6.3 线段的比较与运算（六大题型提分练）数学青岛版2024七年级上册

6.3 线段的比较与运算（六大题型提分练） 题型一 线段的大小比较 1．如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 2．借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 3．如图，对于四条线段a，b，c，d，请借助直尺或圆规判断长度最大的为（    ） A．a B．b C．c D．d 4．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 5．如图，，则与的大小关系是： ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 6．为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时， ； （2）当点与点重合时， ； （3）当点落在线段的延长线上时， ． 题型二 线段的画法 1．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取，．则的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 3．请按下列语句画出图形，并写出线段的长度： 线段，点在的延长线上，，是的中点． 4．已知：线段a，b． 求作：线段，使．    题型三 线段的和与差 1．如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 2．已知线段的长是，点C在直线上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图所示A、B、C、D、E五点顺次在直线l上，则 (1)； (2)； (3) ． 4．若点P在线段的延长线上，，，则的长为 ． 5．线段，延长AB到C，使，再延长到D，使，则线段的长为 ． 6．如图，已知线段的长度为7，线段的长度为（），若图中所有线段的长度之和为25，则的值为 ．    7．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 8．已知线段，点C在直线上，且，求线段的长． 题型四 线段的中点 1．如果点是线段的中点，结论：①，②，③，④中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③ 2．已知点、、在一条直线上，则下列等式中，能判断是线段的中点的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在线段上，已知，是线段的中点，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．3 4．已知A，B，C，D是同一条直线上从左到右的四个点，且，若，则 cm， 是线段的中点． 5．如图，线段，点C为线段上一点，，点D、E分别为和的中点，则线段的长为 ．    6．点A，B，C是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 7．如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段 的长； (2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由． 8．如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长． 题型五 线段的n等分点 1．小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段到，使点是线段的一个三等分点”．针对小亮的作图，小莹说：“点是线段中点”．小轩说：“”．下列说法正确的是（    ） A．小莹、小轩都对 B．小莹不对，小轩对 C．小莹、小轩都不对 D．小莹对，小轩不对 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 3．已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 4．如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若，则线段AB的长为 ． 5．如图，点B是线段上一点，D是的三等分点（D靠近A），E是的中点，若，求的长． 6．如图，已知点C在线段上，点D、E分别在线段、上， （1）观察发现：若D、E分别是线段、的中点，且，则_______； （2）拓展探究；若，，且，求线段的长； （3）数学思考：若，（k为正数），则线段与的数量关系是________． 题型六 与线段有关的动点问题 1．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 2．如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 4．线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为 ． 5．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 6．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（    ） A． B． C． D． 4．下列四种说法：①因为，所以点是线段的中点；②点是线段的延长线上一点，若，则点是线段的中点；③因为点是线段的中点，所以；④若三点共线，且，则点是线段的中点．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，C、D是线段上的点，若，，，则线段的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图点A，B在线段上，点M，N分别是线段，的中点，，若，则线段的长是（ ） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 7．点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 8．定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 9．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．   A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 10．如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．如图，点P，Q在线段上，且，则 ．（填“”“”或“”） 12．如图，线段，延长到点C，使，若点D是线段的中点，则的长为 ． 13．如图，点C、D在线段上，，，，则 ． 14．如图，点C为线段上一点，，M是线段中点，，N为线段的中点，则 ． 15．已知，，为同一平面内不共线的三点，点分线段，的和为相等的两部分，若，，则线段长为 ． 三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    17．已知点C为线段的三等分点，点D，E分别为线段的中点，若，则 ． 18．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    19．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是 ． 20．已知线段，点P是射线上的一个动点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．当时，的长为 ． 21．已知：线段a、b，求作一条线段MN，使MN = 2b－a． 22．在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长． 23．已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 24．如图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，． (1)若．求； (2)若为上一点，满足，请说明：点是线段的中点． 25．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 26．如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 27．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 28．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ； ；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 线段的比较与运算（六大题型提分练） 题型一 线段的大小比较 1．如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【解析】解：由图可知，， 故选：C． 2．借助圆规，可得图中最长的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的， 故选：C． 3．如图，对于四条线段a，b，c，d，请借助直尺或圆规判断长度最大的为（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【解析】解：经测量，线段长度最大的是c， 故选C． 4．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【解析】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 5．如图，，则与的大小关系是： ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 6．为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时， ； （2）当点与点重合时， ； （3）当点落在线段的延长线上时， ． 【解析】解：（1）如图，    当点落在线段上时，； （2）如图，    当点与点重合时，； （3）如图，    当点落在线段的延长线上时，． 故答案为：，， 题型二 线段的画法 1．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取，．则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，． 故选：C． 2．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【解析】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示． 点位于点的左侧时，． 点位于点的右侧时，． 故答案为：或． 3．请按下列语句画出图形，并写出线段的长度： 线段，点在的延长线上，，是的中点． 【解析】解：根据题意作图如下， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 4．已知：线段a，b． 求作：线段，使．    【解析】解：作射线，在射线上截取，在线段上截取，线段即为所求，如图线段即为所求．    题型三 线段的和与差 1．如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， 即：； 故选C． 2．已知线段的长是，点C在直线上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】①如图1，点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ②如图，点在线段上时， ∵，， ∴， 综上所述，的长是或． 故选D． 3．如图所示A、B、C、D、E五点顺次在直线l上，则 (1)； (2)； (3) ． 【解析】（1）解：根据图形：； （2）解：根据图形：； （3）解：根据图形：． 4．若点P在线段的延长线上，，，则的长为 ． 【解析】解：∵点P在线段的延长线上，，， ∴， 故答案为：5． 5．线段，延长AB到C，使，再延长到D，使，则线段的长为 ． 【解析】解：如图，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，已知线段的长度为7，线段的长度为（），若图中所有线段的长度之和为25，则的值为 ．    【解析】∵线段长度为， ， 又∵长度为，， ∴图中所有线段的长度和为： ， 故答案为：． 7．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 【解析】（1）解：由图可得， 故答案为：、； （2）解：，理由如下， ∵，． ∴， ∴， （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．已知线段，点C在直线上，且，求线段的长． 【解析】解：∵， ∴点C不可能在的延长线上， ①如图①，当C在线段上时， ∵，， ； ②如图②，当C在线段的延长线上时， ∵，， ， ； 综上所述，或． 题型四 线段的中点 1．如果点是线段的中点，结论：①，②，③，④中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③ 【答案】C 【解析】解：∵点是线段的中点， ∴，，，； 综上：正确的有①②③④． 故选：C． 2．已知点、、在一条直线上，则下列等式中，能判断是线段的中点的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵AP=BP，且点、、在一条直线上，∴P是线段AB的中点，故A正确； 若，则点P不一定在线段AB上，不一定是线段AB的中点，故B错误； 若，则点P不一定在线段AB上，不一定是线段AB的中点，故C错误； 若，则点P只要在线段AB上就能满足，不一定是线段AB的中点，故D错误． 故选：A． 3．如图，点在线段上，已知，是线段的中点，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．3 【答案】A 【解析】解：∵，是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 4．已知A，B，C，D是同一条直线上从左到右的四个点，且，若，则 cm， 是线段的中点． 【解析】解：如图所示：    由可设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为9；点C． 5．如图，线段，点C为线段上一点，，点D、E分别为和的中点，则线段的长为 ．    【解析】由线段的和差，得， ∵点是的中点， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴由线段的和差，得． 故答案为：． 6．点A，B，C是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【解析】解：如图，点为线段的中点，点为线段的中点．，， ，， ； 如图，点为线段的中点，点为线段的中点．，， ，， ． 的长为7或3． 故答案为：7或3． 7．如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段 的长； (2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由． 【解析】（1）∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴线段的长为； （2）长度等于，理由： ∵点分别是的中点， ∴，， ∴． 8．如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度； (3)在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长． 【解析】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ； （2）∵ ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴； （3）①当点M在点C左边时， ∵， ∴； ②当点M在点C右边时， ∵， ∴． 题型五 线段的n等分点 1．小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段到，使点是线段的一个三等分点”．针对小亮的作图，小莹说：“点是线段中点”．小轩说：“”．下列说法正确的是（    ） A．小莹、小轩都对 B．小莹不对，小轩对 C．小莹、小轩都不对 D．小莹对，小轩不对 【答案】D 【解析】解：①“延长线段到，使”，如图①，则点是线段中点； ②“反向延长线段到，使点是线段的一个三等分点”，如图②，有两种情况，即或， 因此，小莹对，小轩不对， 故选：D． 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 3．已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 【解析】解：如图1所示： 点是的三等分点， ． 如图2所示： 点是的三等分点， ． 的长度为9或， 故答案为：9或． 4．如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若，则线段AB的长为 ． 【解析】解：∵点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点 ∴ ，， ， ， 故答案为：． 5．如图，点B是线段上一点，D是的三等分点（D靠近A），E是的中点，若，求的长． 【解析】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 则：， 又∵D是的三等分点（D靠近A）， ∴， ∴． 6．如图，已知点C在线段上，点D、E分别在线段、上， （1）观察发现：若D、E分别是线段、的中点，且，则_______； （2）拓展探究；若，，且，求线段的长； （3）数学思考：若，（k为正数），则线段与的数量关系是________． 【解析】（1）、为线段AC，BC的中点， ， . ， . ， . （2）， ， . ， （3）， ，， . . 题型六 与线段有关的动点问题 1．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【解析】设运动时间为t， 则AB=2t，BD=10-2t， ∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点， ∴EB= =t，BC= =5-t， ∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm， 故选：B． 2．如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：点P的运动速度是点Q的一半， ， ，， ， ， ， 故选C． 3．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 【解析】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点， ∴MC=AC，CN=CB， ∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5． 4．线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为 ． 【解析】解：此题可分为两种情况进行讨论： ①如图1， 点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ， 当时，t＝2(15－t－2t)， 解得t＝； ②如图2， 点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB， 当时，t＝2(t＋2t－15)， 解得t＝6． 综上所述：的值为或6． 故答案为：或6． 5．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【解析】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 6．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【解析】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】解：如图用圆规比较两条线段的长短，， 故选：C． 2．点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、由图可知，故A选项正确，不符合题意； B、由图可知，故B选项正确，不符合题意； C、由图可知，故C选项正确，不符合题意； D、由图可知，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，正确， B、，正确； C、，而，故本选项错误； D、，正确． 故选：C． 4．下列四种说法：①因为，所以点是线段的中点；②点是线段的延长线上一点，若，则点是线段的中点；③因为点是线段的中点，所以；④若三点共线，且，则点是线段的中点．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①当A、M、B不在同一条直线上时不成立，故①错误； ②因为点B在线段的延长线上，所以M是的中点，故②正确； ③因为M是的中点，所以，故③正确； ④因为A、M、B在同一条直线上，且，当M在之间时，点M是的中点，当M在的延长线上时，点M不是的中点，故④错误． 5．如图，C、D是线段上的点，若，，，则线段的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】解：由题意知，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：B． 6．如图点A，B在线段上，点M，N分别是线段，的中点，，若，则线段的长是（ ） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】D 【解析】解：∵， ∴设， ∵点M，N分别是线段，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴cm． 故选：D． 7．点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】当在点的右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 当在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 综上可知的长为或， 故选：． 8．定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【解析】解：甲同学： 点C在线段AB上，且， ， ， 甲同学正确． 乙同学： 点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点， 有两种情况， ①当时，， ②当时，， 乙同学错误． 故选：A． 9．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 10．如图所示，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的有（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解： 是的三等分点，， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②③④， 故选：D． 11．如图，点P，Q在线段上，且，则 ．（填“”“”或“”） 【解析】 ， 故答案为：． 12．如图，线段，延长到点C，使，若点D是线段的中点，则的长为 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， 故答案为：6． 13．如图，点C、D在线段上，，，，则 ． 【解析】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．如图，点C为线段上一点，，M是线段中点，，N为线段的中点，则 ． 【解析】解： M是线段中点，， ，， ， ， ， N为线段的中点， ， ， 故答案为：1． 15．已知，，为同一平面内不共线的三点，点分线段，的和为相等的两部分，若，，则线段长为 ． 【解析】当时，点在上，如图， ∵点分，的和为相等的两部分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，点在上，如图， ∵点分，的和为相等的两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 16．如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    【解析】解：当点是线段的“巧分点”时，可能有、、 三种情况， ①时，，    ②时，，    ③时，．    故答案为：2或4或3． 17．已知点C为线段的三等分点，点D，E分别为线段的中点，若，则 ． 【解析】解：如图所示，当点C靠近点A时， ∵，点C是线段的三等分点， ∴， ∵点D，E分别为线段的中点， ∴， ∴； 如图所示，当点C靠近点B时， ∵，点C是线段的三等分点， ∴， ∵点D，E分别为线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或6， 故答案为：3或6． 18．如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【解析】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 19．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是 ． 【解析】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故答案为：． 20．已知线段，点P是射线上的一个动点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．当时，的长为 ． 【解析】解：点P是射线上的一个动点， ①点P在直线AB之内，如图1， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ； ②点P在直线AB之外，如图2， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 21．已知：线段a、b，求作一条线段MN，使MN = 2b－a． 【解析】解：先作射线，然后在射线上截取，，再截取，则线段，如下图： 22．在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长． 【解析】解：①当点D在线段上时，如图①． 因为，所以． 因为，所以， 所以， 所以． ②当点D在线段的延长线上时，如图②． 因为，所以． 因为，所以， 所以， 所以． 综上所述，的长为或． 23．已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 【解析】解：如图①，当点C在点B的右侧时， ∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴． 如图②，当点C在点B的左侧时， ∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长为5或1． 24．如图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，． (1)若．求； (2)若为上一点，满足，请说明：点是线段的中点． 【解析】（1）解：∵为中点，， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴． （2）∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴． ∴， ∴， ∴为中点． 25．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）线段，C为的中点， ． （2）存在． 依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ， ， ， ， 解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，， ， 解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 27．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 28．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ； ；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【解析】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$