专题02 简易逻辑归类（考题猜想，易错必刷30题10种题型）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题02 简易逻辑归类 （易错必刷30题10种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全称存在量词的否定 · 充分与必要条件的判定 · 求参：全称命题真假 · 求参：特称命题真假 · 求参：充分不必要条件型 · 求参：必要不充分条件型 · 求参：充要条件型 · 古文辨析型充要条件 · 充分性与必要性证明 · 简易逻辑型19题 题型大通关 一．全称存在量词的否定（共 3小题） 1．（22-23高一上·浙江·期中）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解. 【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题 故否定形式是，都有. 故选：D 2．（23-24高一上·甘肃·期末）下列叙述中正确的是（    ） A． B．若集合是全集的两个子集，且，则 C．命题“”的否定是“” D．命题“”的否定是“” 【答案】AC 【分析】根据集合间的关系可判断选项A，B；根据全称量词命题的否定形式可判断选项C，D. 【详解】对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：B错误，可举特例说明，如， 则， 所以,故B错误； 全称量词命题的否定是：，故选项C正确；选项D错误. 故选：AC. 3．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）命题p：，的否定为 ；使命题p成立的一个x的值为 ． 【答案】 ， 【分析】由特称命题的否定为全称命题得第一空的答案；验证时，命题p成立，即得第二空答案. 【详解】解：因为命题p：，， 所以命题p：，； 当时，成立， 所以命题p成立的一个x的值为1. 故答案为：，，1. 2． 充分与必要条件的判定（共 3小题） 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知，是实数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式性质可得是的必要条件，通过举特例可得不是的充分条件，即可得答案. 【详解】 ，，，即是的必要条件 由于，当，，不是的充分条件. 故是的必要不充分条件， 故选：B． 5．（24-25高一上·江苏徐州·期中）“”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解. 【详解】由，得，所以是”的充要条件， 可得是”的必要条件，故A错误； 可得是”的充分条件，故B正确； 可得是”的必要条件，故C错误； 可得是”的充分条件，故D正确. 故选：BD. 6．（24-25高一上·河北·期中）已知，，则是的 条件（在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入）. 【答案】充分不必要 【分析】求得，，根据充分条件和必要条件的概念可得结论. 【详解】由，得， 由，可得，显然由可以推出，由推不出， 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 三．求参：全称命题真假 （共 3小题） 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【详解】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 8．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】由自变量的取值范围以及不等式可得，可得结论. 【详解】根据题意可知不等式恒成立， 可得，即. 因此实数的值可以是. 故选：ABD 9．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对于命题，根据其为假命题,得到否定为真命题，可得出关于的不等式；对于命题，根据其为真命题也可得出关于的不等式，最后求这两个不等式的交集得到的取值范围. 【详解】因为命题是假命题， 那么它的否定是真命题. 对于二次函数，其判别式. 展开得到，解得.即. 命题是真命题，即对恒成立. 所以，解得. 综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是 故答案为： 四．求参：特称命题真假（共 3小题） 10．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 11．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 12．（24-25高一上·辽宁·期中）已知命题“，使”为真命题，则实数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】依题意可得，由此求出的取值范围，进而可知的最小值. 【详解】依题意可得, 解得, 故的最小值为. 故答案为： 五．求参：充分不必要条件型（共 3小题） 13．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 14．（24-25高一上·安徽池州·期中）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意写出集合的元素，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 15．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 六．求参：必要不充分条件型（共 3小题） 16．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【详解】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 17．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 18．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 7． 求参：充要条件型（共 3小题） 19．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 20．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 【答案】BD 【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可； 对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可； 对C， 问题转化为求在区间有解即可； 对D， 由化简即可判断. 【详解】对A， ，若，则， 当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确； 对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确； 对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确. 故选：BD 21．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 【答案】②，③ 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，且等号不同时成立，解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，且等号不同时成立，解得； 综上所述，实数的取值范围，符合题意. 故答案为：②，③. 八．古文辨析型充要条件（共 3小题） 22．（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】少年强则国强；国强不一定少年强， 所以“国强”是“少年强”的必要条件. 故选：B 23．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】AB 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析求解. 【详解】由已知得， 由此得且，A正确，C不正确； ，B正确； 且，D不正确． 故选：AB． 24．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，眷风不度玉门”关调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】通过充分性及必要性判断捋清逻辑关系，即得答案 【分析】羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关，即羌笛怨杨柳是春风不度玉门关的充分条件， 所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的充分条件， 又因为羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了，所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的不必要条件. 故选：A 九．充分性与必要性证明（共 3小题） 25．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 26．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设出方程的根，联立方程得，即可求解必要性，利用，代入方程求解根，即可求解充分性. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共根， 则，. 两式相减，得， 由，可得， 故， 将此式代入得 可得，故. 充分性：∵，∴.① 将①代入方程， 可得，即， 方程两根为或， 将①代入方程， 可得， 即，方程两根为或， 故两方程有公共根. ∴方程与有公共根的充要条件是. 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 十．简易逻辑型19题（共 3小题） 28．（18-19高一下·上海徐汇·期末）设集合，其中. （1）写出集合中的所有元素； （2）设，证明“”的充要条件是“” （3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由. 【答案】（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件. 【分析】（1）    根据题意，直接列出即可 （2）    利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明． （3）    利用（2）的结论完成（3）即可． 【详解】（1）中的元素有，，，． （2）充分性：当时，显然 成立． 必要性： 若=1，则 若=，则 若的值有个1，和个．不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则 ，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即 综上“”的充要条件是“” （3） 等价于 等价于 由（2）得“=”的充要条件是“” 即“=”是“” 的充要条件 【点睛】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 29．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 30．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义，不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集，所以不具有性质． （2）依题意，集合的元素构成有序数对，共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）1）当集合具有性质时， ①对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此也是中不同的元素， 所以的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此和也是中不同的元素， 即的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②知； 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 简易逻辑归类 （易错必刷30题10种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全称存在量词的否定 · 充分与必要条件的判定 · 求参：全称命题真假 · 求参：特称命题真假 · 求参：充分不必要条件型 · 求参：必要不充分条件型 · 求参：充要条件型 · 古文辨析型充要条件 · 充分性与必要性证明 · 简易逻辑型19题 题型大通关 一．全称存在量词的否定（共 3小题） 1．（22-23高一上·浙江·期中）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 2．（23-24高一上·甘肃·期末）下列叙述中正确的是（    ） A． B．若集合是全集的两个子集，且，则 C．命题“”的否定是“” D．命题“”的否定是“” 3．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）命题p：，的否定为 ；使命题p成立的一个x的值为 ． 2． 充分与必要条件的判定（共 3小题） 4．（24-25高一上·湖北·期中）已知，是实数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·江苏徐州·期中）“”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河北·期中）已知，，则是的 条件（在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入）. 三．求参：全称命题真假 （共 3小题） 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）已知命题，若命题是真命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 9．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 四．求参：特称命题真假（共 3小题） 10．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·辽宁·期中）已知命题“，使”为真命题，则实数的最小值为 . 五．求参：充分不必要条件型（共 3小题） 13．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·安徽池州·期中）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 六．求参：必要不充分条件型（共 3小题） 16．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 18．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 7． 求参：充要条件型（共 3小题） 19．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 21．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 八．古文辨析型充要条件（共 3小题） 22．（24-25高一上·江苏镇江·期中）清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 24．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，眷风不度玉门”关调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 九．充分性与必要性证明（共 3小题） 25．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 26．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是. 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 十．简易逻辑型19题（共 3小题） 28．（18-19高一下·上海徐汇·期末）设集合，其中. （1）写出集合中的所有元素； （2）设，证明“”的充要条件是“” （3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由. 29．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 30．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 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