特训09 三角函数 阶段复习 （十一大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训09 三角函数 阶段复习 （十一大题型） 目录： 题型1：角与弧度 题型2：任意角的三角函数 题型3：同角三角函数关系 题型4：诱导公式 题型5：求三角函数的有关概念 题型6：根据三角函数的图像求解析式 题型7：三角函数图像的变换 题型8：三角函数的图像与性质综合辨析 题型9：求参数或取值范围（三角函数的综合应用） 题型10：三角函数的实际应用 题型11：解答题 题型1：角与弧度 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．用弧度制表示终边在一、三象限角平分线上的角的集合为 . 4．在半径为2的圆中，1弧度的圆心角所对的弧长为（    ） A．2 B． C． D． 5．设集合，那么（   ） A． B． C． D． 题型2：任意角的三角函数 6．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 7．若角的终边经过点，则 . 8．在平面直角坐标系中， 角的终边终边过点，则 ； 9．在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为 . 10．若是第二象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3：同角三角函数关系 11．已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 12．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 13．已知，则（   ） A． B． C． D． 14．若，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，则为（   ） A． B． C． D． 16．若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 题型4：诱导公式 17．求值：（    ） A． B． C． D． 18．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 20．已知角α终边上一点，求的值 ． 题型5：求三角函数的有关概念 21．函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 22．下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 23．函数的最小正周期为 ． 24．函数的值域为 . 25．函数的最小正周期为π，则ω的值为 ． 26．设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 题型6：根据三角函数的图像求解析式 27．的图象的一段如图所示，它的解析式是 .    28．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 29．函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 题型7：三角函数图像的变换 30．要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 31．将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 32．设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 . 题型8：三角函数的图像与性质综合辨析 33．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 34．若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 35．若直线是函数图象的一条对称轴，则（    ） A．函数的周期为 B．函数在的值域为 C．函数在单调递增 D．将函数图象上的每一个点的纵坐标变为原来的倍，再将所得到的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象 36．已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型9：求参数或取值范围（三角函数的综合应用） 37．若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 38．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ，若为正整数，当时，曲线与交点的个数为 . 41．若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 . 42．已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 43．设函数，已知，且的最小值为，则 . 44．已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有.当时，恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型10：三角函数的实际应用 46．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 47．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 48．筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 题型11：解答题 49．已知角的终边经过点． (1)求、、的值； (2)求的值． 50．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 51．已知函数 (1)已知函数的周期是，求的值. (2)此函数定义域在区间上的值域为，求的取值范围. 52．已知函数的最小正周期为. (1)求函数的单调递减区间； (2)若，且函数在区间上的值域为，求实数a，b的值. 53．已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 54．已知函数． (1)求函数图象的对称轴方程； (2)若方程在区间上恰有两个解，求的取值范围． 55．已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 56．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 三角函数 阶段复习 （十一大题型） 目录： 题型1：角与弧度 题型2：任意角的三角函数 题型3：同角三角函数关系 题型4：诱导公式 题型5：求三角函数的有关概念 题型6：根据三角函数的图像求解析式 题型7：三角函数图像的变换 题型8：三角函数的图像与性质综合辨析 题型9：求参数或取值范围（三角函数的综合应用） 题型10：三角函数的实际应用 题型11：解答题 题型1：角与弧度 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的表示方法，求出与终边相同的角，进而在判断在第几象限. 【解析】因为 所以的终边与的终边相同， 而的终边在第二象限， 所以的终边在第二象限． 故选： 2．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可. 【解析】∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限， 当时，此时的终边落在第二象限， 当时，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限， 故选：D. 3．用弧度制表示终边在一、三象限角平分线上的角的集合为 . 【答案】 【分析】分别求出角的终边在第一象限角平分线上和角的终边在第三象限角平分线上的角的集合，然后求出其并集即可. 【解析】当角的终边在第一象限的角平分线时，， 当角的终边在第三象限的角平分线时，， 综上，或，即， 所以终边在一、三象限角平分线上的角的集合为. 故答案为： 4．在半径为2的圆中，1弧度的圆心角所对的弧长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由弧长公式计算得结果. 【解析】1弧度的圆心角所对的弧长为. 故选：A 5．设集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得． 【解析】由题意得 ， 即M是由的奇数倍构成的集合， 又 ， 即N是由的整数倍构成的集合， 则， 故选：C． 题型2：任意角的三角函数 6．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【分析】根据角的范围确定三角函数的正负即可求解. 【解析】在中，为钝角，则为锐角，则， 则点在第二象限， 故选：B 7．若角的终边经过点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，即可求解. 【解析】由三角函数的定义可知，. 故答案为： 8．在平面直角坐标系中， 角的终边终边过点，则 ； 【答案】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【解析】因为角的终边终边过点， 所以，， 得到， 故答案为：. 9．在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合三角函数的定义，即可求解. 【解析】设角的终边与单位圆的交点坐标为， 因为，， 由三角函数的定义，可得，即. 故答案为： 10．若是第二象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解. 【解析】对于A：因为，所以， 所以是第三象限角，所以，故选项A不正确； 对于B：因为，所以，当时，，此时是第一象限角， 当时，，此时是第三象限角， 所以是第一或第三象限角，所以，故选项B正确； 对于C：因为，所以，所以是第三或第四象限角或终边落在轴非正半轴，所以，故选项C不正确； 对于D：因为，所以，所以是第三象限角，所以，故选项D不正确； 故选：B. 题型3：同角三角函数关系 11．已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数基本公式计算即得. 【解析】由是第一象限角，得，而， 所以. 故选：A 12．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【解析】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 13．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将弦的齐次分式化弦为切，代值计算即得. 【解析】， 故选：D. 14．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值. 【解析】，故，则， 故. 故选：A 15．已知，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方关系及齐次式法求值即可. 【解析】由. 故选：D 16．若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦达定理可得，，进而可得，进而切化弦即可得结果. 【解析】因为是方程的两根， 则，， 且，则， 可得 ， 所以. 故选：D. 题型4：诱导公式 17．求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可. 【解析】 ， 故选：A 18．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化解即可求解. 【解析】. 故选：B 19．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果. 【解析】易知. 故选：D 20．已知角α终边上一点，求的值 ． 【答案】/ 【分析】由题可知，利用诱导公式化简，再代值计算即可． 【解析】因为是角α终边上一点，所以， 原式， 故答案为：． 题型5：求三角函数的有关概念 21．函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解. 【解析】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：. 22．下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于AB：整理可得，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得，根据余弦函数性质分析判断. 【解析】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期， 若，则，且在内单调递减， 则在上单调递减， 所以在上单调递增，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误； 对于选项C：若，则，且在内单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则，且在内单调递减， 所以在上单调递减，故D错误； 故选：A. 23．函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【解析】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 24．函数的值域为 . 【答案】 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【解析】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 25．函数的最小正周期为π，则ω的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【解析】函数的最小正周期，所以. 故答案为：1 26．设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【解析】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 题型6：根据三角函数的图像求解析式 27．的图象的一段如图所示，它的解析式是 .    【答案】或 【分析】根据函数图象，依次求出的值，最后代入极值点坐标，求解三角方程得到，即得函数解析式. 【解析】由图知,函数的最小正周期满足：,即,解得，或. ① 当时，将代入，可得， 故，解得，故； ②当时，将代入，可得， 故，解得，故. 故答案为：或. 28．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图象，确定函数的周期，排除B，由图象可得当时，函数取最小值，求由此判断AC，结合诱导公式判断D. 【解析】观察图象可得函数的最小正周期为， 所以，故或，排除B； 观察图象可得当时，函数取最小值， 当时，可得，， 所以，，排除C； 当时，可得，， 所以，， 取可得，， 故函数的解析式可能为，A正确； ，D错误 故选：A. 29．函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】首先解方程，结合图象，求得方程的实数根，即可求解的值. 【解析】令，则，，， 则，且，所以. 故选：C 题型7：三角函数图像的变换 30．要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数． 【解析】， 所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象， 故选：D． 31．将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可. 【解析】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得. 故选：C. 32．设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 . 【答案】 【分析】由条件利用三角函数的图象变换规律可得函数的解析式，进一步求值即可． 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得的图象， 所以， 则. 故答案为：． 题型8：三角函数的图像与性质综合辨析 33．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 【答案】B 【分析】将化简，根据正弦函数的性质求解判断即可. 【解析】， 对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，D，因为的对称轴为，，故B正确，D错误； 对于C，因为的对称中心为，，故C错误. 故选：B. 34．若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】先结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解. 【解析】由题意可得，所以，因为， 所以，则， 由于，结合余弦函数的图象与性质可得为的对称中心，故A，B不正确； 由，可得的最小正周期是，故C不正确； 根据余弦函数的性质可得：，则函数的值域为，故D正确； 故选：D 35．若直线是函数图象的一条对称轴，则（    ） A．函数的周期为 B．函数在的值域为 C．函数在单调递增 D．将函数图象上的每一个点的纵坐标变为原来的倍，再将所得到的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象 【答案】C 【分析】由已知，得，求出周期，判断A；求出在的值域，判断B；求出的单调递增区间，判断C；由三角函数图象的伸缩变换得到变换后的函数解析式，即可判断D. 【解析】因为直线是函数图象的一条对称轴， 所以，即，解得， 所以，则其周期为，故A错误； 当时，，则， 所以， 即函数在的值域为，故B错误； 由，则， 则函数的单调递增区间为， 因为， 所以函数在单调递增，故C正确； 将函数图象上的每一个点的纵坐标变为原来的倍， 再将所得到的图象向左平移个单位长度， 则得到的图象，故D错误. 故选：C. 36．已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果. 【解析】设函数的最小正周期为. 对于甲：因为函数的图象关于对称，则； 对于乙：因为函数在上单调递增， 则，可得，又 所以，，又因为，则； 对于丙：因为函数在区间上有个零点，则，可得， 所以，，由于，则； 对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 则，即， 因为，所以，满足条件， 故丙的结论错误，此时，，则， 因为，故，所以，， 且当时，，即函数在上单调递增， 乙同学的结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的的范围或值，进而判断. 题型9：求参数或取值范围（三角函数的综合应用） 37．若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据周期的公式即可求解. 【解析】由于直线，是函数相邻的两条对称轴，故周期为,故， 故选：A 38．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，结合零点存在定理即可求解. 【解析】若，则当时，， 则恒成立，不符合题意. 若，函数和函数都是偶函数， 且都在上单调递减，在上单调递增， 所以为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增， 要使在上存在零点， 只需，即， 所以. 故选：. 39．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，从而得解. 【解析】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即，即， 解得，而，故或1，或2， 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 综上，或. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用的对称性与单调性得到的可能取值，从而检验得解. 40．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ，若为正整数，当时，曲线与交点的个数为 . 【答案】 6 【分析】由条件确定的取值范围，根据单调性得到关于的不等式，解不等式即可得到结果. 根据为正整数得，作出函数图象即可得到交点个数. 【解析】由得. ∵函数在上单调递减， ∴，解得. ∵，∴， ∴当时，. 若为正整数，则，，， 作出与在时的函数图象， 由图象可知，曲线与交点的个数为6. 故答案为：；6. 41．若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 . 【答案】 【分析】求出平移后解析式，再由余弦函数的单调性建立不等式求解即可. 【解析】函数 的图象向右平移 个单位后， 得到， 当时，， 在上单调递减， ， ， 又， 故答案为： 42．已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质，求得，，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解. 【解析】为偶函数， 所以，，得，， 当时，，在区间内仅有两个零点， 所以，解得：，所以. 故答案为：2 43．设函数，已知，且的最小值为，则 . 【答案】1 【分析】确定的周期为，结合题意可得，即可求得答案. 【解析】由题意知图象可由，的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到， 故的周期为， 又， 则的最小值为函数周期的二分之一，即, 即， 故答案为：1 44．已知函数的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，确定的取值，解得，令，结合已知条件根据的单调区间，取值情况得到关于的不等式，求解即可. 【解析】    因为函数的图象关于原点对称， 所以，又因为，所以， 所以； 令，因为，则，即， 的减区间为， 又在区间上是减函数， 所以是区间的子集， 因为，所以，， 只有时区间是由负到正，所以有： ，，解得； 因为函数在上的图象与直线有且仅有一个交点， 相当于，在上只有一个最小值， 所以有：，，解得； 综上取交集有：，解得. 故选：D 45．已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有.当时，恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析、、时的函数解析式以及值域，再根据函数的倍增性和偶函数图象特征作出函数的图象，结合图象确定出符合条件的的范围即得的最大值. 【解析】当时，,则 即当时，； 当时，， 由题意， , 则 即当时，； 同理，当时，. 又为定义在上的偶函数，其图象关于轴对称，故当时，，如图所示. 当时，恒成立，即，， 而由图象知，，则， 当取最大值时，必有，且， 由时，，可得，则得，或， 由图知应舍去.故当，时，取得最大值. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，属于难题.本题以分段函数为媒介，采用数形结合思想，通过数与形的相互转化能使繁难问题得到简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质. 题型10：三角函数的实际应用 46．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据振幅可求出，根据周期可求出，根据初相可求出，化简后可得答案. 【解析】由噪声的声波曲线 （其中，，）的振幅为1， 周期为2π，初相为，可得，，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：D． 47．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【解析】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 48．筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【解析】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B 题型11：解答题 49．已知角的终边经过点． (1)求、、的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据终边上的点，结合三角函数的定义，即可求三角函数； （2）利用同角三角函数基本关系式，化简式子，再代入求值. 【解析】（1）由三角函数的定义得 ；； （2） . 50．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简，由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量的取值范围为,求得的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）因为，所以， 所以， 即函数在区间的最大值为1，最小值为. 51．已知函数 (1)已知函数的周期是，求的值. (2)此函数定义域在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由最小正周期的公式计算即可； （2）由，求出的范围，然后由函数定义域在区间上的值域为，分析求解即可. 【解析】（1）因为，，所以， 又因为，所以. （2）当时，， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 解得. 52．已知函数的最小正周期为. (1)求函数的单调递减区间； (2)若，且函数在区间上的值域为，求实数a，b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据正弦函数的周期公式可得，再代入正弦函数的单调递减区间求解即可； （2）根据可得，结合正弦函数的图象可得的值域，进而根据值域为列式求解即可. 【解析】（1） 因为的最小正周期为，，故，解得，故. 令，解得. 故函数的单调递减区间为 （2）根据可得，故， 又，故，由题意，解得. 53．已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角函数的图象，利用五点法求得函数的解析式； （2）由（1）可得：，结合三角函数的性质，即可求解. （3）由三角函数的图象变换，可得，结合正弦函数的有界性即可求解. 【解析】（1）由图象可知：，最小正周期， 且，可得，所以， 由图可求出最低点的坐标为，可得， 则，解得， 且，可得，所以. （2）由（1）可得：， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到； 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到， 因为，则，可得，即， 所以在区间上的值域为. 54．已知函数． (1)求函数图象的对称轴方程； (2)若方程在区间上恰有两个解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简计算可得，结合整体代换法计算即可求解； （2）由、，可得，进而求解即可. 【解析】（1） ， 由，可得， 所以函数的对称轴方程为； （2）由，可得， 当时，， 程在区间上恰有两个解， 则，解得， 因此，的取值范围． 55．已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由已知条件可得的图象关于直线对称，则，再结合的范围可求得结果； （2）令，则，由的单调性，将问题转化为与的图象有一个交点，结合图象从而可求出的范围； （3）由，，则令，然后将问题转化为，不等式恒成立，对变形后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【解析】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称， 所以，而，则，所以. （2），当时，设， 在为增函数，在为减函数， 所以方程有唯一实根， 等价于与的图象有一个交点， 由图象可知或， 所以或， 所以的范围是.    （3）由（1）知，，则， ，， 当时，，，令， 显然， 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 显然， ，当且仅当，即时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 56．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解. 【答案】(1)函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数不是“2-利普希兹条件函数”； (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数新定义得和，即可判断； （2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可求解； （3）由题得，即，不妨设，根据零点的定义可得、，进而，则，设，有，结合零点的存在性定理即可证明. 【解析】（1）由题知，函数，定义域为R， 所以， 所以函数是“2-利普希兹条件函数”； 函数， 所以， 当时，则， 函数不是“2-利普希兹条件函数”； （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个，均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为，所以，得， 所以的最小值为2． （3）因为函数是“利普希兹条件函数”， 所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 由，得. 因为是函数的零点，则， 又是函数的零点，则，又， 所以，而，故， 设，， 由，， 得，由零点的存在性定理知函数在上有零点， 即方程在上有解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$