专题01 集合归类（考题猜想，易错必刷31题13种题型）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题01 集合归类 （易错必刷31题13种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 元素与集合求参 · 集合元素个数求参 · 空集性质 · 子集性质 · 交并补综合运算 · 相等集合 · 韦恩图技巧 · 求参：交集与并集运算 · 求参：全集与补集运算 · 求参：交并补混合 · 集合新定义 · 集合的应用 · 集合压轴低19题型 · 题型大通关 一．元素与集合求参（共 2小题） 1．（23-24宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2． 集合元素个数求参（共 2小题） 3．（2023高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023高一上·北京·期中）若关于x的方程的解集中只有一个元素，则实数a的所有取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 三．空集性质 （共 2小题） 5．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 6．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知函数，记集合，，若，则的取值范围是（ ） A．[0,4] B．（0,4） C．[0，4) D．(0，4] 四．子集性质（共 2小题） 7．（20-21高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（    ） A．49 B．48 C．47 D．46 8．（2023高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A．508 B．512 C．1020 D．1024 五．交并补综合运算（共 2小题） 9．（2023浙江期末）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 10．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 六．相等集合（共 2小题） 11．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）下列说法中错误的是（    ） A．与表示同一个集合 B．集合与表示不同集合 C．方程的所有解的集合可表示为 D．“”是“”的必要不充分条件 7． 韦恩图技巧（共 2小题） 13．（22-23高一上·北京通州·期中）某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有 人，这三天参加活动的最少有 人. 14．（22-23高一上·湖南长沙·）高二某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门学科均不选的有人.这三门课程均选的有人，三门中任选两门课程的均至少有人.三门中只选物理与只选化学均至少有人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 人. 八．求参：交集与并集运算（共 2小题） 15．（2024高一上·全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（    ） A．66 B．67 C．68 D．69 16．（21-22高一上·云南玉溪·阶段练习）设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ． 九．求参：全集与补集运算（共 2小题） 17．（高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为 A． B． C． D． 18．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 十．求参：交并补混合（共 2小题） 19．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 20．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 十一．集合新定义（共 4小题） 21．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 22．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．不存在，使得 D．若，则 23．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．实数集关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 24．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如：，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 ． 十二．集合的应用（共 4小题） 25．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 26．（2023·安徽蚌埠）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 27．（高三·北京·强基计划）已知，且A的所有子集的元素之和各不相同，则下列说法中正确的是（    ） A．集合A中最多有6个元素 B．集合A中最多有7个元素 C．若，则 D．若，则 28．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 十三．集合压轴第19题型（共 3小题） 29．（24-25高一上·福建泉州·期中）有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 30．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知集合，其中且．若集合满足：①；②对于中的任意两个元素，（，），满足；则称集合是关于实数的“压缩集”．例如，集合是关于的“压缩集”，理由如下： ①；②，，． (1)判断集合是否是关于的“压缩集”，并说明理由： (2)若集合是关于的“压缩集”， （i）求证：，；（提示：） （ii）求中元素个数的最大值． 31．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合归类 （易错必刷31题13种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 元素与集合求参 · 集合元素个数求参 · 空集性质 · 子集性质 · 交并补综合运算 · 相等集合 · 韦恩图技巧 · 求参：交集与并集运算 · 求参：全集与补集运算 · 求参：交并补混合 · 集合新定义 · 集合的应用 · 集合压轴低19题型 · 题型大通关 一．元素与集合求参（共 2小题） 1．（23-24宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 2．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可. 【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立； 若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况； 若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立； 若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况， 综上符合条件的所有有序数组的个数是6个， 故选：B 2． 集合元素个数求参（共 2小题） 3．（2023高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合中至少有3个元素，即可得到的取值范围. 【详解】解：且集合A中至少有3个元素， . 故选：C. 4．（2023高一上·北京·期中）若关于x的方程的解集中只有一个元素，则实数a的所有取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论或，使方程的根只有一个，即可求解. 【详解】解：时，，解集中只有一个元素，故符合题意， 时，，解得：，故符合题意， 故选：D. 三．空集性质 （共 2小题） 5．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 【答案】C 【分析】分类讨论的值，即可得方程组解的情况. 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 6．（20-21高一上·上海浦东新·期中）已知函数，记集合，，若，则的取值范围是（ ） A．[0,4] B．（0,4） C．[0，4) D．(0，4] 【答案】C 【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合求得的取值范围. 【详解】当时，， 此时，符合题意. 当时，， 由解得或， 由得或， 其中，，和都不是这个方程的根， 要使，则需. 综上所述，的取值范围是. 故选：C 四．子集性质（共 2小题） 7．（20-21高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（    ） A．49 B．48 C．47 D．46 【答案】A 【分析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】集合知： 1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为， 而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15； 2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可： 的集合为，而B有种， 集合对(A,B)的个数为； 3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可： 的集合为，而B有种， 集合对(A,B)的个数为； 4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可： 的集合为， 而B有种，集合对(A,B)的个数为； ∴一共有个， 故选：A 【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题. 8．（2023高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A．508 B．512 C．1020 D．1024 【答案】B 【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是. 【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是. 故选B 【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题. 五．交并补综合运算（共 2小题） 9．（2023浙江期末）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 10．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】因为，， 由题意可知，若，则，若，则， 若，则，若，则，、没有限制， 综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、 、、、、、、、、 、、，共个， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解. 六．相等集合（共 2小题） 11．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件得出，再得出集合D,最后结合元素和集合的关系判断各个选项. 【详解】因为,所以， 因为，所以， 所以且, 所以,, 所以. 故选：ACD. 12．（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）下列说法中错误的是（    ） A．与表示同一个集合 B．集合与表示不同集合 C．方程的所有解的集合可表示为 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【分析】根据集合的含义判断A；根据集合元素的无序性判断B；根据集合元素的互异性判断C；根据“”和“”之间的逻辑关系判断D. 【详解】对于A，表示没有任何元素的集合，表示元素为0的数集， 故二者不是同一个集合，A错误； 对于B，由于集合的元素具有无序性，故集合与表示同一个集合，B错误； 对于C，方程的解为两相等实数解以及， 结合集合元素的互异性可知其解集为，C错误； 对于D，取满足，但不满足， 当时，必有，故“”是“”的必要不充分条件，D正确， 故选：ABC 7． 韦恩图技巧（共 2小题） 13．（22-23高一上·北京通州·期中）某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有 人，这三天参加活动的最少有 人. 【答案】 160 290 【分析】根据题意画出Venn图，表示只去第一天的人，表示只去第二天的人，表示只去第三天的人.表示只去第一天与第二天的人，表示只去第一天与第三天的人，表示只去第二天与第三天的人，表示三天都去的人，要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，由此计算可得答案. 【详解】解：根据题意画出Venn图，如图所示： 表示只去第一天的人， 表示只去第二天的人， 表示只去第三天的人， 表示只去第一天与第二天的人， 表示只去第一天与第三天的人， 表示只去第二天与第三天的人， 表示三天都去的人， ∴要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，，，∴，，，， ∴，， ∴，∴，， 则这三天参加活动的最少有：人. 故答案为：160，290. 14．（22-23高一上·湖南长沙·）高二某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门学科均不选的有人.这三门课程均选的有人，三门中任选两门课程的均至少有人.三门中只选物理与只选化学均至少有人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 人. 【答案】8 【分析】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，记选择物理与化学但未选生物的学生组成集合 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有15人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人， 单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少6人， 单选物理、生物的最少6人，单选生物的最少3人， 以上人数最少52人，可作出如下图所示的韦恩图， 故区域至多8人，所以单选物理、化学的人数至多8人， 故答案为：8    【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力. 八．求参：交集与并集运算（共 2小题） 15．（2024高一上·全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（    ） A．66 B．67 C．68 D．69 【答案】B 【分析】首先观察本题中A集合中只考虑整数，故首先考虑A集合中所含最小正整数1，其次考虑第二个整数2．则第三个整数应为4，以此类推得到后续整数满足规律．同理当A集合中所含第一个整数1，第二个整数3，发现后续整数为所有正奇数．从而发现规律． 【详解】考虑到最后与取交集，则集合A中只考虑整数． ①假设A集合中所含第一个整数为1，第二个整数为2， 则以此类推后续整数为, 故观察规律发现从第三个数开始满足，； ②假设A集合中所含第一个整数为1，第二个整数为3， 则后续整数为 故观察规律发现从第一个数字开始满足，； 则最大整数可能值既满足又满足， 令， 则可发现我们需要寻找的最大整数为， 其中即是2的倍数，又是3的倍数， 故为6的倍数， 由此可得最大整数，，代入选项发现B选项满足题意． 故选：B． 16．（21-22高一上·云南玉溪·阶段练习）设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为 ． 【答案】 【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论. 【详解】因为，而，故， 所以， 若，则或（舍），此时， 故中的所有元素之积为. 若，则，这与或， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则或（舍），此时， 这与中的所有元素之和为6矛盾. 若，则，则， 即，无解. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论. 九．求参：全集与补集运算（共 2小题） 17．（高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合补集的结果个数，即可容易求得参数范围. 【详解】若的元素的个数为4，则 故选：A. 【点睛】本题考查由集合的补集元素个数求参数范围，属基础题. 18．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 十．求参：交并补混合（共 2小题） 19．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 20．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 十一．集合新定义（共 3小题） 21．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】D 【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求. 【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误； B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误； C：由且，使，但，不存在，使，故C错误； D：对所有的，可设， 则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，，求出. 22．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．不存在，使得 D．若，则 【答案】D 【分析】根据新定义运算、一元二次不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，当时，，所以，所以， 所以，故A错误； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C错误； 对于D，因为，要得，所以或3，若， 满足，解得； 若，因为方程的两个根，都不是方程的根， 所以需满足，解得. 综上：或， 所以，所以，故D正确. 故选：D 23．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．实数集关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】ABD 【分析】根据“.”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即可得出结果． 【详解】对A，对所有的，有，且满足乘法结合律；，使得，有；，有，故A正确. 对B，若，，有，满足加法结合律；当时，满足③；，使，即④成立，故B正确. 对C，因为，且，但，故C错误. 对D，，可设， 则，则G满足加法结合律，即，有；，使得，有； ，，，使得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据题干给出的定义对每个选项是否满足四个条件的要求进行逐项判断，从而得出结果. 24．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如：，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 ． 【答案】 / 2 【分析】根据题意直接代入运算即可得；整理可得，分和两种情况，结合的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：； 又因为， 当时，则， 可得，则或2； 当时，则， 可得，则； 综上所述：，即集合A中元素的个数是2. 故答案为：；2. 十二．集合的应用（共 4小题） 25．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解. 【详解】A选项：由已知，则，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 26．（2023·安徽蚌埠）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 27．（高三·北京·强基计划）已知，且A的所有子集的元素之和各不相同，则下列说法中正确的是（    ） A．集合A中最多有6个元素 B．集合A中最多有7个元素 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用抽屉原理可判断AB的正误，利用阿贝尔和抽屉原理可得的最大值为，故可判断CD的正误. 【详解】假设集合A中有7个元素，不妨设为． 考虑集合A的所有元子集，共有个． 记集合A的每个元子集元素之和的最小值为m，最大值为M，则， ， 故其中必有两个子集元素之和相同． 考虑集合A的6元子集，满足题意． 由此可知，选项A正确，选项B错误． 设集合A中有个元素，其中， 这个元素中任意k个元素之和不小于，否则这k个元素组成的集合的非空子集有个，必然会出现两个子集元素之和相同，不符合题意． 记，则数列}的前项之和， 因此 ， 等号当时取得． 因此的最大值为， 因此， 故选项D正确，选项C错误． 故选：AD. 28．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】记，根据条件将所求式子表示为，先分析的可行性，然后确定出最小值即可. 【详解】不妨设， 因为， 所以， 所以， 若要值最小，则， 下面分析的可能性： 当时，则四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶， 若四个数全为偶数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数全为奇数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能为 ，两个偶数之和可能为， 此时两奇两偶的四个数之和不可能等于， 所以不成立， 所以当时，此时取值最小，最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定成立. 十三．集合压轴第19题型（共 3小题） 29．（24-25高一上·福建泉州·期中）有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 【答案】(1)中的元素是“完全可拆”；中的元素是“完全不可拆” (2)9 (3) 【分析】（1）利用“完全可拆”定义将中除外的元素进行“分拆”可得；由“完全不可拆”定义证明集合中任意的两个不同元素之和都不是的元素即可得； （2）根据“完全可拆”定义得中元素，需满足条件，找到满足条件的含有个元素的集合，再证明时不满足条件； （3）先证明预备结论“对任意，若，则”，由此推得中元素最多个，再找到满足题意的含有个元素的集合即可. 【详解】（1）集合， 因为， 满足定义，所以中的元素是“完全可拆”； 集合且， 设任意，则，其中，且，， 则， 故中的元素是“完全不可拆”. （2）由题意，，则，， 又中的元素是“完全可拆”， 可知，都存在，使得， 则，（） 且，由中元素均为正整数，. 所以，，. ①当时，， 由， . 所以中的元素是“完全可拆”，此时，； ②下面证明，不符合题意. 若，即集合满足，且中的元素是“完全可拆”，. 由上已知，，. 故由，可知，故； 依此类推，可知. 因为， 若，则，故不可能. 若，则，则，所以； 若， 若，则，故不可能. 若，则，，所以， 同理，由，； 又因为为奇数，故也不成立，即不存在满足题意的. 故不存在这样的集合满足， 故. 同理依次可得，若，均不存在这样的集合，满足. 综上所述，的最小值为. （3）由题意，中的元素，则，. 中元素均为正整数，则，又为奇数，即. ①先证明：若集合中的的元素“完全不可拆”，为奇数，则. 预备结论：集合中的的元素“完全不可拆”，对任意， 若，则.下面用反证法证明该结论成立. 证明：假设， 因为为奇数，所以，即. 由中的元素是“完全不可拆”，则当， 因为，，且， 所以，这与矛盾. 故假设错误，所以若，则，得证. ①先证明：若集合中的的元素“完全不可拆”，，则. 由上所证结论可知，将（为奇数，且）这个自然数分组： ， 前组数中每组至多1个是集合的元素， 又，故集合中至多个元素. 即若，则，得证. ②给出集合，即， 集合满足，且. 下面证明中的元素“完全不可拆”. 证明：，，且， 则， ，故中的元素“完全不可拆”. 综上所述，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于探究集合中元素之间的关联，如第（2）问中探究相邻元素间的关系，，；再如第（3）问中探究每组中两元素的“排斥”规律，即任意，若，则. 30．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知集合，其中且．若集合满足：①；②对于中的任意两个元素，（，），满足；则称集合是关于实数的“压缩集”．例如，集合是关于的“压缩集”，理由如下： ①；②，，． (1)判断集合是否是关于的“压缩集”，并说明理由： (2)若集合是关于的“压缩集”， （i）求证：，；（提示：） （ii）求中元素个数的最大值． 【答案】(1)是关于的“压缩集”，理由见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）8. 【分析】（1）根据的“压缩集”定义判断即可； （2）设且，则， （i）根据，结合即可证； （ii）根据定义，要使中元素个数最大必有，以为界点判断两侧最多能有几个元素属于集合A，即可得答案. 【详解】（1）集合是关于的“压缩集”，理由如下： 由题意，对于有，且，，， 所以，对于其中任意两个元素都有成立，故是关于的“压缩集”. （2）设且，所以， （i）由题意，中的任意两个元素，（），满足， 所以，得证； （ii）由题意随递减，而，， 所以中元素个数最大，则，即， 若存在，则，可得，所以， 若时，此时，显然与矛盾， 所以，若必有， 以下讨论和两种情况， 当， 则，此时，即， 由，故在区间中最多有一个元素属于集合， 当时，，显然与矛盾， 此时最大元素为，同理可证均有， 所以，，有，其中，即最多有7个元素； 当， 若，则，得且，即， 同时，得且，即， 而，且，故有，此时， 综上，，则，其中，即最多有8个元素； 同理讨论，均可得，即最多有8个元素； 综上，中元素个数的最大值为8. 【点睛】关键点点睛：第三问，根据定义确定，再以为界点研究中的其它元素为关键. 31．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)；证明见解析； 【分析】（1）由集合新定义直接求出即可； （2）全部互质时，由求出即可； （3）①时直接证明即可；和分为互质与否可得到；②考虑互质与否，结合集合新定义与二次函数的关系可证明； 【详解】（1）由集合新定义中元素为中任意两个元素的乘积，去除重复的元素，可得 ，， （2）由（1）可得，，，， 若，要得到，就要全部互质， 当中所有元素互质的时候，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了， ， 即，解得，或（舍去）， 所以若，， （3）当时，，，； 当时： 若两个数互质，如，，，， ； 若两个数不互质，如，，，， ； 综上， 当时，设，中最多有，6个元素，此时， 若时，有5个元素，此时，所以， 证明：当时，由①可知成立； 若考虑互质，当时，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，它们构成了， 所以作差可得， 由二次函数的性质可得当时，上式大于零， 若不考虑互质时，当且仅当时， 此时中有个元素，， 综上. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的第二小问关键在于对集合新定义的理解，考虑互质与不互质的情况，再结合集合中元素的互异性和二次函数知识作答. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$