精品解析：广东省廉江市安铺中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

安铺中学2024-2025学年第一学期11月份月考 高二数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则P的子集共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 2. 已知为虚数单位，则（ ） A B. 1 C. D. 3. 下列函数中既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A B. C. D. 4. 化简所得的向量是（ ） A B. C. D. 5. 若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 7. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 8. 圆和圆的公切线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是直线l的倾斜角，则 B. 若k是直线的斜率，则 C. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 10. 若直线与圆相切，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若角的终边过点，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点关于平面的对称点为，点关于轴的对称点的坐标为______． 13. 斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为______． 14. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截的弦长为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，13＋15＋15＋17＋17解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，点P在y轴上，满足． （1）求点P的坐标； （2）若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 16. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中x的值； （2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量小于6吨的人数； （3）由频率分布直方图估计该市居民月均用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）． 17. 角的对边分别为，已知． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是的中点，G为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角余弦值． 19. 已知圆M过，两点，且圆心M在上． （1）求圆M的方程； （2）设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安铺中学2024-2025学年第一学期11月份月考 高二数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则P的子集共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】先由交集运算得集合，再由集合中元素的个数确定子集个数. 【详解】由题意，则其所有子集为， 则P子集共有个. 故选：A. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质及复数的乘除运算求解可得. 【详解】. 故选：D. 3. 下列函数中既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶函数和单调函数的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：幂函数为奇函数，且在上单调递增，故A不符合题意； B：设，则，所以该函数为偶函数， 由，知该函数在上单调递增，故B不符合题意； C：设，则，所以该函数为偶函数， 该二次函数图象为开口向下的抛物线，对称轴为y轴，所以在上单调递减，故C符合题意； D：一次函数的图象不关于y轴对称，也不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，且在上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 4. 化简所得的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 5. 若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量夹角与异面直线所成角关系，结合两条异面直线所成角的范围即可求解. 【详解】设与两条异面直线所成的角为，则， 因为与这两条异面直线所成的角等于直线的方向向量与的方向向量的夹角或夹角的补角， 又，所以， 所以异面直线与所成角等于， 故选：B. 6. 若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行得斜率相等，利用斜率公式列方程求解，注意验证是否重合. 【详解】过点和点的直线斜率为， 由两直线平行，则直线的斜率，解得， 验证，当时，，则直线的斜率为， 四点不共线，即两直线平行. 故选：D. 7. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求圆的标准方程即可. 【详解】由题意，设圆心坐标为，半径， 可设圆的标准方程为：， 由圆过可得，解得， 则所求圆的标准方程为. 故选：C. 8. 圆和圆的公切线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】A 【解析】 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为1． 两圆的圆心距为，所以两圆外离， 故两圆的公切线的条数为4. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是直线l的倾斜角，则 B. 若k是直线的斜率，则 C. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 10. 若直线与圆相切，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出圆心坐标和圆的半径，利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式可求得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，则， 解得或. 故选：AC. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若角为锐角，则角为钝角 B. 是第三象限角 C. 若角的终边过点，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由锐角和钝角的定义和范围即可判断；对于B，由与终边相同即可判断；对于C，由题意结合三角函数余弦值的定义即可计算求解；对于D，由弧长公式和扇形面积公式即可计算求解； 【详解】对于A，因为角为锐角，即， 所以，所以角是锐角或直角或钝角，故A错误； 对于B，与终边相同是第二象限角，故B错误； 对于C，因为角的终边过点，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为圆心角为的扇形的弧长为，所以该扇形的半径为， 所以该扇形面积为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点关于平面的对称点为，点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于平面的对称点为，点关于轴的对称点的坐标是求解即可． 【详解】因为点关于平面的对称点为，所以， 而点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为： ． 13. 斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求两条直线交点，再由斜截式方程可得. 【详解】联立方程组，解得， 由题意斜率为，且过的直线方程为. 即所求直线方程为. 故答案为：. 14. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截的弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再求弦长. 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为 圆，即的圆心为，半径为 所以圆心到直线的距离为 所以弦长为 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，13＋15＋15＋17＋17解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，点P在y轴上，满足． （1）求点P的坐标； （2）若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系转化为数量积为，设出点坐标，由坐标运算求解可得； （2）设动点，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程. 【小问1详解】 由点P在y轴上，设，则， 由，则， 即，解得， 故点P的坐标为. 【小问2详解】 设，， 由，得，即， 则， ， 则有 化简得，即. 则动点Q的轨迹方程. 16. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中x的值； （2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量小于6吨的人数； （3）由频率分布直方图估计该市居民月均用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）． 【答案】（1） （2）万 （3）吨 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1列方程求解即得； （2）计算月均用水量小于6吨人数对应的频率，求出对应的人数； （3）由频率分布直方图中间值作为代表，计算估计平均数； 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得， 故直方图中x的值为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得， 月均用水量小于6吨的频率为：， 所以估计全市50万居民中月均用水量小于6吨的人数为：（万）； 【小问3详解】 该市居民用水的平均数估计为： ； 估计该市居民月均用水的平均数吨. 17. 的角的对边分别为，已知． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求角可得； （2）由面积公式可得，已知可求边，再由已知三边关系可求，进而得到周长. 【小问1详解】 在中，由， 得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 由已知， 则， 故的周长为. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是的中点，G为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积坐标运算，由数量积为即可证明； （2）利用向量法，转化两平面法向量夹角求解. 【小问1详解】 如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ， 则， 所以，故. 【小问2详解】 ， ， 设平面的法向量， 则，令，则 则平面一个法向量， 取平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知圆M过，两点，且圆心M在上． （1）求圆M的方程； （2）设P是直线上的动点，是圆M的两条切线，为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心M在上可设，圆的半径为，根据圆所过两点的坐标列出方程组求出圆心和半径，即可得出圆的方程； （2）根据题中条件，得到与全等，则四边形面积为，进而可求出结果. 【小问1详解】 由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为是圆的两条切线，为切点， 所以，，因此与全等， 又点到直线的距离为， 则直线与圆相离， 所以四边形面积 ， 当且仅当与直线垂直时，四边形的面积最小，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$