第11讲 洛伦之力及其应用（4考点+4题型）-2024～2025学年高二上学期物理人教版（2019）选择性必修第二册【周末查漏补缺】

第11讲 洛伦之力及其应用 考点归纳·题型预览 第11讲 洛伦之力及其应用 1 考点1：洛伦之力 2 考点2：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 2 考点3：带电粒子在有界磁场中的运动 3 考点4：带电粒子在圆形有界磁场中的运动 4 题型1：磁感应强度大小的计算 5 课后巩固·能力自测 19 考点梳理·温故知新 考点1：洛伦之力 1．洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力． 2．洛伦兹力的方向 （1）判定方法（左手定则） 掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向． （2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)． 3．洛伦兹力的大小 （1）v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°) （2）v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°) （3）v＝0时，洛伦兹力F＝0. 4．洛伦兹力的特点 （1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功． （2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化． （3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向． 5．洛伦兹力与安培力的联系及区别 （1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力． （2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功． 考点2：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．匀速圆周运动的规律 若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动． （1）基本公式：qvB＝m （2）半径R＝ （3）周期T＝＝ 2．圆心的确定 （1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图1甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 3．半径的确定 可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 4．运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为 t＝T(或t＝)． 5. 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路 考点3：带电粒子在有界磁场中的运动 1. 直线边界磁场 【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示) 图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 2. 平行边界磁场 【运动模型】 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间：t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝ 3. 处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧 从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律． （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值． （2）当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)． （3）当速率变化时，圆心角大的，运动时间长． （4）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)． 考点4：带电粒子在圆形有界磁场中的运动 1. 沿半径方向入射 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 （1）若粒子沿半径方向入射，则出射方向方向的反向延长线必过圆心； （2）对同种粒子，在同一匀强磁场中运动时，圆心角越大，则运动时间越长； 2. 一般解题步骤 （1） 画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心； （2） 求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径） （3） 确定运动时间（注意多解问题） 经典好题 题型1：洛伦之力的简单计算 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）如图所示，在匀强磁场中垂直于磁场方向放置一段导线ab。磁场的磁感应强度为B，导线长度为l、截面积为S、单位体积内自由电子的个数为n。导线中通以大小为I的电流，设导线中的自由电子定向运动的速率都相同，则每个自由电子受到的洛伦兹力（　　） A．大小为，方向垂直于导线沿纸面向上 B．大小为，方向垂直于导线沿纸面向上 C．大小为，方向垂直于导线沿纸面向下 D．大小为，方向垂直于导线沿纸面向下 【答案】A 【详解】设自由电子定向运动的速率为v，根据电流的微观表达式，有 又 联立解得 自由电子的定向移动方向与电流方向相反，根据左手定则可知，电子受到的洛伦兹力方向垂直于导线沿纸面向上。 故选A。 【变式1-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为g，则物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为（　　） A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg 【答案】C 【详解】物块运动过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律可知物块到达圆槽最低点时速度最大且不变，由，解得 物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等，此时物块受到向上的洛伦兹力 物块第二次经过圆槽最低点时，物块在半圆槽内做往复运动，此时物块受到向下的洛伦兹力 联立解得 故选C。 【变式1-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）倾角为的足够长的光滑绝缘斜面上放着一个带正电的小球，小球质量为m、带电量为q，空间中存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将小球在斜面上由静止释放，重力加速度为g，求： (1)小球在斜面上滑行的最大速度； (2)小球在斜面上滑行多长时间后将会脱离斜面？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球受重力、支持力、垂直斜面向上的洛伦兹力，可知脱离斜面时速度最大，则 解得 （2）沿斜面方向有 根据匀变速直线运动速度—时间公式有，解得 题型2：带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典例2】（多选）（24-25高二上·辽宁·期中）如图，M、N是真空中宽为d的匀强磁场的左右边界（边界上有磁场），磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。大量比荷为k的正离子从M边界上的P点以速率v＝kBd进入磁场，速度方向如图所示在180°的范围内，粒子分布均匀，不计离子重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域足够长。则（　　） A．能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 B．从边界飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为 C．磁场中有离子经过的区域的面积 D．从边界N飞出磁场的离子中，飞出点与P点距离小于或等于 【答案】BC 【详解】A．经D项分析，可知竖直向下入射的离子向右偏转，垂直N边界向右出射，水平向右入射的离子向上偏转与N边界相切，在此范围入射的离子将从N边界出射，对应的入射角度为，而离子的入射角是从0到，故能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 故A错误； B．轨迹弦长为d的离子是从N边界飞出的离子中弦长最短，离子运动轨迹圆心角最小，根据几何关系，可知此圆心角为，则离子在磁场中运动的最短时间为 故B正确； C．有离子经过的磁场区域为半径为d的两个四分之一圆和边长为d的正方形组合而成，磁场中有离子经过的区域的面积为 故C正确； D．根据洛伦兹力提供向心力 解得正离子运动半径为 根据几何关系可知水平向右入射的离子在N边界的切点与竖直向下入射的离子在N边界的飞出点离Р点的距离均为 故飞出点与P点距离小于或等于，故D错误。 故选BC。 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·山东青岛·期中）如图所示，空间中有一底角为60°的等腰梯形，上底与腰长均为L，梯形内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底bc的中点e处有一粒子源，可以向bc上方任意方向射出速度大小可变的电子，已知电子的比荷为k，下列说法正确的是（　　） A．若粒子可以到达a点，则其最小速度为 B．若粒子可以到达ab边，则其最小速度为 C．ab、ad边有粒子射出，则dc边一定有粒子射出 D．到达a点和到达d点的粒子一定具有相同的速率 【答案】AB 【详解】A．当粒子到达a点时，速度刚好水平时，此时速度最小，轨迹如图所示 根据几何关系，解得 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 故A正确； B．粒子与ab边界相切时，速度最小，轨迹如图所示 根据几何关系，解得 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 故B正确； C．粒子运动轨迹如图所示 从ab和ad边射出的粒子，没有从cd边射出，故C错误； D．粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，解得 由此可知到达d点的半径是唯一的，而到达a点的半径可以不同，所以到达a点和到达d点的粒子不一定具有相同的速率，故D错误。 故选AB。 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·山东滨州·期中）如图所示，矩形边界内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、边足够长，边长为。现有质量为、电荷量为的不同速率的带正电粒子，从的中点射入磁场且速度方向与成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．从边射出的粒子的最小速度为 C．从边射出的粒子的最小速度为 D．边上有粒子射出的区域长度为 【答案】CD 【详解】A．当粒子从AD边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图1所示。由图可知粒子在磁场中运动的最长时间 故A错误； B．当粒子运动轨迹刚好与AB边相切时，从AB边射出的粒子速度最小，轨迹如图2所示。根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得从AB边射出的粒子的最小速度 故B错误； C．当粒子运动轨迹刚好与CD边相切时，从CD边射出的粒子速度最小，轨迹如图3所示。根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得从CD边射出的粒子的最小速度 故C正确； D．由图2、图3中几何关系可得AB边上有粒子射出的区域长度 故D正确。 故选CD。 题型3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动 【典例3】（24-25高二上·江西鹰潭·期中）如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以v1速度沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角，则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（　　） A．半径之比为 B．速度之比为 C．速度之比为 D．时间之比为 【答案】A 【详解】ABC．如图所示 设圆柱形区域的半径为R，有几何关系可得， 则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的半径之比为 根据洛伦兹力提供向心力可得，解得 可得速度之比为 故A正确，BC错误； D．粒子在磁场中的运动时间为 由图可知， 则时间之比为 故D错误。 故选A。 【变式3-1】（24-25高二上·山东·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。带电粒子从A点正对着圆心O的方向射入磁场，偏转后恰好从C点离开。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，∠AOC = 120°，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的动量大小为 D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点 【答案】C 【详解】A．根据左手定则可判断粒子带正电，故A错误； B．粒子轨迹如图所示 可知粒子速度方向改变了60°，粒子在磁场中运动的时间为 故B错误； C．由几何关系知粒子的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力可知 粒子在磁场中运动的动量大小为，解得 故C正确； D．由于粒子轨迹半径 所以只改变入射速度的方向，粒子可能经过O点，故D错误。 故选C。 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·辽宁·期中）速度均为的粒子P和Q分别从a点沿着与直径ab夹角为α的方向垂直进入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，一个粒子恰与直径ab平行向右射出，另一个粒子刚好从直径的另一点b点出射。已知粒子P的质量为5m，电荷量为2q；粒子Q的质量为4m，电荷量为q。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子P从b点出射 B．α＝60° C．磁场圆的半径为 D．粒子P与粒子Q在磁场中运动时间之比为2:1 【答案】AC 【详解】A．作出两粒子运动轨迹如图 根据洛伦兹力提供向心力，则有，解得 则两粒子半径之比为 设水平向右射出的粒子半径为，从b点射出的粒子半径为，根据几何关系有 ， 解得 则有 即较小，对应的是粒子P，即粒子P从b点出射，故A正确； B．结合A选项可得，解得 即 故B错误； C．根据 又，解得 故C正确； D．由几何分析可知P的速度偏转角为，Q的速度偏转角为，P、Q分别在磁场中运动的周期 ， 粒子P与粒子Q在磁场中运动时间之比为 故D错误。 故选AC。 题型4：带电粒子在无边界磁场中的运动 【典例4】（24-25高二上·山东·期中）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为，在的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小未知CD是关于x轴对称的光滑绝缘圆弧轨道，该圆弧轨道与y轴相切于O点，圆心角，一个质量为m、电荷量为的粒子从y轴上半轴的A点垂直y轴射入第一象限且恰好无碰撞地从C点进入圆弧轨道，随后经匀强磁场Ⅱ偏转一次后再次回到A点，圆弧轨道的半径为R，取，，不计带电粒子所受的重力。求： (1)带电粒子射入磁场的速度大小v； (2)带电粒子运动到O点时，圆弧轨道对带电粒子的弹力大小； (3)匀强磁场Ⅱ的磁感应强度大小B； (4)带电粒子从A点出发到再次回到A点的过程中，在匀强磁场Ⅰ和匀强磁场Ⅱ中的运动时间之比。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）带电粒子从A点运动到C点的过程中，设小球做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）带电粒子运动到O点时，根据牛顿第二定律有，解得 （3）设带电粒子在匀强磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （4）设带电粒子在匀强磁场Ⅰ中的运动时间为，在匀强磁场Ⅱ中的运动时间为，则有 ， 解得 【变式4-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，在直角坐标系中，区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ。区域内有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，y轴左侧存在垂直坐标平面向外的矩形磁场Ⅲ（位置和范围未知），其中磁场Ⅱ与磁场Ⅲ的磁磁感应强度相同。一质量为m，带电量q的带正电粒子从点以平行于x轴的初速度射入磁场Ⅰ，经过一段时间粒子从点离开磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转后，从点返回磁场Ⅰ。并从y轴上的Q点进入y轴左侧，经过矩形磁场Ⅲ的偏转后又回到Q点，到Q点时速度方向与y轴负方向夹角为。不计粒子重力。 (1)区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从P点运动到第一次经过Q点所用时间t； (3)求矩形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子运动的轨迹，如图所示 设粒子在区域内轨道半径为R1，根据几何关系可知，解得 由牛顿第二定律可得 所以 （2）根据几何关系可得 所以 从P到M的运动时间 由图中的几何关系可知 从M到N的运动时间 从P点运动到第一次经过Q，则 （3）由于磁场Ⅱ与磁场Ⅲ的磁磁感应强度相同，即 由图中的几何关系可知 【变式4-2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图所示的坐标系，轴与的虚线之间存在竖直向上的匀强电场，在处的点发射一比荷为的带电粒子，经过一段时间粒子以与轴的负半轴成的速度从轴的点进入磁场，轴下侧的磁场区域为矩形，粒子经磁场偏转再次通过轴后刚好水平回到点．已知磁场方向垂直纸面，不计粒子重力。求： (1)电场强度的大小； (2)磁感应强度大小以及磁场的最小面积； (3)带电粒子从点出发到第一次返回点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，由粒子轨迹的偏转方向可知粒子在电场中所受的电场力方向竖直向下，则粒子带负电，设粒子在b点的速度为v，则有 竖直方向粒子做匀加速直线运动，有 由牛顿第二定律得 且，联立解得 （2）根据题意作出粒子的运动轨迹，如图所示 由左手定则可知磁场方向垂直纸面向外，可知粒子从a到b的时间为，解得 又在水平方向上，解得 粒子在磁场中运动的速度为 由几何关系可知粒子在磁场中的轨道半径为 由牛顿第二定律得，解得 当矩形磁场的面积最小时，磁场的边界应与轨迹相切，则磁场的最小面积为 解得 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有，解得 粒子的轨迹所对应的圆心角为 则粒子在磁场中运动的时间为 由对称性可知粒子从d到a的时间为 带电粒子从a点出发到返回a点的总时间为 课后巩固·能力自测 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）空间中有垂直于纸面的匀强磁场。场中有三角形，其中，。某时刻，两个不计重力，电荷量绝对值相等、质量为的粒子和质量为的粒子分别从、两点开始运动。其中粒子的速率为，速度垂直于向上。粒子速度未知。两粒子恰好在各自第一次到达点时相遇。则粒子的速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对a粒子运到到P点时，MP是粒子圆周运动的弦长，故其中垂线和在M点的速度垂线交与MN的中点A，即为a粒子的圆周运动的圆心，几何关系可知，a粒子扫过的圆心角为120o，设NP边长L，故ra=L，由 所以a粒子在磁场中运动时间 因为b粒子运动时间和a相同，设b粒子扫过的圆心角为，则其在磁场中运动时间 可得 故b粒子的轨迹如图，圆心在PN的中点B 几何关系可知 由洛伦兹力提供向心力可得 得 联立解得 故C正确，ABD错误； 故选C 。 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在，的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（　　） A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点 B．从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为 C．从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 【答案】D 【详解】A．带正电的粒子从P点沿与x轴正方向成30°角的方向射入磁场中，则圆心在过P点与速度方向垂直的直线上，如图所示 粒子在磁场中要想到达O点，转过的圆心角肯定大于180°，因磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点。故A正确，与题意不符； BCD．根据 又 联立，解得 由于P点的位置不确定，所以粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角是轨迹圆弧与y轴相切时即300°，运动时间为 可知从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为。而最小的圆心角是P点在坐标原点时即120°，运动时间为 可知从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间范围 故BC正确，与题意不符；D错误，与题意相符。 本题选错误的，故选D。 3．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 【答案】C 【详解】AB．依题意，该粒子的运动轨迹如图所示    由几何关系可知，解得 可知粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为，所以粒子在磁场里运动的时间为 又 联立，解得 故AB错误； CD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 当ab为匀强磁场的直径时，圆形磁场面积最小，设其半径为R，由几何关系可得 可得最小面积为 联立，解得 故C正确；D错误。 故选C。 4．（22-23高二上·吉林·阶段练习）如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的负电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了角。磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示 根据几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力有 可知 故选B。 5．（多选）（24-25高二上·北京·期中）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 【答案】AD 【详解】A．根据左手定则可知，粒子a运动方向与四指指向相同，则粒子带正电，故A正确； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 粒子运动的动能，解得 根据图像可知，粒子圆周运动的半径最大，则粒子的动能最大，故B错误； C．粒子圆周运动的周期 可知圆周运动周期相等，根据图像可知，粒子圆弧对应的圆心角最大，则粒子在磁场中运动的时间最长，故C错误； D．粒子磁场中的向心力由洛伦兹力提供，则有 结合上述可知，粒子的动能最大，则粒子的速度最大，可知，粒子在磁场中运动时的向心力最大，故D正确。 故选AD。 6．（多选）（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，一个半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。一个粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径均为r。下列说法正确的是（　　） A．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是整个圆周 C．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周 【答案】BD 【详解】AB．若，根据几何关系，可知粒子沿不同方向射入磁场，会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周长；其中粒子在磁场中运动的时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出轨迹如图1所示 因为，则圆心角，粒子在磁场中运动的最长时间 故A错误，B正确； C．若，粒子沿不同方向射入磁场，如图② 在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间为 故C错误； D．若，粒子在磁场圆的出射点都在AP之间，由几何关系可知，AP弧长对应的圆心角为60°，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周长，故D正确。 故选BD。 7．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）如图所示，空间中有垂直于纸面向里的匀强磁场，一绝缘光滑木板在场中水平放置。上有一质量为、带电量为的小球，与木板左端距离为。某时刻起，木板在外力作用下竖直向上做匀速直线运动，速度大小为。一段时间后，小球离开木板并垂直击中左侧竖直放置的荧光屏，此时粒子的速度大小为。不计小球的重力。求： (1)磁感应强度的大小； (2)木板左端到荧光屏的距离。 【答案】(1) (2)2d 【详解】（1）小球先在水平方向上做匀加速运动，离开木板后做匀速圆周运动，设小球离开木板时水平方向的分速度为，由牛顿第二定律得 由运动学公式得， 解得 （2）由几何关系得 小球做圆周运动的半径为，则，解得 8．（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，矩形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为、带电荷量为的粒子以某初速度从点沿方向垂直射入磁场中，从点离开磁场。已知磁感应强度为，，粒子只受磁场力。求： (1)粒子的初速度大小； (2)若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从点沿方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力有，解得 （2）洛伦兹力提供向心力有，解得 粒子将从MQ边射出，设偏向角为，有，解得 可知粒子在磁场中运动时间为 由，解得 9．（22-23高三上·河北沧州·期末）如图所示的空间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q两点关于O点对称，已知，一比荷为k的正粒子由P点垂直于y轴向右射入磁场，同时一比荷为的正粒子由Q点射入磁场，经过一段时间两粒子同时第一次到达O点，忽略粒子间的相互作用及重力。求： （1）由P点射入磁场的粒子的速度应为多大？ （2）由Q点射入磁场的粒子速度多大？射入磁场时的速度与y轴正方向的夹角多大？ 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）比荷为k的粒子的运动轨迹如图所示 其圆心为PO的中点处，则半径 粒子做圆周运动洛伦兹力提供向心力，则由 又，解得 （2）比荷为k的粒子从P点到第一次运动到O点的时间为 又 整理得 则 同理，比荷为的正粒子的运动周期为 从Q点到第一次运动到O点是时间为，可得 两粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得 又由 又，解得 方向与y轴的正方向成角    第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 洛伦之力及其应用 考点归纳·题型预览 第11讲 洛伦之力及其应用 1 考点1：洛伦之力 2 考点2：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 2 考点3：带电粒子在有界磁场中的运动 3 考点4：带电粒子在圆形有界磁场中的运动 4 题型1：磁感应强度大小的计算 5 课后巩固·能力自测 19 考点梳理·温故知新 考点1：洛伦之力 1．洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力． 2．洛伦兹力的方向 （1）判定方法（左手定则） 掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向． （2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)． 3．洛伦兹力的大小 （1）v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°) （2）v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°) （3）v＝0时，洛伦兹力F＝0. 4．洛伦兹力的特点 （1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功． （2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化． （3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向． 5．洛伦兹力与安培力的联系及区别 （1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力． （2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功． 考点2：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．匀速圆周运动的规律 若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动． （1）基本公式：qvB＝m （2）半径R＝ （3）周期T＝＝ 2．圆心的确定 （1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图1甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 3．半径的确定 可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 4．运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为 t＝T(或t＝)． 5. 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路 考点3：带电粒子在有界磁场中的运动 1. 直线边界磁场 【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示) 图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 2. 平行边界磁场 【运动模型】 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间：t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝ 3. 处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧 从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律． （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值． （2）当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)． （3）当速率变化时，圆心角大的，运动时间长． （4）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)． 考点4：带电粒子在圆形有界磁场中的运动 1. 沿半径方向入射 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。 （1）若粒子沿半径方向入射，则出射方向方向的反向延长线必过圆心； （2）对同种粒子，在同一匀强磁场中运动时，圆心角越大，则运动时间越长； 2. 一般解题步骤 （1） 画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心； （2） 求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径） （3） 确定运动时间（注意多解问题） 经典好题 题型1：洛伦之力的简单计算 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）如图所示，在匀强磁场中垂直于磁场方向放置一段导线ab。磁场的磁感应强度为B，导线长度为l、截面积为S、单位体积内自由电子的个数为n。导线中通以大小为I的电流，设导线中的自由电子定向运动的速率都相同，则每个自由电子受到的洛伦兹力（　　） A．大小为，方向垂直于导线沿纸面向上 B．大小为，方向垂直于导线沿纸面向上 C．大小为，方向垂直于导线沿纸面向下 D．大小为，方向垂直于导线沿纸面向下 【变式1-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为g，则物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为（　　） A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg 【变式1-2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）倾角为的足够长的光滑绝缘斜面上放着一个带正电的小球，小球质量为m、带电量为q，空间中存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将小球在斜面上由静止释放，重力加速度为g，求： (1)小球在斜面上滑行的最大速度； (2)小球在斜面上滑行多长时间后将会脱离斜面？ 题型2：带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典例2】（多选）（24-25高二上·辽宁·期中）如图，M、N是真空中宽为d的匀强磁场的左右边界（边界上有磁场），磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。大量比荷为k的正离子从M边界上的P点以速率v＝kBd进入磁场，速度方向如图所示在180°的范围内，粒子分布均匀，不计离子重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域足够长。则（　　） A．能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 B．从边界飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为 C．磁场中有离子经过的区域的面积 D．从边界N飞出磁场的离子中，飞出点与P点距离小于或等于 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·山东青岛·期中）如图所示，空间中有一底角为60°的等腰梯形，上底与腰长均为L，梯形内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底bc的中点e处有一粒子源，可以向bc上方任意方向射出速度大小可变的电子，已知电子的比荷为k，下列说法正确的是（　　） A．若粒子可以到达a点，则其最小速度为 B．若粒子可以到达ab边，则其最小速度为 C．ab、ad边有粒子射出，则dc边一定有粒子射出 D．到达a点和到达d点的粒子一定具有相同的速率 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·山东滨州·期中）如图所示，矩形边界内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向垂直纸面向里，、边足够长，边长为。现有质量为、电荷量为的不同速率的带正电粒子，从的中点射入磁场且速度方向与成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．从边射出的粒子的最小速度为 C．从边射出的粒子的最小速度为 D．边上有粒子射出的区域长度为 题型3：带电粒子在弧形边界磁场中的运动 【典例3】（24-25高二上·江西鹰潭·期中）如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以v1速度沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角，则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（　　） A．半径之比为 B．速度之比为 C．速度之比为 D．时间之比为 【变式3-1】（24-25高二上·山东·期中）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。带电粒子从A点正对着圆心O的方向射入磁场，偏转后恰好从C点离开。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，∠AOC = 120°，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的动量大小为 D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·辽宁·期中）速度均为的粒子P和Q分别从a点沿着与直径ab夹角为α的方向垂直进入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，一个粒子恰与直径ab平行向右射出，另一个粒子刚好从直径的另一点b点出射。已知粒子P的质量为5m，电荷量为2q；粒子Q的质量为4m，电荷量为q。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子P从b点出射 B．α＝60° C．磁场圆的半径为 D．粒子P与粒子Q在磁场中运动时间之比为2:1 题型4：带电粒子在无边界磁场中的运动 【典例4】（24-25高二上·山东·期中）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为，在的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小未知CD是关于x轴对称的光滑绝缘圆弧轨道，该圆弧轨道与y轴相切于O点，圆心角，一个质量为m、电荷量为的粒子从y轴上半轴的A点垂直y轴射入第一象限且恰好无碰撞地从C点进入圆弧轨道，随后经匀强磁场Ⅱ偏转一次后再次回到A点，圆弧轨道的半径为R，取，，不计带电粒子所受的重力。求： (1)带电粒子射入磁场的速度大小v； (2)带电粒子运动到O点时，圆弧轨道对带电粒子的弹力大小； (3)匀强磁场Ⅱ的磁感应强度大小B； (4)带电粒子从A点出发到再次回到A点的过程中，在匀强磁场Ⅰ和匀强磁场Ⅱ中的运动时间之比。 【变式4-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，在直角坐标系中，区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场Ⅰ。区域内有垂直坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，y轴左侧存在垂直坐标平面向外的矩形磁场Ⅲ（位置和范围未知），其中磁场Ⅱ与磁场Ⅲ的磁磁感应强度相同。一质量为m，带电量q的带正电粒子从点以平行于x轴的初速度射入磁场Ⅰ，经过一段时间粒子从点离开磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转后，从点返回磁场Ⅰ。并从y轴上的Q点进入y轴左侧，经过矩形磁场Ⅲ的偏转后又回到Q点，到Q点时速度方向与y轴负方向夹角为。不计粒子重力。 (1)区域内匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从P点运动到第一次经过Q点所用时间t； (3)求矩形磁场区域的最小面积。 【变式4-2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）如图所示的坐标系，轴与的虚线之间存在竖直向上的匀强电场，在处的点发射一比荷为的带电粒子，经过一段时间粒子以与轴的负半轴成的速度从轴的点进入磁场，轴下侧的磁场区域为矩形，粒子经磁场偏转再次通过轴后刚好水平回到点．已知磁场方向垂直纸面，不计粒子重力。求： (1)电场强度的大小； (2)磁感应强度大小以及磁场的最小面积； (3)带电粒子从点出发到第一次返回点的时间。 课后巩固·能力自测 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）空间中有垂直于纸面的匀强磁场。场中有三角形，其中，。某时刻，两个不计重力，电荷量绝对值相等、质量为的粒子和质量为的粒子分别从、两点开始运动。其中粒子的速率为，速度垂直于向上。粒子速度未知。两粒子恰好在各自第一次到达点时相遇。则粒子的速率为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在，的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的P点沿着与x轴正方向成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（　　） A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点 B．从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为 C．从y轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 3．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 4．（22-23高二上·吉林·阶段练习）如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的负电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了角。磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·北京·期中）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 6．（多选）（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，一个半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。一个粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径均为r。下列说法正确的是（　　） A．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是整个圆周 C．若，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周 7．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）如图所示，空间中有垂直于纸面向里的匀强磁场，一绝缘光滑木板在场中水平放置。上有一质量为、带电量为的小球，与木板左端距离为。某时刻起，木板在外力作用下竖直向上做匀速直线运动，速度大小为。一段时间后，小球离开木板并垂直击中左侧竖直放置的荧光屏，此时粒子的速度大小为。不计小球的重力。求： (1)磁感应强度的大小； (2)木板左端到荧光屏的距离。 8．（24-25高二上·湖北·期中）如图所示，矩形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质量为、带电荷量为的粒子以某初速度从点沿方向垂直射入磁场中，从点离开磁场。已知磁感应强度为，，粒子只受磁场力。求： (1)粒子的初速度大小； (2)若将粒子的初速度增大为原来的两倍，仍从点沿方向垂直射入磁场中，求粒子在磁场中运动的时间。 9．（22-23高三上·河北沧州·期末）如图所示的空间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q两点关于O点对称，已知，一比荷为k的正粒子由P点垂直于y轴向右射入磁场，同时一比荷为的正粒子由Q点射入磁场，经过一段时间两粒子同时第一次到达O点，忽略粒子间的相互作用及重力。求： （1）由P点射入磁场的粒子的速度应为多大？ （2）由Q点射入磁场的粒子速度多大？射入磁场时的速度与y轴正方向的夹角多大？    第 1 页 共 4 页 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