第三章 圆（压轴专练）（十三大题型）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 圆（压轴专练）（十三大题型） 题型1：“有直径现直角” 1．如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．    (1)如图1，若，的度数为，求的长． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比． 题型2：“有垂径现三角形” 2．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 题型3：题型1和题型2综合 3．已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 4．如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 题型5：题型1-4综合 5．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为5，，求的长． 题型6：动点问题（列方程；分类讨论） 6．如图1，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（），连接． (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②当与边相切时，则 ； ③在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 7．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 题型7：圆与平面直角坐标系 8．如图，以点为圆心的圆，交轴于、两点（在的左侧），交轴于、两点（在的下方），，将绕点旋转，得到．    (1)求、两点的坐标； (2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点的坐标； (3)动直线从与重合的位置开始绕点顺时针旋转，到与重合时停止，设直线与交点为，点为的中点，过点作于，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 题型8：圆与二次函数 9．如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若点G为抛物线上一点，当时，直接写出点G的坐标； (3)如图2若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，经过A，B，C三点．经过圆心T的直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．求的值． 10．如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且． (1)若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标； (3)如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型9：新定义题—直线与圆的位置关系 11．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和一点，给出如下定义：若直线与只有一个公共点，，则称点是弦的“切割点”． (1)已知点． ①若点为弦的“切割点”，则______，点的坐标为______； ②若弦与轴平行且只有一个点为弦的“切割点”，则的取值范围是______； (2)已知点为直线上一点，若存在的弦．当时，点为弦的“切割点”．直接写出的取值范围． 题型10：内心 12．如图：是的直径，为上一点，平分∠，是的内心，与相交于，连接、、． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，，求的半径． 题型11：圆与锐角的三角函数 13．如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题： (1)求证：． (2)求的值． (3)如图2，在上取一点F，使． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值． 题型12：弧长与扇形面积综合 14．如图，在中，，，，O是的中点，D是线段上一点，以O为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到扇形． (1)如图1，若点D与点B重合， ①判断：点C 上（填“在”或“不在”）； ②求A，E两点间的距离． (2)如图2，设交于点，交于点G，若于点O，求阴影部分的面积； (3)当扇形所在圆与的边相切时，求的长． 15．如图1、图2、图3和图4、是半圆O的直径，且，点C以每秒个单位长的速度从点B沿运动到点A． (1)连接，．求图1中的阴影部分面积和的最小值S； (2)如图2，过点C作半圆O的切线，点P在射线AB上，且，过点P在射线的上方作．且．当点Q与点C重合时，求点H到射线的距离； (3)如图3和图4，在点C运动过程中，将半圆O沿折叠，与交于点D． ①连接．若，求的度数； ②当点D落在半径上（包括端点O，A）时，求点C运动的时长； ③如图4，连接，过点A作，与的延长线交于点E，延长交于点F，连接．当时，请直接用含d的式子表示． 题型13：情景探究题 16．阅读理解： (1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_____； ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为_______； (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为________； (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 17．（1）【问题情境】是外一点，是上一动点．若的半径为，且，则点到点的最短距离为 ． （2）【直接运用】如图1，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ． （3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边，向终点，运动，连接和交于点，求点到点的距离最小值． （4）【灵活运用】如图3，的半径为，弦，为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆（压轴专练）（十三大题型） 题型1：“有直径现直角” 1．如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．    (1)如图1，若，的度数为，求的长． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比． 【答案】(1)1 (2) (3)1或2 【分析】（1）连接，等弧等角，得到，三线合一，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可； （2）同法（1）求出，进而求出的长，即可得解； （3）分和，两种情况进行讨论求解． 【解析】（1）解：连接，则：， ∵点是中点，的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则：， ∵为直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， 同法（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当时，如图： ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴ ，度数均为， ， ， ， ∵， ， ； 当时，，连结， ∵， ， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，为的中点， ∵， ∴， ， ∵，为的中点， 是的中位线， ， ， ． 综上：与的面积比为1或2． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，圆周角定理，含30度的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，三角形的中位线定理，综合性较强，属于中考几何常见的压轴题．熟练掌握相关定理和性质，是解题的关键． 题型2：“有垂径现三角形” 2．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 【答案】(1)8 (2)的长度不发生变化； (3) 【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，根据垂径定理，得到，得． （2）连接，根据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可． （3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可． 【解析】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴圆的半径为5，    ∵， ∴， ∴． （2）的长度不发生变化；．理由如下： 如图，连接，    ∵直径，，，弦，， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故的长度不发生变化；． （3）如图，连接， ∵，    ∴点H的运动轨迹是以为直径的上的， 当D、H、N三点共线时，取得最小值， 连接，交于点M， 故当H与M重合时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， 过点N作于点F， 则， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键． 题型3：题型1和题型2综合 3．已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）连接、，可证是的垂直平分线，即可求证； （2）连接，可求，由此可求，由，即可求解； （3）连接、，设，可得，从而可求，，进而可求，可证 ，可得，可求，即可求解． 【解析】（1）证明∶如图，连接、， ， ， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， 点H为弧的中点， ， ， ， ， ， ， 故的度数为； （3）解：如图，连接、， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，线段平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握性质，能根据题意作出适当的辅助线是解题的关键． 题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系 4．如图，在中，是上一动点，连接，以为直径的交于点，连接并延长交于点，交于点，连接． (1)若，求证：点是的中点． (2)当点移动到使时，求的值． (3)当点到移动到使时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据题意求得，再利用勾股定理即可得到本题答案； （3）根据题意证明出，利用勾股定理得到是等边三角形，再利用含角的直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【解析】（1）解：证明：连接， ， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （2）解：解：连接． ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：连接． ， ∵， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质和判定，等边三角形性质及判定，含角的直角三角形三边关系． 题型5：题型1-4综合 5．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)与相切，证明见解析 (3) 【分析】该题主要考查了圆周角定理，切线的性质“切线垂直于过圆心的直径或（半径）”和判定，三角形中位线的性质“三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半”和判定，解题的关键是做出对应辅助线； （1）连接，根据弧与弧相等，得出，根据是的直径，得出，证出，即可求证； （2）连接，根据，得出，证出是的中位线，得出，根据，证出，由等量代换得出，根据平行线性质得出，即可证明与相切； （3）连接，根据弧与弧相等证出，根据，得出，结合（2）得出，证出是的中位线，得出， 设长为x，则，表示出，，，根据是的直径，得出，在中，运用勾股定理解出x，得出，，在中，运用勾股定理解出； 【解析】（1）证明：连接， ∵弧与弧相等； ∴， ∵是的直径； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）与相切， 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O是的中点， 是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （3） 解：连接， ∵弧与弧相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， 设长为x，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴在中，， 即， 解得或（舍）， ，， 在中，， 解得． 题型6：动点问题（列方程；分类讨论） 6．如图1，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（），连接． (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②当与边相切时，则 ； ③在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②；③或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质； （1）直接证明结合可得； （2）①由，可得，由可得，再证明即可； ②根据可得为直径，当与边相切时切点为，此时，再利用面积列方程求解即可； ③先求出，，再分情况讨论，当时，； 当时，，分别代入列方程求解即可． 【解析】（1）证明：由题意得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①． 证明：∵经过点D、C、E三点， ∴， ∴， ∵由（1）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵与边相切， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得； ③由可得， ∴ 由半径相等可得， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 综上所述，当与相似时，或． 7．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3)①0或或；② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【解析】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切； ②解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 题型7：圆与平面直角坐标系 8．如图，以点为圆心的圆，交轴于、两点（在的左侧），交轴于、两点（在的下方），，将绕点旋转，得到．    (1)求、两点的坐标； (2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点的坐标； (3)动直线从与重合的位置开始绕点顺时针旋转，到与重合时停止，设直线与交点为，点为的中点，过点作于，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)矩形， (3)不变， 【分析】（1）连接，根据等边对等角，结合三角形的外角求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，得到点，B点的坐标即可； （2）连接并延长，交圆于点，连接，即可得到四边形，根据旋转的性质，推出四边形为矩形，过点M作交于点N，证明，可得点M的坐标； （3）结合题意，得；再结合点Q是的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得，从而推导得点E、M、B、G在以点Q为圆心、为半径的圆上，故得；再根据，，即可求解． 【解析】（1）解：如图，连接．    由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ； （2）解：如图，四边形是矩形，    由题意，得：，， ∴三点共线， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵为直径， ∴， 四边形是矩形． 过点M作交于点N．    在和中， ， ， ，， 又， 点M的坐标为； （3）解：如图，    结合（2）的结论，四边形是矩形，， ， ， ， 点Q是的中点， ， 点E、M、B、G在以点Q为圆心、为半径的圆上， ． ，， ∴， ． 在旋转过程中的大小不变，始终等于． 【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证． 题型8：圆与二次函数 9．如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若点G为抛物线上一点，当时，直接写出点G的坐标； (3)如图2若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，经过A，B，C三点．经过圆心T的直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．求的值． 【答案】(1) (2)， (3)；详见解析 【分析】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数与角度问题，二次函数与定值问题； （1）由求出，，然后将这三个点代入计算即可； （2）取点，，交轴于，证明，，得到，点为直线、与抛物线的交点，分别求直线、解析式，再与二次函数解析式联立求交点即可； （3）先求出圆心，再设，，求出经过的直线解析式，再与抛物线联立得到，推出，，再求出解析式及其与轴于点，得到，同理，再代入计算即可． 【解析】（1）解：， ∴， ∴， ，， 将，，代入得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：取点，，交轴于，则，，， ∴，， ∴， ∴点为直线、与抛物线的交点， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴即直线与抛物线的交点点的坐标， 同理直线与抛物线的交点点的坐标， ∴点的坐标，； （3）解：；理由如下： 经过三点， 圆心在的垂直平分线，与的垂直平分线的交点处， ． 为抛物线上两点， 设，， 设经过的直线解析式为， 联立得： 即：， ，． 为抛物线的顶点， ， ， 表示为，即： 直线交轴于点， 令，得 解得， 同理， ． 故的值为． 10．如图，已知抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴交于C，且． (1)若点A的坐标是，C的坐标是，试求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，直线与抛物线交于D、E两点，点F在直线下方的抛物线上，若以F为圆心作，满足与直线相切，求当的半径最大时，点F的坐标； (3)如图2，若，M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接、、，交x轴于点P，点K是的中点，若的内心在x轴上，K的纵坐标为n，试探究的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)定值， 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点坐标代入，即可求解； （2）过F作于H，过F作轴，交直线于Q，由切线的性质得H在上，，由勾股定理得，设，，可求，即可求解； （3）设，设抛物线解析式为，将代入得，，设直线解析式为，联立直线与抛物线的解析式得，，同理可求出，由中点得，待定系数法得直线解析式为，可求出 ，由可求出，即可求解． 【解析】（1）解：A的坐标是， ， ， ， 可设抛物线的解析式为， ， ， 解得：， ， 故抛物线的解析式为； （2）解：如图，过F作于H，过F作轴，交直线于Q， 为的切线， H在上，， 直线， ， ， 设，， ， ， 当时， ， ， ， F； （3）解：定值， 设， ，， ，， 设抛物线解析式为， 将代入得， ， 的内心在x轴上， ， 设直线解析式为：， 联立， 解得：， ， 平分，且在轴上， 直线与直线关于轴对称， 同理设直线解析式为：， 同理可求出， K是的中点， ， ， ， 设直线解析式为：，则有 ， 解得：， 直线解析式为：， 当时， ， 解得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，切线的性质，三角形的内心定义，勾股定理等；能熟练使用待定系数法求函数解析及辅助未知数表示点的坐标，掌握切线的性质，并能利用二次函数性质求最值是解题的关键． 题型9：新定义题—直线与圆的位置关系 11．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和一点，给出如下定义：若直线与只有一个公共点，，则称点是弦的“切割点”． (1)已知点． ①若点为弦的“切割点”，则______，点的坐标为______； ②若弦与轴平行且只有一个点为弦的“切割点”，则的取值范围是______； (2)已知点为直线上一点，若存在的弦．当时，点为弦的“切割点”．直接写出的取值范围． 【答案】(1)①2；；② (2) 【分析】（1）①过点A作轴于C，连接，解得到，则，根据题意可得与相切，则，进而可得，求出，则；设与轴交点为，证明为等边三角形，得到，则，再由，可得点B与点重合，即O、B、M三点都在y轴上，则．②如图，先由平行线的性质得到，再由 “切割点”的定义得到，当点在下方时，可得，当点在上方时，可得，再由只有一个点为弦的“切割点”，可得． （2）在取弦，使得，此时点为弦的“切割点”，连接，则，证明是等边三角形，得到，则，可求出，则可利用勾股定理求出，故点在以点O为圆心，半径为的圆上运动；如图所示，在取弦，使得，此时点为弦的“切割点”，连接，证明是直角三角形，且，得到，则，即可推出是等腰直角三角形，得到，则，故点在以点O为圆心，半径为的圆上运动；综上所述，当时，点Q的轨迹是以O为圆心，半径为和半径为两个圆组成的圆环，那么直线一定要与以O为圆心，半径为和半径为两个圆组成的圆环有交点；求出当直线与以O为圆心，半径为的圆相切时b的值即可得到答案． 【解析】（1）解：①如图，过点A作轴于C，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴点M在y轴上， ∴， ∵点为弦的“切割点”， ∴与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设与轴交点为， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点为弦的“切割点”， ∴， ∴点B与点重合，即O、B、M三点都在y轴上， ∵， ∴． ②如图， ∵轴， ∴， ∵弦与轴平行且只有一个点为弦的“切割点”， ∴与相切于A， ∴， ∴， 当点在下方时， ∴， ∴， ∴； 当点在上方时，则， ∴， ∴， ∵只有一个点为弦的“切割点”， ∴． （2）解：如图所示，在取弦，使得，此时点为弦的“切割点”，连接， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点O为圆心，半径为的圆上运动； 如图所示，在取弦，使得，此时点为弦的“切割点”，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点在以点O为圆心，半径为的圆上运动； 综上所述，当时，点Q的轨迹是以O为圆心，半径为和半径为两个圆组成的圆环， ∵点为直线上一点， ∴直线一定要与以O为圆心，半径为和半径为两个圆组成的圆环有交点； 如图所示，当直线与以O为圆心，半径为的圆相切于点H（x轴上方）时，连接，设直线与x轴，y轴分别交于K、L，则，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理当直线与以O为圆心，半径为的圆相切时，切点在x轴下方时，， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了圆与一次函数综合，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（1）的关键在于正确理解定义，解（2）的关键在于正确找到点Q的运动轨迹。 题型10：内心 12．如图：是的直径，为上一点，平分∠，是的内心，与相交于，连接、、． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5． 【分析】（1）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再根据圆周角定理可得，然后根据圆周角定理、三角形的外角性质、三角形内心的定义可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先根据圆周角定理可得，再根据相似三角形的判定可得和，然后根据相似三角形的性质即可得证； （3）如图（见解析），先根据三角形内切圆的性质可得，再根据正切三角函数可得，设，从而可得，然后根据线段的和差、直角三角形的面积公式可得，最后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得出答案． 【解析】（1）如图，连接， 平分， ， ， 由圆周角定理得：， ， 点是的内心， ， ， ， ； （2）由圆周角定理得：， 在和中，， ， ，即， 由圆周角定理得：， 在和中，， ， ，即， ， ， ， 即； （3）如图，设内切圆与的切点分别为点，连接， 则， 是的直径， ， ， 设，则， ， 设，则， ， ， ，解得， ， ， ，即， 解得， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， ， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内心等知识点，较难的是题（3）熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键． 题型11：圆与锐角的三角函数 13．如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题： (1)求证：． (2)求的值． (3)如图2，在上取一点F，使． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①，理由见解析；② 【分析】（1）连接OA，根据是的切线，得出，进一步推出，得出，由圆周角定理得，即可得到； （2）根据点A是的中点即条件推出，由（1）得，证明出，即可得到； （3）①判断：，根据等角对等边即可证明；②连接OI，OB，先得出点A，I，O三点共线，进一步求出．设，，利用勾股定理，解得，，，，作，由题意得，进一步证明出，得出，作，利用勾股定理求出，即可求解． 【解析】（1）解：连接OA，∵是的切线， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵点A是的中点，∵， ∵四边形ABCD内接于， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． （3）解：①判断：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴． ②如上图，连接OI，OB． ∵，， ∴I是BD中点， ∴， ∴点A，I，O三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 设，， 则，， ，即， 解得， ∴，，， 作， ∵点F为角平分线交点， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 作，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线，圆周角定理，三角形相似的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关知识点，添加适当的辅助线，利用相似建立等式求解． 题型12：弧长与扇形面积综合 14．如图，在中，，，，O是的中点，D是线段上一点，以O为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到扇形． (1)如图1，若点D与点B重合， ①判断：点C 上（填“在”或“不在”）； ②求A，E两点间的距离． (2)如图2，设交于点，交于点G，若于点O，求阴影部分的面积； (3)当扇形所在圆与的边相切时，求的长． 【答案】(1)①在 ②10 (2) (3)或 【分析】（1）①根据，可判断：点C在上． ②根据，，，得到，结合O是的中点，得到，结合得到，从而判定是等边三角形，即可计算； （2）根据，，，得得到，根据得到，从而得到，利用扇形面积公式计算解答即可； （3）分扇形所在圆与边相切，求的长即可． 【解析】（1）∵O是的中点，， ∴， ∴点C在上． 故答案为：在． ②∵，，， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）当所在的圆与相切于点时， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的长为； 当所在的圆与相切于点时， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，解直角三角形，切线的性质，弧长公式，扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数，切线性质，弧长及其扇形的面积是解题的关键． 15．如图1、图2、图3和图4、是半圆O的直径，且，点C以每秒个单位长的速度从点B沿运动到点A． (1)连接，．求图1中的阴影部分面积和的最小值S； (2)如图2，过点C作半圆O的切线，点P在射线AB上，且，过点P在射线的上方作．且．当点Q与点C重合时，求点H到射线的距离； (3)如图3和图4，在点C运动过程中，将半圆O沿折叠，与交于点D． ①连接．若，求的度数； ②当点D落在半径上（包括端点O，A）时，求点C运动的时长； ③如图4，连接，过点A作，与的延长线交于点E，延长交于点F，连接．当时，请直接用含d的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)①；②秒；③ 【分析】（1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可； （2）过点H作于H，连接，利用勾股定理求出，证明，得出，即可求解； （3）①设点D在上的对应点为，连接，，，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； ②当D和O重合时，连接，设D在上的对应点为，连接与交于M，则，根据翻折可得，则，求出，利用等腰三角形三线合一性质求出，进而求出，利用弧长公式求出的长度，即可求解； ③连接，利用勾股定理求出，证明，利用正切定义可得出，利用弧、弦的关系可得出，则，证明，得出，即． 【解析】（1）解：设，， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，即， ∴， ∴ 即， ∴阴影部分面积和的最小值为； （2）解：过点H作于H，连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴， 即点H到射线的距离为； （3）解：①如图 ，设点D在上的对应点为，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； ②当D和O重合时，连接，设D在上的对应点为，连接与交于M， 则， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D落在半径时，点C运动的时长为秒； ③连接， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∶ ∴， ∵与均是所对的弦， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ 题型13：情景探究题 16．阅读理解： (1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_____； ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为_______； (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为________； (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 【答案】(1)①；②2 (2)2 (3)点P的运动路径长为． 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【解析】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． ∴最小值为2， 故答案为：2； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 17．（1）【问题情境】是外一点，是上一动点．若的半径为，且，则点到点的最短距离为 ． （2）【直接运用】如图1，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ． （3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边，向终点，运动，连接和交于点，求点到点的距离最小值． （4）【灵活运用】如图3，的半径为，弦，为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是 ． 【答案】（1）3（2）（3），理由见解析（4） 【分析】（1）当点是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点，当、、在同一直线上时，点到点的最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【解析】解：（1）当点是与的交点时，为最短， ， 故答案为：； （2）如图，连接，当、、在同一直线上时，点到点的最短， ， 的最小值为 故答案为：； （3）， ， ， ， ， ， 故点点在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点即为最小时的位置； ， 的最小值为； （4）连接 ， 是等边三角形， ， ， ，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，， 点在以的上， 当时，点到的距离最大， 是等边三角形， 的最大面积为． 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$