】 18 【题型4 含辅助线证明题】 27 【题型5 平行线证明中的动点问题】 46 【题型1 补全证明过程】 1．补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据对顶角相等结合题意推出，即可判定；根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定． 【详解】解：， （①对顶角相等）， （②等量代换）， （③同旁内角互补，两直线平行）， （④两直线平行，同位角相等；）． ， ， （⑤内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行． 2．如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴，（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴，（等量代换）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换． 3．如图，已知，，，求证：．补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据． 证明：∵（已知） ∴________（同位角相等，两直线平行） ∴________（________） 又∵（已知） ∴__________（__________） ∴（_________） ∴（_________） ∵（已知） ∴__________（垂直的定义） ∴ ∴ 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，由平行线的判定方法得 ，由平行线的性质得 ， 由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，由垂直的定义即可求证；掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明： （已知） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又 （已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （垂直的定义） ． 4．根据图形和题意补全下面的说明过程：（注：“”表示“因为”，“”表示“所以”．）如图，平分．，试说明．    解： 平分（已知） ________（________________） 又 （已知） （________________） （________________） （________________________） 【答案】； 角平分线定义； 等量代换； 内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，利用角平分线的定义和等量代换可得出，利用“内错角相等，两直线平行”得出，然后利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】解： 平分（已知） （角平分线定义） 又 （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 故答案为∶； 角平分线定义； 等量代换； 内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补． 5．如图，已知，射线交于点F，过点D作射线，使得． 求证：．请补全证明过程．    证明：∵（已知） _______（ ）， ∵（已知） 且（ ） _______（等量代换）， _______（ ） _______（ ） （等量代换）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据题意可得，从而得到，进而得到，即可得出． 【详解】证明：∵（已知） （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知） 且（对顶角相等） （等量代换）， （同位角相等，两直线平行 ） （两直线平行，同旁内角互补） （等量代换）． 6．如图，已知，分别与，交于点G，H．，分别平分，．求证：． 证明：因为， 所以．（                         ） 因为平分， 所以， 同理，__________， 所以__________， 所以．（                         ） 补全横线的内容，在括号里填写理由． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线的定义． 根据平行线的判定及性质，角平分线的定义推导证明即可． 【详解】证明：因为， 所以．（两直线平行，内错角相等．） 因为平分， 所以， 同理，， 所以， 所以．（内错角相等，两直线平行．） 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行 7．如图，已知中，点分别在上，交于点． (1)请补全下面解答过程，证明． 证明∶(____________)， (已知)， (____________)． (____________) (____________) (已知)， (____________)． (____________)． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质与判定完成证明过程，即可； （2）根据平行线的性质可得，结果角平分线的定义可得，根据已知列出方程，解方程得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：(平角的定义)， (已知)， (同角的补角相等)． ，(内错角相等，两直线平行) (两直线平行，内错角相等)， (已知)， (等量代换)． ∴(同位角相等，两直线平行)． （2）解：由（1）知，，， ， 平分， ， ，， ， 解得：， ． 8．如图，，射线与交于点，射线与交于点，若是的平分线，且． 求证：，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知） ______（______） 是的平分线（已知） （______） ______（______） （已知） ______（______） （______） （等量代换） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，从而得出，证明得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等） 是的角平分线（已知）， （角平分线的定义） （等量代换） （已知）， （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等）， （等量代换） 故答案为：；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 9．补全下列推理过程： 如图，已知，试说明：． 解：因为（已知）， 所以 （ ）. 因为（已知）， 所以（ ）. 所以 （ ）. 所以 （ ）． 因为（ ）， 所以（ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．先根据平行线的性质得到，等量代换得到，即可证明得到，再由，即可证明． 【详解】解：因为（已知） 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 10．请你补全证明过程或推理依据： 已知三角形，在上取一点，在上方取一点，连接，点是延长线的一点，若，．求证：． 证明：∵点是延长线的一点（已知）， ∴_________（平角的定义）， 又∵（已知）， ∴（_____________________）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴____________________（内错角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 【答案】；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由补角性质可得，即得，进而得到，即可得到，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵点是延长线的一点（已知）， ∴（平角的定义）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；补角性质；；；两直线平行，内错角相等． 【题型2 基础证明题】 11．如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 13．如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到，即可判定得出两直线平行． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 14．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 15．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得，结合已知得，那么，，利用同位角相等两直线平行即可得． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和，可推出与的关系； （2）由（1）的结论和平分，可得与的关系，利用平行线的判定得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 18．如图，是的平分线，若，，求证：    【答案】见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，角平分线得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 19．如图，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键． （1）利用对顶角的性质可得，由，可得，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得； （2）由，易得，由平行线的判定定理和性质定理易得结果． 【详解】（1）解：， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． （1）由平分，可得，由，可得，进而可得． （2）由，，可得，由，可得，由平分，可得，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为． 【题型3 利用平行判定平行】 21．已知：如图，F、C是上的两点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得，由，可得，通过即可证明； （2）由全等三角形的性质得，从而． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）， ， ． 22．如图，，，，四点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，先根据，得出，再由证明，得出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，已知，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．先证得，得出，进一步求得，再证明，得出，可得出结论． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 24．如图，已知点，，，在向一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】（）首先证明可得，根据平行线的判定即可求证； （）根据可得，利用等式的性质可得，然后由线段和差即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25．如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等可推出，，然后利用即可得出结论； （2）由（1）可得，根据全等三角形的性质可得，，利用等式的性质可得出，然后利用可证得，于是可得，最后根据内错角相等两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得：， ， ，即， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，全等三角形的判定，全等三角形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26．如图，已知点A在上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ． 27．如图，已知点C，D都在线段上，，    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据得出，再根据即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得出对应角相等，再根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 28．如图，、、、在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定；根据已知得出，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据内错角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在中， ∴， ∴， ∴． 29．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是发现全等． （1）先证明图中两个三角形全等得出即可求证； （2）利用全等三角形的性质得出即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∴ ， ∴， ∴． （2）解：∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴的长为． 30．如图，于点于点． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，垂线的定义： （1）由证明得到，即可证明； （2）由垂直的定义得到，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【题型4 含辅助线证明题】 31．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）过作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案； （3）设，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，得出方程，求出即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：过作，如图， ， ， ，， ， 即； （3）解：设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 32．特例感知 （1）如图1，直线，c是截线，则__________．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键． （1）根据平行线性质即可求解； （2）过作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论； （3）过点作，交于点，则，由平行线的性质得出，，由三角形的外角性质得出，证出，得出，由角平分线得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：过作，如图①所示： 则， ，， ， 即； （3）证明：过点作，交于点，如图②所示： 则， ，， 是的一个外角， ， 又，， ， ， 平分， ， ． 33．如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点作，则，证明，可得，再结合角的和差运算可得答案； （2）过点作，证明，可得，结合，从而可得答案； （3）过点分别作，可得，再利用角的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，则（两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又， ； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：， 理由如下： 过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又， ； （3）解：如图：过点分别作，而， ， ， ． 34．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 35．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）如图4，过点C作．得出．根据平行线的性质即可求解； （2）设，如图5，过点C作．得出．根据平行线的性质得．根据，即可得出．结合，即可求解； （3）设，，．如图6，过点A作．得出．根据平行线的性质得．由已知，得．结合，，即可求解； 【详解】（1）解：． 如图4，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：设． 如图5，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． （3）解：设，，． 如图6，过点A作． ∵， ∴． ∴． 由已知，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 36．已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②；③ 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）对顶角得到，，则，进而可得结果； （2）①根据解题过程进行作答即可；②如图3，过点P作，求解过程同①；③如图4，过点P作，求解过程同①． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：平行； （2）①解：如图2、过点P作， 则（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），（作图）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． ∴． ∴（等式的性质）． 即； 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质； ②解：； 如图3，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴； ③解：， 如图4，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 37．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 38．已知，点为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)当点在直线，之间时． 如图，过点作，由平行线传递性可得，所以与，之间的数量关系是_________； 如图，平分，平分，当时，求出的度数； (2)如图，当点在的下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图1，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图2，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图3，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）①； 理由如下： ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图①，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 过点F作，同理可得，； （2）如图②，过点作， 设， ， 平分， ， ， ∵，， ∴， ， 平分， ， 过点F作，同理可得，． 39．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②； 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 故答案为：；． 40．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先由平行线的性质，得出，再进行角的等量代换，得，即可作答． （2）过点F作直线，得，结合角平分线的定义，得，，再通过角的差运算，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图：过点F作直线， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 平行线证明中的动点问题】 41．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案； （2）根据，即可得到答案； （3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； 同理可得 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 42．直线交、于M、N，P点是直线上一个动点 (1)如图，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图，P点在射线上时，若时，证明、与的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点P作，得到，进而推出，得到，由此得到结论； （2）过点P作，得到，推出,，由此得到结论． 【详解】（1），理由如下： 过点P作 ； （2）， 证明：过点P作， ， 43．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质、三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由为： 过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴． 44．如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造平行线，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两点之间，线段最短可知，当P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时，的值最小，解答即可； （2）当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论； （3）当点P在右侧运动时，根据点P在上和点P在线段的延长线上，过点P作，对这两种情况分别讨论，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：由两点之间，线段最短可知，当P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合， 此时最小，, ，， ， ， 秒时，有最小值． （2）解：当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， ， ． （3）解：当点P在右侧运动时， ① 点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， 又 ， ． ② 点P在线段的延长线上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 综上所述：当点P在右侧运动时， 或． 45．已知、分别是、上的动点，也是平面内的一动点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论． 【详解】（1）证明：过作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作，    ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 46．已知直线，点B为一动点，连接、． (1)当点B运动到直线，之间某一位置时，如图①所示，求证：； (2)当点B运动到直线下方某一位置时，如图②所示，判断、、之间的数量关系，并加以证明． (3)当点B运动到直线上方某一位置时，如图③所示，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．正确作出辅助线是解题关键． （1）过点B作直线，即可证，结合平行线的性质即可得出； （2）过点B作直线，即可证，结合平行线的性质即可得出； （3）过点B作直线，即可证，结合平行线的性质可得出，．根据，可求出．再由角平分线的定义结合三角形外角的性质可求出． 【详解】（1）证明：如图，过点B作直线， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：． 证明：如图，过点B作直线， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴； （3）解：如图，过点B作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵的角平分线与的角平分线交于点G， ∴，， ∴． 故答案为：． 47．如图1，线段，为线段上一动点（不与点，重合）．分别连接，．过点P作的角平分线，在线段的右侧作． (1)如图2，当与重合时，求证：； (2)当与不重合时，探索，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当与不重合时，或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，即可推得； （2）当与不重合()时，根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，，即可推得，即可求得． 当与不重合()时，根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，，即可推得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线，且与重合， ∴， ∴． （2）解：当与不重合()时，如图：    ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． 当与不重合()时，如图：    ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． 综上，当与不重合时，或． 48．如图，已知，，点P为直线上一动点． (1)求证：； (2)作射线交直线于点M，交直线于点N，且． ①当点P运动到如图1所示的位置时，用等式表示，与之间的数量关系，并证明； ②当点P运动到如图2所示的位置时，补全图形，直接用等式写出、与之间的数量关系．   【答案】(1)证明见解析 (2)①，见解析；②图见解析， 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形的外角性质，会利用三角形的外角性质和平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． （1）利用平行线的判定与性质证得结论即可； （2）①先利用平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质得到，进而整理可得结论； ②先根据题干叙述画出图形，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质得到，进而整理可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①2∠1=∠2+∠3． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， 即， ∴． 49．已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）①根据题意作图即可；②过点C作．则，由平行线的性质得到，，由垂直的定义得到，则，即； （2）分解析图中三种情况，根据平行线的性质和垂直的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 过点C作． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，当点E在点B右边时， 同（1）②可得 如图所示，当点E在点B左侧时，过点C作，则 ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点E在点B右侧时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或或． 50．如图，直线，点是，之间的一个动点． (1)如图1，求证； (2)小明把一块三角板如图2放置，点，是三角板的边与平行线的交点． ①若，求的度数； ②如图3，点在线段上，连接，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）过点作，则，由平行线的性质可得，，即可得证； （2）①由（1）中的关系可得，求出，即可得解；②设，则，由（1）中的关系可得，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ， ， ，， ． （2）①解：， ， 由（1）可得，， ， ；                          ②解：设，则， 由（1）可得， ， ， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$