精品解析：湖北省黄石市第六中学2024-2025学年高二上学期9月考试数学试题

黄石六中2024-2025学年度上学期高二年级九月考试 数学试题 命题人： 审题人： 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将正确答案填写在答题卡的指定位置，答案写在其它地方的无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的四则运算可计算出，即可得，即可得解. 【详解】， 故，故在复平面内对应的点在第四象限. 故选：A. 2. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式可求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【详解】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 5. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km. A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值． 【详解】由已知，中，，， 由正弦定理，， 所以， 在中，， 由正弦定理，， 所以， 在中，由余弦定理，，解得：． 所以与的距离. 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 6. 已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据知O、A、B、C是不共面的四点，则对平面内任一点P都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解. 【详解】因为，且P、A、B、C四点共面， 则，解得， 故选：C. 7. 已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】依题意总平均数等于总数据和除以总数据的个数，直接解出即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故选：B. 8. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，其中，所以，，因为，所以，所以，由可得，所以，则 ，当时，取得最大值，所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（    ） A. 直线直线 B. 若，则平面 C. D. 若，则A1A与AC夹角的余弦值为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据空间向量计算出，得到，A正确；B选项，作出辅助线，证明出平面，得到，根据得到为直角三角形，即，结合，证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到；D选项，利用空间向量计算出，从而得到. 【详解】对于A，因为，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，所以，A正确， 对于B，连接， 由选项A知， 因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，由于， 所以， 所以为直角三角形，即，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，，因为在菱形中，， 所以， 因为， 所以 ， 所以，所以D错误， 故选：CD. 10. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果． 【详解】对于A：， 与不是共线向量，故A错误； 对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确； 对于C：， ∴，故C错误； 对于D：， 设平面的法向量为， 则，取，得，故D正确． 故选：AC． 11. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】列出两次出现的点数组，由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事件的概率公式可判断BCD选项. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有种， 表示事件“两次掷出的点数相同”, 表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数” ，故B正确； 表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种： ，故C正确； 事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；， 事件“两次掷出的点数相同”共6种：， 表示事件“两次为相同的偶数”共3种： ， 即，与相互独立，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则____________ 【答案】3 【解析】 【分析】由线面垂直可得，再结合向量平行的坐标表示运算求解即可. 【详解】因为直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 若，则，可得，解得， 所以. 故答案为：3. 13. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的坐标，根据空间点到平面的距离的向量求法，即可求得点到平面的距离. 【详解】由题意可得， 又是平面的法向量， 则点到平面的距离为， 故答案为： 14. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________，方差为_________. 【答案】 ①. 7.5 ②. 【解析】 【分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数和方差. 【详解】由题意可知：极差为，平均数为， 则，解得， 所以中位线为； 方差为. 故答案为：7.5；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据的坐标表示求； （2）由（1）可得坐标，进而求出的坐标，即可求模长； 【小问1详解】 因为， 若，则，可得，即， 若，则，可得； 所以，. 【小问2详解】 由题意可知：，，则， 所以. 16. 在中，内角、、所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）已知，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的正弦定理和三角恒等变换即可求出， （2）根据三角函数的正弦定理和余弦定理求出,在由三角形面积公式得出结果. 【小问1详解】 方法1：， 由正弦定理： 可得；而 ，故； 又， ，， 且， ， ，. 方法2： ， 由正弦定理：， 可得；即； 其中， ，即； ， ，. 【小问2详解】 方法1：由正弦定理： ， 由余弦定理：， 故； 解得 由（1）可知， ， . 方法2：， ，， 得， ， ，， ，即， 等边三角形， . 17. 湖北省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）； （2）采用分层随机抽样的方法从成绩为 的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率； 【答案】（1）入围分数应设为76.25分 （2） 【解析】 【分析】（1）求各组频率，分析可知入围分数为，列式求解即可； （2）求各组抽取的人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：每组的频率依次为， 因为， 设入围分数为， 则，解得， 所以入围分数应设为76.25分. 【小问2详解】 在内应抽取人，设为； 在内应抽取人，设为； 再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查， 样本空间， 设至少有1名学生成绩不低于90为事件M， 则， 即，所以. 18. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）用线面垂直的判定定理证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明:因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断得到⊥平面，⊥，同理可证⊥平面，⊥，从而可证平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由（1）知，平面的一个法向量为，求出平面的法向量为，利用夹角余弦向量公式求出答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面的夹角余弦值为. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出向量，利用空间向量求点到直线的距离； （2）先证明再转化为点到直线的距离求解； （3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解； （4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 因为，则， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 因为，，即， 可知，即 所以直线到直线的距离即为点到直线的距离 【小问3详解】 因为，. 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即. 所以点到平面的距离为. 【小问4详解】 因为，平面，平面，所以∥平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 由（3）可知平面的一个法向量为，且 则到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄石六中2024-2025学年度上学期高二年级九月考试 数学试题 命题人： 审题人： 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将正确答案填写在答题卡的指定位置，答案写在其它地方的无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 2. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km. A. B. C. D. 2 6. 已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（ ） A. 12 B. 10 C. 2 D. 11 8. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（    ） A. 直线直线 B. 若，则平面 C. D. 若，则A1A与AC夹角的余弦值为 10. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 11. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则____________ 13. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________. 14. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________，方差为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值； （2）求. 16. 在中，内角、、所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）已知，，求的面积. 17. 湖北省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）； （2）采用分层随机抽样的方法从成绩为 的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率； 18. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）用线面垂直的判定定理证明：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $