复习01 空间中的夹角、距离问题（六大题型）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习01 空间中的夹角、距离问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求点线距离】 【题型2 求点面、线面、异面直线的距离】 【题型3 求空间夹角】 【题型4 已知空间夹角求其它量】 【题型5 空间距离、夹角的探索性问题】 【题型6 空间距离、夹角的最值范围问题】 知识点 1 ：空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点 2 ：空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 难点 1 ：夹角、距离的最值范围问题 函数法：大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数最终利用代数方法求目标函数的最值 变量分析法：从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法 难点 2 ：夹角、距离的探索性问题 建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 假设的方式有： ①若在直线上，则,使得 ②在射线上，则,使得 ③在线段上，则,使得 ④在平面上，则,使得 题型归纳 【题型1 求点线距离】 例1．已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则 ． 【答案】或 【详解】由题意得，又， 所以，， 所以点到直线的距离为， 解得或. 故选：或. 例2．在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 得，， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 变式1-1．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为BD中点，则点到直线EF的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以点到直线EF的距离为， 故选：A. 变式1-2．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，则点到直线AE的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则,，， ，则方向的单位向量， 那么，所以F到直线AE的距离， 故选：D． 变式1-3．如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点. (1)求证：平面； (2)求到直线BD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，在三棱柱中，连接交于，再连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是中点，所以， 因为平面A1BD，平面，所以平面. （2）因为， 由余弦定理得， 所以，可得， 又由平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为，故两两垂直， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，， 且， 则，，， 所以C1到直线BD的距离为. 【题型2 求点面、线面、异面直线的距离】 例3．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，， 所以，， 因为，所以，即，所以， 又，所以，当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点Q到平面的距离. 故选：A    例4．如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 变式2-1．如图，在正四棱锥中，PA＝AB＝1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接BD，与AC相交于点O，连接PO，则AC⊥BD， 因为四棱锥为正四棱锥，所以OP⊥底面ABCD， 以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 正方形ABCD的边长为1，则， 因为PA＝1，所以， ，，， 当为直线的公垂线时，取得最小值， 即， 故， 所以，解得：， 此时，三棱锥的高即为， 所以. 故选：A 变式2-2．在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系，    则,设, 则， 因为,所以,即， 所以,又, 则， 当时,取得最小值， 此时,即， 所以, 设平面的一个法向量为， 则即, 令,解得,所以, 则点到平面的距离为 故答案为：. 变式2-3．三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    【题型3 求空间夹角】 例5．（多选）如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 例6．如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E. 因为，，所以，，， 因为，， 所以 ， 即， 所以，所以. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 平面与平面夹角的余弦值. 变式3-1．在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析． (2)； (3)． 【详解】（1）底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又侧面为正三角形，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，，则， ，平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正弦值为.， 所以，解得（负值舍去）， ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为； （3）由（2）知，设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ，，， 设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为， 则，从而． 所以平面与平面所成夹角的正弦值为． 变式3-2．如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.    (1)证明：平面； (2)已知，，求CD与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以 , 平面，平面， 所以平面；    （2）因为，， 所以，所以， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，   ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的法向量为， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 变式3-3．已知四棱锥，，，，，是上一点，．    (1)若是中点，证明：平面． (2)若平面，求面与面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，设为的中点，连接，， 因为是中点，所以，且， 因为，，，，，， 所以四边形为平行四边形，，且， 所以，且， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）由（1）得为平行四边形，则， 因为平面，所以平面，，，相互垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设平面与平面夹角为， 则． 【题型4 已知空间夹角求其它量】 例7．如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）因为平面平面ABCD， 所以， 又，所以 又平面PAD 所以平面PAD， 又平面PCD， 所以平面平面PCD. （2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系 设，则， 则 设， ， 假设存在满足，因为等价于， 解得，所以不存在 （3）因为，所以，   ， 设，其中，又， ， 设平面PBC法向量，依题意，即 令则，所以， 因为PD与平面PBC成角大小，所以 或， 即 又，此方程组无解 综上可得. 例8．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求的长（用表示）； (2)为何值时，的长最小？ (3)当平面与平面夹角时．求的长． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为，为正方形，所以， 又平面平面，所以， 如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， 分别作，垂足分别为， 易知， 因为，由相似比可得， 所以， ． ； （2）， 当时，最小，最小值为； （3）， 设平面与平面的法向量分别为， 则， ， 令，得， 令，， 因为平面与平面夹角， 所以， 即，解得（增根已舍去）， 所以此时. 变式4-1．如图，在四棱锥中，，  ，，平面平面． (1)求证：平面； (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）若分别为中点，连接， 由，，则为直角梯形，且为中位线， 所以，且， 由，则，又，可得， 面面，面，面面， 则面，面，故，则， 由面，则，又，均在面内， 所以面，面，可得， 所以，故，即， 由，则，而均在面内， 所以平面. （2）由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系， 所以， 令且，则， 则，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 由题意， 整理得，故，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 变式4-2．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD． (1)求证：平面ABCD； (2)若，点在棱PD上，且二面角的大小为． ①求证：； ②设是直线CD中点，求直线MQ与平面MAC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析 ；② 【详解】（1）在四棱锥中，因为底面ABCD为矩形，所以． 因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD， 所以平面 因为平面PAD，所以， 因为平面ABCD，且， 所以平面ABCD． （2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，所以， 因为点在棱PD上，所以设（或显然不满足题设）， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以 又是平面ABC的一个法向量， 所以， 因为二面角的大小为，所以， 即，解得 此时，， 又，所以， 所以，即 ②因为是直线CD的中点，则， 由①可得，所以，平面MAC的一个法向量． 设直线MQ与平面MAC所成角为， 则， 即直线MQ与平面MAC所成角的正弦值为． 变式4-3．如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若为钝角，且二面角的大小为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N， 平面平面ABC，平面平面，平面ABC， 平面PAC，又平面PAC，，同理可证， 又，平面ABC， 平面ABC； （2）法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ， 平面ABC，平面ABC，， 又，平面PAC， 平面PAC，则为二面角的平面角，即 设，， 则，， 所以，又，所以， 所以，由得， 整理得，又，解得或（舍去）， 综上. 法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，， 则，，，， 易知平面PAC的法向量为， 设面PAB的法向量为， 则， ， 则， 整理得，由， 得，解得或（舍）， 综上，. 【题型5 空间距离、夹角的探索性问题】 例9．如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，    所以. 又因为平面平面， 平面， 所以面； （2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为， 由，得 ， 点到平面的距离 （3）设 所以点到面的距离为定值 . ， 解得：或. 例10．如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. (1)试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 【答案】(1)为中点，证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，则，所以，当为的中点时，、、、四点共面. （2）取中点，连接、， 因为，，则，所以，， 则为等腰直角三角形，所以，，且， 因为，，为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，所以，则， 因为，则，所以，，， 因为，、平面，所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. （3）假设在棱上存在点满足题设条件， 设点，，， 设平面的一个法向量为，则  ， 取，则，，故， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，故， 设半平面与半平面所成二面角的平面角为，为锐角， 所以， 所以，即，（舍去）， 此时，，则， 故在棱上存在点，当时， 半平面与半平面所成二面角的余弦值为. 变式5-1．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在满足题意的点，此时 【详解】（1）由平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，有，故， 建立如图空间直角坐标系，   ，得， 易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， ，令，得，， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知，则，假设存在满足题意的点. 设，则， 得，即，所以， 故点到平面的距离为， 即，解得或（舍去）， 所以存在满足题意的点. 此时，所以. 变式5-2．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，或，证明见解析. 【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点，   ，，底面四边形是矩形，为棱的中点， ，，则，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，可得平面. （2）在棱上存在点，且或，证明如下， 在等边中S在平面上的射影为中点P， 所以面，则是四棱锥的高. 设，则，结合，知矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，在面ABCD内过点P作垂线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    故， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，. 由题意， 整理得，解得或， 所以存在点，或时，使直线与平面所成角的余弦值为. 变式5-3．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. （2）方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. （3）方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 【题型6 空间距离、夹角的最值范围问题】 例11．在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大值为 . 【答案】 【详解】在矩形中，取中点，连接与交于点， ，，，且， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，过与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系如上图，则，，， 为中点，， 将沿直线翻折至的位置的过程中，在以为圆心，直径为的圆弧上， 在平面内，设，且，， ，即， ，，， 所以 ， 设直线与所成角为，则 ， 易知，当时，单调递增， 当时，. 故答案为： 例12．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且. (1)是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 【答案】(1)不存在点，使得，理由见解析； (2)或 (3) 【详解】（1）由于三棱柱是直三棱柱，且，故两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 由，可设，则, 故, 所以不存在点，使得. （2）设平面的一个法向量为，则， 因为，所以，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或. 当时，，，此时； 当时，，，此时. 所以当或时直线与平面所成角的正弦值为. （3）设点到直线的距离为，由（1）知，， ，， ， 则. ∴. 变式6-1．已知在长方体中，. (1)若分别在线段和上，求的最小值； (2)若点在棱上运动，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在长方体中，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. ， 所以. 由分别在线段和上， 设. 则，， 所以， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. （2）由（1）中所建空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，得，令，那么. 由点在棱上运动，设， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，可知上式为0， 当时，则， 令，则， 设，， 则，则. 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 变式6-2．如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在四棱锥中，，而平面平面， 所以平面 （2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，， 由二面角是直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，平面， ∵平面，∴ 以分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面法向量为，则， 令，得， 所求点面距为. （3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设，显然， ， ，得出，则， 则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且且，即， 平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 变式6-3．如图，在四棱锥中，，，，.    (1)求证：平面； (2)过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F. （i）试确定F点位置； （ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）点F为靠近A的三等分点；（ii） 【详解】（1）    连接、，设，连接， ，，，，则， ，即是的角平分线，， ，，平面，平面 （2）同理可得 故，所以，， 因为，则，则， （i）取的中点M，连接、， ，，故为等边三角形， ∵M为的中点，， 在底面中，，，， 过E点作，则，所以C，D，E，K四点共面。 连结，则，则，所以A，K，P，C四点共面。 连结，面面，则必与相交，交点为所求的点F， ，所以点F为靠近A的三等分点. （ii）平面，平面，， 因为，，，所以，，则， ，，所以，， 所以，，即， ，平面，所以，平面， 以点O为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设，其中， 则， 所以， ， 因为，所以令，，， 所以， 设，对称轴为， 故当或1，即或1时，取得最小值. 因此，当H点与E点或F点重合时直线与平面所成角的正弦值的最小值为 .    过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，， 从而，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 故选：A 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 4．（23-24高二上·贵州贵阳·期中）图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以，所以， 如图所示，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为, 故选: C. 5．（2023·四川甘孜·一模）在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在正方体中，点为棱上的一动点，记直线与平面所成的角为，则得最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，，则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，则， 所以，， 当时，， 当时，令，则， 由于函数，故当时，取最小值2， 故此时， 综上可知，，由于，故． 故选：C． 7．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 8．（23-24高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．存在点P，使平面AEF； C．若平面AEF，则线段长度的取值范围是； D．若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【答案】B 【详解】对于选项A：取中点，连接，    因为分别为的中点，则， 又因为，可知为平行四边形， 可得，，则，， 可知平面截正方体所得截面为，为梯形， 且，所以截面为等腰梯形，故A正确； 对于选项C：如图，取中点G，中点H，连接GH，，    则∥AE，且平面AEF，平面AEF，可得∥平面AEF， 同理GH∥EF，平面AEF，平面AEF，所以GH∥平面AEF， 因为，平面,所以平面∥平面AEF， 因为P是侧面内一点，当P点在线段GH上时，能够满足平面AEF， 因为正方体棱长为2，由勾股定理得：，， 故点P落在GH中点时，长度最小，此时， 当点P与G或H重合时，长度最大，此时， 综上：线段长度的取值范围是，故C正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，    对于选项B：设，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面AEF，则，可得，解得， 此时点不在侧面内， 所以不存在点P，使平面AEF，故B错误； 对于选项D：若点P在线段上，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确； 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·山东·期中）如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（   ）    A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为 【答案】AD 【详解】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，. 因为，所以平面，A正确. ，所以EO不与平面平行，B错误. 在上的投影向量为，C错误． 易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则，D正确. 故选：AD      10．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 B．点到平面的距离为 C．点到所在直线的距离为2 D．若线段的中点为，则一定平行于平面 【答案】BCD 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 对于选项A：设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，故A错误； 对于选项B：点到平面的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且， 则点到所在直线的距离为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，则， 可得，可知， 且平面，所以一定平行于平面，故D正确； 故选：BCD 11．（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ABC 【详解】由题意，可将几何体补全为一个正方体， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则,0,，,0,，,0,，,0,， ,1,，,2,，,2,，， 设,,， 对于A选项，假设存在点，使得平面， 因为,,，，， 则，可得， 因为，则，即当点与点重合时，平面，故A正确； 对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为， 假设存在点，使得平面平面，则，， ， 则，可得， 又因为，解得，即当点为的中点时，面平面，故B正确； 对于C选项，若存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为， 则直线与平面的所成角的正弦值为，且， 所以， 整理可得， 因为函数在时的图象是连续的，且，，所以存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故C正确； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得,1,， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 则， 可得，即，可得或， 因为，则，则， 所以，故当时，方程和均无解， 综上所述，不存在点，平面与平面的夹角的余弦值为，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 三、填空题 12．（2024高三·广东广州 期中）如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    【答案】 【详解】如图，平面内，过点作的垂线交于， 以为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    ∵，∴，又， ∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为， 则有，，，， 设平面的法向量为， ∵，， ∴，取，得平面的一个法向量为， 又，设平面SAB的法向量为， ，即令，则， ∴. 故平面与平面夹角的余弦值是. 故答案为：. 13．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，为三个不同的平面，为直线，，，与夹角的余弦值为，与所成角的正弦值为，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】如图：    根据题意，平面对应平面，平面对应平面，平面对应平面，直线对应直线. 可设，，. 则，，. 设平面的法向量为 则，取，则. 取平面即平面的法向量：；平面即平面的法向量：. 由与夹角的余弦值为得：， 得： 由与所成角的正弦值为得：， 得：. 由. 所以与夹角的余弦值为. 故答案为： 14．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如图，在梯形中，，，，四边形为正方形，平面平面．已知点在线段上，使得平面与平面夹角的余弦值为，则线段FM的长为 【答案】 【详解】解：如图所示： 在梯形中， 因为//，，， 所以， 又因为，取中点P，连接， 则，，易知， 所以， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 平面 所以平面， 又平面. 所以平面平面； 分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系， 令， 则，，， 所以， 设为平面的一个法向量， 由得 取，则， 因为是平面的一个法向量 所以， 可得， 即. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·四川达州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接,由于，分别是，的中点. 则,则四边形为平行四边形， ,平面,平面, 则平面. （2）如图，可建空间直角坐标系，则 , , 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. 根据点面距离公式，则点到平面的距离. 16．（2024·四川宜宾·一模）如图，正四棱柱中，为的中点，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 因为，即， 所以平面平面； （2）设平面的法向量为，则，取， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，.    (1)求证：平面PAD； (2)若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，得， 则，即，由平面平面， 平面平面平面， 所以平面. （2）设的中点分别为，连接， 由，得，又平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，则，又，，则，即两两互相垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，   ，则， 设，则， 于是， 设是平面的法向量，则， 令，则，得， 设直线与平面所成角为，， 则， 即，而，解得， 所以存在点，使得直线直线与平面所成角的正弦值为，. 18．（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，,,. (1)证明：平面； (2)已知平面与平面的夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，因为四边形为菱形，则为、的中点，且， 因为，,，则是边长为的等边三角形， 则，， 因为，所以，即， 因为，、平面，所以平面. （2）因为平面，以为原点，、所在直线分别为轴、轴， 过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则、、，设，则，且， ，， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则，化简得， 所以，，解得，，所以， 所以，，即. 19．（23-24高二上·福建泉州·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)24 (2) 【详解】（1）如图，取的中点为O， 因为为菱形，且，所以为正三角形， 又为正三角形且边长为4，则，， 且，，所以， 所以， 因为又， 由平面，平面， 所以平面， 所以三棱柱的体积． （2）在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由（1），， 又，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 所以在平面内作，则平面， 以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示 则，，，， ，， ，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 取得， 设， 则 ， 设直线与平面所成角为， 则 ， 令， 则在单调递增，所以， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习01 空间中的夹角、距离问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求点线距离】 【题型2 求点面、线面、异面直线的距离】 【题型3 求空间夹角】 【题型4 已知空间夹角求其它量】 【题型5 空间距离、夹角的探索性问题】 【题型6 空间距离、夹角的最值范围问题】 知识点 1 ：空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点 2 ：空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 难点 1 ：夹角、距离的最值范围问题 函数法：大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数最终利用代数方法求目标函数的最值 变量分析法：从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法 难点 2 ：夹角、距离的探索性问题 建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 假设的方式有： ①若在直线上，则,使得 ②在射线上，则,使得 ③在线段上，则,使得 ④在平面上，则,使得 题型归纳 【题型1 求点线距离】 例1．已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则 ． 例2．在三棱锥中，，，，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为BD中点，则点到直线EF的距离（    ） A． B． C． D． 变式1-2．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，则点到直线AE的距离为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点. (1)求证：平面； (2)求到直线BD的距离. 【题型2 求点面、线面、异面直线的距离】 例3．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 例4．如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，在正四棱锥中，PA＝AB＝1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 变式2-3．三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【题型3 求空间夹角】 例5．（多选）如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 例6．如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. (1)求证：平面平面； (2)若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 变式3-1．在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成夹角的正弦值. 变式3-2．如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.    (1)证明：平面； (2)已知，，求CD与平面所成角的大小. 变式3-3．已知四棱锥，，，，，是上一点，．    (1)若是中点，证明：平面． (2)若平面，求面与面夹角的余弦值． 【题型4 已知空间夹角求其它量】 例7．如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 例8．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． (1)求的长（用表示）； (2)为何值时，的长最小？ (3)当平面与平面夹角时．求的长． 变式4-1．如图，在四棱锥中，，  ，，平面平面． (1)求证：平面； (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 变式4-2．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD． (1)求证：平面ABCD； (2)若，点在棱PD上，且二面角的大小为． ①求证：； ②设是直线CD中点，求直线MQ与平面MAC所成角的正弦值． 变式4-3．如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若为钝角，且二面角的大小为，求. 【题型5 空间距离、夹角的探索性问题】 例9．如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 例10．如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. (1)试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 变式5-1．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 变式5-2．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为等边三角形，且S在平面上的射影为中点P，，.    (1)若E为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由. 变式5-3．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【题型6 空间距离、夹角的最值范围问题】 例11．在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大值为 . 例12．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且. (1)是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 变式6-1．已知在长方体中，. (1)若分别在线段和上，求的最小值； (2)若点在棱上运动，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 变式6-2．如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 变式6-3．如图，在四棱锥中，，，，.    (1)求证：平面； (2)过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F. （i）试确定F点位置； （ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·贵州贵阳·期中）图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川甘孜·一模）在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在正方体中，点为棱上的一动点，记直线与平面所成的角为，则得最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．存在点P，使平面AEF； C．若平面AEF，则线段长度的取值范围是； D．若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 二、多选题 9．（23-24高二上·山东·期中）如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（   ）    A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为 10．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 B．点到平面的距离为 C．点到所在直线的距离为2 D．若线段的中点为，则一定平行于平面 11．（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 三、填空题 12．（2024高三·广东广州 期中）如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    13．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，为三个不同的平面，为直线，，，与夹角的余弦值为，与所成角的正弦值为，则与夹角的余弦值为 ． 14．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如图，在梯形中，，，，四边形为正方形，平面平面．已知点在线段上，使得平面与平面夹角的余弦值为，则线段FM的长为 四、解答题 15．（23-24高二上·四川达州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 16．（2024·四川宜宾·一模）如图，正四棱柱中，为的中点，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，.    (1)求证：平面PAD； (2)若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，,,. (1)证明：平面； (2)已知平面与平面的夹角的余弦值为，求. 19．（23-24高二上·福建泉州·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$