专题08 一元二次方程应用常考题型（5大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题08 一元二次方程应用常考题型 增长率问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为 ． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 盈利问题 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在“新冠”疫情期间，全国人民众志成城，同心抗疫，某商家决定将一个月内获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种销售方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下的售价x（单位：元/件，）满足函数关系式． (1)当x为何值时，线下利润为4800元？ (2)若线上每件的售价始终比线下便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 图形问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为米，宽为米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． (1)若围成的花圃面积为，求的长； (2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校决定在一块长，宽的矩形荒地上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图①所示，其中阴影部分表示花园． (1)请你帮小明求出图中的； (2)小明的方案具有如下3个特征： ①花园既是轴对称图形又是中心对称图形； ②花园的边沿与矩形荒地的四边都有公共部分； ③点都在花园外部． 请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方案，并说明方案的合理性．（要求：在图②中画出示意图，将花园涂成阴影，并在图上标出必要的字母和数据．） 行程问题 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 工程问题 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 分段计费问题 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 几何动点问题 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，运动时间为ts，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：    (1)（用含t的式子表示）______ ，______ ，t的取值范围是______． (2)几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？说明理由． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿线段向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是3cm/s，点的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，，两点之间的距离是多少? (2)当的面积为时，求的值； (3)当为多少时，以，，为顶点的三角形与相似? 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元二次方程应用常考题型 增长率问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据列出方程即可． 【详解】根据题意，得． 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为； 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)9人 (2)1000人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：每轮传染中平均每个人传染了9个人． （2）（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病． 盈利问题 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：（1） （1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据三月份销售256件，五月份的销售量达到400件，列出方程进行求解即可； （2）设降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：应降价5元． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在“新冠”疫情期间，全国人民众志成城，同心抗疫，某商家决定将一个月内获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种销售方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下的售价x（单位：元/件，）满足函数关系式． (1)当x为何值时，线下利润为4800元？ (2)若线上每件的售价始终比线下便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1)当，线下利润为4800元 (2)当x为17时，线下和线上的月利润总和达到最大，最大利润为6900元 【分析】本题考查二次函数、一元二次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据利润公式，利润=（售价-成本）×销售量，列方程解题； （2）根据题意，分别列出线上、线下的利润，再求和，结合配方法，求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 解得：， ， 当时，线下利润为4800元； （2）解：设线上和线下的月利润总和为w元，则 ， 时，w随x增大而增大 当时，w有最大值6900元， 答：当元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大值6900元． 图形问题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．将原来的道路等价为十字形道路，或是等价为草坪外围的形道路，即可得出草坪的长为  ，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：如下图， 则草坪的长为 ，宽为 ， 根据题意得 ． 故答案为：A． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为米，宽为米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 【答案】（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）小路的宽为 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用． （1）①通过平移的性质，猜想即可；②直接利用两条小路的面积之和减去重叠的小正方形的面积求出甲方案中的面积，根据平移的性质，用大长方形的面积减去平移后得到的长方形的面积计算乙方案中的面积；③同法②，列出代数式即可； （2）设小路的宽为，根据题意，列出方程进行求解即可； 正确的识图，找准等量关系，列出代数式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等， 故答案为：四种方案小路面积的大小相等； ②甲：； 乙：， 故答案为：，； ③甲：， 乙：， 故答案为：，； （2）设小路的宽为，则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． (1)若围成的花圃面积为，求的长； (2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)不能围成花圃，理由见解析． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【详解】（1）解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； （2）解：不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期末）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校决定在一块长，宽的矩形荒地上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图①所示，其中阴影部分表示花园． (1)请你帮小明求出图中的； (2)小明的方案具有如下3个特征： ①花园既是轴对称图形又是中心对称图形； ②花园的边沿与矩形荒地的四边都有公共部分； ③点都在花园外部． 请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方案，并说明方案的合理性．（要求：在图②中画出示意图，将花园涂成阴影，并在图上标出必要的字母和数据．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查矩形面积公式，一元二次方程与实际问题，轴对称中心对称图形定义． （1）根据题意列出方程即可求得的值； （2）设计出符合题意的方案，再分别求出面积加以验证即可得到本题答案． 【详解】（1）解：依题意得： ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； （2）解：矩形的面积为， 阴影部分的面积等于， 方案一：如图，分别为矩形各边的中点， 则阴影部分面积； 方案二：如图，分别以为圆心，为半径画弧， 由：， 得：， 方案三：如图，阴影部分面积， 行程问题 1．（23-24九年级上·福建宁德·期末）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【答案】(1) (2)该车刹车后秒内向前滑行了米 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：依题意，， ，， 则 依题意，， 即 解得：或（舍去） 答：该车刹车后秒内向前滑行了米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键． 工程问题 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米 （1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？ （2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值． 【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32． 【分析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，根据总工作量大于等于39000米列出不等式求解即可； （2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可． 【详解】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为x小时， 根据题意得：， 解得：x≥300， 答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时； （2）由题意得：300×（1+3.2%）×30+60×（1-%）×300×（1+%+30%）=39000+9000， 整理得：， 解得：或， ∵﹥0， ∴=， 故的值是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确理解，找出合适的等量关系或不等关系，列出方程和不等式是解题的关键． 分段计费问题 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 【答案】(1)15； (2)乙公司人． 【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案； （2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数． 【详解】（1）解：设甲公司有人， ， ， （人）． 故答案为： （2）设乙公司人， ， ，， 若，每人费用：，不符舍去， 若，每人费用：，符合， 答：乙公司人． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 几何动点问题 1．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，运动时间为ts，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：    (1)（用含t的式子表示）______ ，______ ，t的取值范围是______． (2)几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)，， (2)秒 (3)不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理， （1）线段长度等于时间与速度的乘积，结合，当点Q运动到点C时，，即可作答； （2）根据，由勾股定理进行列式，作答即可； （3）根据面积列式得，再求出，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：因为点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， 所以，， 因为当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动,， 所以， 故t的取值范围是； （2）解：由（1）知，， 因为，， 所以， 即， 整理得， 解得（舍去）或 因为点Q到点C时，时间为， 所以秒后，的长度等于； （3）解：不能，理由如下： 因为的面积等于底乘高的一半， 即， 故， 整理得， 则 该方程无实数根， 所以的面积不能等于． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿线段向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是3cm/s，点的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，，两点之间的距离是多少? (2)当的面积为时，求的值； (3)当为多少时，以，，为顶点的三角形与相似? 【答案】(1) (2)或 (3)当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的性质等知识点．掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分别求出，，利用勾股定理即可求出，两点之间的距离； （2）由题意分别表示出，与时间的关系，根据即可求解； （3）根据，分或两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，. 在中，由勾股定理得. （2）解：由题意得，，则， 的面积为， ，解得或. （3）解：由题意得，，则. 以，，为顶点的三角形与相似，且， 分或两种情况. ①当时，有， 故，解得. ②当时，有， ，解得. 故当或时，以，，为顶点的三角形与相似. 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或 (2)4秒或6秒 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知识点，注意计算的准确性是解题关键． （1）过点P作于E，根据四边形均为矩形可得，，据此即可求解； （2）分类讨论①当点P在线段上和②当点P在线段上两种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作于E， 则四边形均为矩形， ∴， 设x秒后，点P和点Q的距离是， ∵， ∴， 由题意得， ， ∴，， 由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意. ∴经过或，P、Q两点之间的距离是. （2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为. 设经过后的面积为. ①当点P在线段上（如图1），即时， ，连接， ∴， 即， 解得； ②当点P在线段上（如图2），即时，连接， 则，， 则， 解得，（舍去） 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$