专题08 数与形（考点清单，知识导图+6个考点清单+3种题型解读）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

专题08 数与形 （考点清单，知识导图+6个考点清单+3种题型解读） 清单01 数列 按一定顺序排列起来的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和项的序数有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第项，......，排在第n位的数称为这个数列的第n项。 清单02 等差数列之和与正方形数的关系 n²＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)（n为奇数个数）。 清单03 等差数列图形问题 an＝a1＋(n－1)d（a1为第一组个数，n为组数，d为等差值）。 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。 清单04 求等比数列之和 用圆或线段表示“1”。 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。 清单05 数线段问题 线段个数＝1＋2＋3＋…＋(n－1)或＝n×(n－1)÷2（n为端点个数）。 清单06 数角问题 角的个数＝1＋2＋3＋…＋(n－1)或＝n×(n－1)÷2（n为射线条数）。 考点题型一 数形结合规律 1：如图，芳芳用小棒摆“金鱼”，按照这个规律摆下去，第50幅图用了（    ）根小棒。 A．8 B．102 C．98 D．302 答案：D 分析：观察可知，第1幅图用了8根小棒，8＝1×6＋2；第2幅图用了14根小棒，14＝2×6＋2；第3幅图用了20根小棒，20＝3×6＋2，由此可知，小棒根数＝第几幅图就用几×6＋2，据此分析。 详解：50×6＋2 ＝300＋2 ＝302（根） 第50幅图用了302根小棒。 故答案为：D 【1-1】照下面的规律接着画下去，第10个图中有（    ）个圆。 A．36 B．37 C．41 答案：B 分析：第1个图中有1个圆，1＝4×1－3； 第2个图中有5个圆，5＝4×2－3； 第3个图中有9个圆，9＝4×3－3； 第4个图中有13个圆，13＝4×4－3； …… 规律：第n个图中有（4n－3）个圆，按此规律解答。 详解：规律：第n个图中有（4n－3）个圆。 当n＝10时 4n－3 ＝4×10－3 ＝40－3 ＝37（个） 第10个图中有37个圆。 故答案为：B 【1-2】如下边图形，想一想，第十层有( )个。 答案：19 分析：根据题意得：第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，第5层有9个，依次类推，下面那一层比上面一层多2个，据此可得出答案。 详解：根据题意得：图形中下面一层比上面一层多两个，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，第5层有9个，可得到规律：第几层个数＝5×层数-1，则第十层有： 10×2－1 ＝20－1 ＝19（个） 【1-3】仔细观察，你有什么发现？把你的发现填在下表中。 正方形的个数 1 2 3 4 … （    ） 顶点个数 4 7 10 （    ） … 601 答案：顶点个数＝正方形个数×3＋1；13；200 分析：观察可知，顶点个数＝正方形个数×3＋1，正方形个数＝（顶点个数－1）÷3，据此分析。 详解：将正方形个数看作n，顶点个数＝3n＋1 3n＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） （601－1）÷3 ＝600÷3 ＝200（个） 正方形的个数 1 2 3 4 … 200 顶点个数 4 7 10 13 … 601 考点题型二 算式的规律 2：已知：3×9＝27，3×99＝297，3×999＝2997，3×9999＝29997，那么：3×999999＝（    ）。 A．299997 B．3000007 C．2999997 答案：C 分析：根据算式的规律可以看出，从第二个算式开始，每个算式的结果的第一个数是2，最后一个数是7，中间是9，乘数里面有几个9，积里面9的个数比乘数里9的个数少1，据此规律即可选择。 详解：由分析可知： 3×999999＝2999997 故答案为：C 【2-1】算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于（    ）。 A．72 B．42＋42 C．42＋32 答案：C 分析：把算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＝42，5＋3＋1＝32，据此解答。 详解：1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝42＋32 ＝16＋9 ＝25 算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于42＋32。 故答案为：C 点睛：本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 【2-2】已知3＋＝3×＝，4＋＝4×＝，5＋＝5×＝…则6＋( )＝( )×( )＝( )；A＋( )＝A×( )＝( )。 答案： 6 分析： 根据题意，3＋＝3×＝，可以写成：3＋＝3×＝； 4＋＝4×＝，可以写成：4＋＝4×＝； 5＋＝5×＝，可以写成：5＋＝5×＝； …… 由此可知，第n个算式时，n＋＝n×＝，据此求出n＝6、n＝A时的值，据此解答。 详解：根据分析可知，n＋＝n×＝。 n＝6时： 6＋＝6×＝ n＝A时： A＋＝A×＝ 已知3＋＝3×＝，4＋＝4×＝，5＋＝5×＝…则6＋＝6×＝；A＋＝A×＝。 点睛：本题考查算式变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化规律，从而解答。 【2-3】观察下列等式 （1） （2） （3） （4） 根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是( )。 答案：3025 分析：根据已知算式可知，每个式子的结果应该为左边所有底数的和的平方，由此可知，第10个等式左边就是13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103的和，就是求出1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的和的平方，由此求出a的值。 详解：根据分析可知，第10个等式是： 13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2 ＝（3＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2 ＝（6＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2 ＝（10＋5＋6＋7＋8＋9＋10）2 ＝（15＋6＋7＋8＋9＋10）2 ＝（21＋7＋8＋9＋10）2 ＝（28＋8＋9＋10）2 ＝（36＋9＋10）2 ＝（45＋10）2 ＝552 ＝3025 a的值是3025。 考点题型三 数字排列的规律 3：、、、…这一列数中的第10个数应该是（    ）。 A． B． C． D． 答案：B 分析：观察数列可知，这些分数的分母是按照偶数进行排列的，分子是按照奇数进行排列的，则第10个数应该是，据此选择即可。 详解：由分析可知： 、、、…这一列数中的第10个数应该是。 故答案为：B 点睛：本题考查数字的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 【3-1】找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 答案： 分析：根据、、可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为和的分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是，＝1。所以这串数中第7个数应该是的分子加上3，分母加上4之后所得的数。 详解：16＋3＝19 19＋4＝23 所以这串数中第7个数是。 【3-2】我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形（见图），根据它的规律，第六行数字应该是( )。 答案：1－5－10－10－5－1 分析：观察“杨辉三角”可知，第几行就有几个数，左右两边都是1，从第三行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和，由此求出第六行数字。 详解：如图： 第六行数字应该是1－5－10－10－5－1。 我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形（见图），根据它的规律，第六行数字应该是1－5－10－10－5－1。 【3-3】黑洞数又称陷阱数，例如：297，把各数位上的数从小到大排列为279，从大到小排列为972；将972－279＝693；又把693重新排列，大数是963，小数是369，963－369＝594；再把594重新排列，大数是954，小数是459，954－459＝495，重复上述步骤都得到495，我们就把这个495称做“黑洞数”。 根据以上方法你能用1628这个数，推算出四位数的黑洞数吗？ 1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353； 7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176； 请你接着推算，四位数的黑洞数应该是多少。 答案：6174 分析：观察例子可知：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是某个数，那么这个数就是四位数的黑洞数。 详解：1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353； 7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176； 4176重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174； 6174重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174； 重复上述步骤都得到6174，所以6174是四位数的黑洞数。 答：四位数的黑洞数应该是6174。 点睛：读懂题意，按照例子给出的方法操作是解题的关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 数与形 （考点清单，知识导图+6个考点清单+3种题型解读） 清单01 数列 按一定顺序排列起来的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和项的序数有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第项，......，排在第n位的数称为这个数列的第n项。 清单02 等差数列之和与正方形数的关系 n²＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)（n为奇数个数）。 清单03 等差数列图形问题 an＝a1＋(n－1)d（a1为第一组个数，n为组数，d为等差值）。 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。 清单04 求等比数列之和 用圆或线段表示“1”。 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。 清单05 数线段问题 线段个数＝1＋2＋3＋…＋(n－1)或＝n×(n－1)÷2（n为端点个数）。 清单06 数角问题 角的个数＝1＋2＋3＋…＋(n－1)或＝n×(n－1)÷2（n为射线条数）。 考点题型一 数形结合规律 1：如图，芳芳用小棒摆“金鱼”，按照这个规律摆下去，第50幅图用了（    ）根小棒。 A．8 B．102 C．98 D．302 【1-1】照下面的规律接着画下去，第10个图中有（    ）个圆。 A．36 B．37 C．41 【1-2】如下边图形，想一想，第十层有( )个。 【1-3】仔细观察，你有什么发现？把你的发现填在下表中。 正方形的个数 1 2 3 4 … （    ） 顶点个数 4 7 10 （    ） … 601 考点题型二 算式的规律 2：已知：3×9＝27，3×99＝297，3×999＝2997，3×9999＝29997，那么：3×999999＝（    ）。 A．299997 B．3000007 C．2999997 【2-1】算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于（    ）。 A．72 B．42＋42 C．42＋32 【2-2】已知3＋＝3×＝，4＋＝4×＝，5＋＝5×＝…则6＋( )＝( )×( )＝( )；A＋( )＝A×( )＝( )。 【2-3】观察下列等式 （1） （2） （3） （4） 根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是( )。 考点题型三 数字排列的规律 3：、、、…这一列数中的第10个数应该是（    ）。 A． B． C． D． 【3-1】找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。 【3-2】我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形（见图），根据它的规律，第六行数字应该是( )。 【3-3】黑洞数又称陷阱数，例如：297，把各数位上的数从小到大排列为279，从大到小排列为972；将972－279＝693；又把693重新排列，大数是963，小数是369，963－369＝594；再把594重新排列，大数是954，小数是459，954－459＝495，重复上述步骤都得到495，我们就把这个495称做“黑洞数”。 根据以上方法你能用1628这个数，推算出四位数的黑洞数吗？ 1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353； 7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176； 请你接着推算，四位数的黑洞数应该是多少。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$