12.3角的平分线的性质 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

12.3 角的平分线的性质 1. 角的平分线的作法 (1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线. (2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线. (3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论. 知识点 作已知角的平分线 1 知1－讲 感悟新知 2. 尺规作图步骤与图示 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N. 知1－讲 感悟新知 (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. 特别解读 1 .“大于MN 的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交. 知1－讲 感悟新知 (3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图12 .3 -1). 2.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 3.用尺规作一个角的平分线，实质上是运用“SSS”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找出平分一个角的射线. 知1－讲 感悟新知 证明：根据前两步作法可知OM=ON，CM=CN. 在△ OMC 和△ ONC 中， OM=ON， CM=CN， OC=OC， ∴△ OMC ≌△ ONC(S S S). ∴∠ AOC= ∠ BOC. 知1－讲 感悟新知 如图12.3-2，已知：∠ AOB，求作：∠ AOM=∠ AOB. 例1 解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可. 知1－练 感悟新知 7 解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为 半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F； (2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角(如图12 .3 -2). 知1－练 感悟新知 8 1-1. 已知：∠ AOB，如图所示，求作：∠ AOB的邻补角的平分线(保留作图痕迹，不写作法) 知1－练 感悟新知 解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一) 知1－练 感悟新知 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 知识点 角的平分线的性质 2 知2－讲 感悟新知 2. 几何语言：如图12 .3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F， ∴ PE=PF. 只要符合基本模型，直接得出结论不需要证全等 知2－讲 感悟新知 特别解读 1.角的平分线的性质是由两个条件( 角平分线，垂线) 得到一个结论(线段相等). 2.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两 边的线段”， 如图 12.3-4 ①所示，而不是 “垂直于角平分线的线 段”，如图12.3-4 ②所示. 知2－讲 感悟新知 如图12.3-5，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取 点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 例2 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. 知2－练 感悟新知 证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P 为DO 上一点，且PM ⊥ BD，PN ⊥ AD， ∴ PM=PN. OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，已知AC 平分∠ BAD，CE ⊥ AB，CD ⊥ AD，点E，D 分别为垂足，CF=CB．求证：BE=FD． 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 如图12.3-6，在△ ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB， BD=2CD，点D 到AB 的距离为5.6 cm，求BC 的长. 例3 解题秘方：依据角平分线的性质得出CD的长，进而得出BD 的长，依据BC=CD＋BD即可得出结论. 知2－练 感悟新知 解：如图12 .3 - 6，过点D 作DE ⊥ AB 于点E. ∵∠ C=90°，AD 平分∠ CAB， 点D 到AB 的距离为5.6 cm， ∴ CD=DE=5 .6cm. 又∵ BD=2CD，∴ BD=2×5 .6=11. 2(cm). ∴ BC=CD＋BD=5 .6＋11. 2=16 .8(cm). 知2－练 感悟新知 3-1.如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=8，DC=AD，BD 平分∠ ABC，则点D 到AB 的距离等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 C 知2－练 感悟新知 如图12.3-7，在△ ABC 中，AD 是 ∠ BAC 的平分线，DE ⊥ AB 于点E，DF⊥AC 于点F，△ ABC 的面积是225 cm2，AB=28 c m，AC=17 c m，求DE 的长． 例4 解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解. 知2－练 感悟新知 解：∵ AD 是∠ BAC 的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，∴ DE=DF. ∵△ ABC 的面积是225 cm2， AB=28cm，AC=17 c m， ∴×28·DE＋×17·DF=225， 解得DE=DF=10 c m. 知2－练 感悟新知 4-1.[中考·湖州]如图，已知在四边形ABCD中，∠ BCD=90 °，BD 平分∠ ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是( ) A.24 B.30 C.36 D.42 B 知2－练 感悟新知 如图12.3-8，在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AD 平分∠ CAB，交BC于点D，DE ⊥ AB，垂足为E. 若AB=8 cm，求△ DEB 的周长. 例5 知2－练 感悟新知 思路引导： 知2－练 感悟新知 解：在△ ABC 中，∠ C=90°，∴ DC ⊥ AC. 又∵ DE ⊥ AB，AD 平分∠ CAB，∴ DC=DE. 在Rt △ ACD 和Rt △ AED 中， ∴ Rt △ ACD ≌ Rt △ AED(HL). ∴ AC=AE. ∵ AC=BC，∴ AE=BC. ∴△ DEB 的周长=DE＋DB＋EB=DC＋DB＋EB=BC＋EB=AE＋EB=AB=8 cm. AD=AD， DC=DE， 知2－练 感悟新知 5-1. 如图，已知△ ABC中，∠ C=90 °，AD 平分∠ BAC 交BC 于D，DE ⊥ AB 于E， 点F在AC 上，且BD=FD.求证：AE－BE=AF． 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 已知：命题中的题设部分； 求证：命题中的结论部分 知识点 证明几何命题的一般步骤 3 知3－讲 感悟新知 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. 知3－讲 感悟新知 (3) “两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 知3－讲 感悟新知 特别提醒 1.证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”. 2.证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别证明. 知3－讲 感悟新知 求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角 形全等. 解题秘方：为了便于分清命题中的已知和求证，可以将命题改写成“如果……那么……”或“若……则……”的形式. 根据命题的题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证. 例6 知3－练 感悟新知 解：已知：如图12 .3 -9，在△ ABC 和△ A′B′C′中，AD，A′D′分别为∠ BAC，∠ B′A′C′的平分线，且∠ B= ∠ B′，∠ BAC= ∠ B′A′C′，AD=A′D′. 知3－练 感悟新知 求证：△ ABC ≌△ A′B′C′ 证明：∵ AD，A′D′分别平分∠ BAC，∠ B′A′C′， ∴∠ 1= ∠ BAC，∠ 2= ∠ B′A′C′. ∵∠ BAC= ∠ B′A′C′，∴∠ 1= ∠ 2 . 在△ ABD 和△ A′B′D′中， ∴△ ABD ≌△ A′B′D′(AAS). ∴ AB=A′B′ ∠ B= ∠ B′， ∠ 1= ∠ 2， AD=A′D′， 知3－练 感悟新知 在△ ABC 和△ A′B′C′中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(ASA). ∠ B= ∠ B′， AB=A′B′， ∠ BAC= ∠ B′A′C′， 知3－练 感悟新知 6-1. 命题：全等三角形的对应边上的高相等. (1)写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：________________ ________________________________________________； 如果两条线段是 一对全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等 知3－练 感悟新知 (2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程. 解：已知：如题图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′.求证：AD＝A′D′. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′. ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°. 知3－练 感悟新知 知3－练 感悟新知 6-2. 求证：三角形一边的两端到这条边的中线所在直线的距离相等. 解：已知：如图，AD为△ABC的BC边上的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E. 知3－练 感悟新知 求证：BE＝CF. 证明：∵AD为△ABC的BC边上的中线， ∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠E＝∠CFD＝90°. 知3－练 感悟新知 知3－练 感悟新知 1. 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 知识点 角的平分线的判定 4 知4－讲 感悟新知 2. 几何语言：如图12 .3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 知4－讲 感悟新知 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 知4－讲 感悟新知 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图12 .3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA，PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等. 知4－讲 感悟新知 特别提醒 1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2.角的平分线的判定是由两个条件( 垂线，线段相等)得到一个结论( 角平分线). 3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 知4－讲 感悟新知 4. 有相等，无垂直，不能证明角平分线，如图12.3-11，QM=QN， 但QM 和QN 不是点Q 到OA，OB 的垂线段，不能得出OQ 是∠ AOB 的平分线. 知4－讲 感悟新知 如图12.3-12，BE=CF，BF⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D.求证：AD 平分∠ BAC. 例7 知4－练 感悟新知 思路引导： 知4－练 感悟新知 证明：∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB， ∴∠ DEB= ∠ DFC=90°. 在△ BDE 和△ CDF 中， ∴△ BDE ≌△ CDF(AAS). ∴ DE=DF. 又∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，∴ AD 平分∠ BAC. ∠ BDE= ∠ CDF， ∠ DEB= ∠ DFC， BE=CF， 知4－练 感悟新知 7-1. 已知：如图，DE ⊥AB 于E，DF ⊥ AC 于F，若BD=CD，BE=CF.求证：AD 平分∠ BAC. 知4－练 感悟新知 知4－练 感悟新知 已知：如图12.3-13，BP，CP分别是△ ABC 的外角平分线，PM ⊥ AB 于点M，PN ⊥ AC 于点N． 求证：AP 平分∠ MAN． 例8 知4－练 感悟新知 思路引导： 知4－练 感悟新知 证明：如图12 .3 -13，作PD ⊥ BC 于点D， ∵ BP 是∠ MBC 的平分线， PM ⊥ AB，PD ⊥ BC， ∴ PM=PD， 同理可得PN=PD，∴ PM=PN. 又PM ⊥ AB，PN ⊥ AC，∴ AP 平分∠ MAN． 知4－练 感悟新知 8-1.已知：如图，△ ABC的角平分线BE，CF 相交于点P．求证：点P在∠ A 的平分线上. 知4－练 感悟新知 证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BCPN⊥AC，垂足分别为点D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上， ∴PD＝PM. 同理可得PM＝PN，∴PD＝PN. ∴点P在∠A的平分线上． 知4－练 感悟新知 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 知识点 三角形的角平分线的性质(拓展点) 5 知5－讲 感悟新知 2. 几何语言：如图12 .3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离(OE，OG，OF 的长)相等，即OE=OG=OF. 知5－讲 感悟新知 特别提醒 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 知5－讲 感悟新知 如图12 .3-15， 在△ ABC 中，点O 是∠ ABC，∠ ACB 的平分线的交点，AB＋BC＋AC=20. 过O 作OD ⊥ BC 于点D，且OD=3，求△ ABC 的面积. 例9 解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，解题的关键是得到点O 到三边的距离相等. 知5－练 感悟新知 解：如图12 .3 -15，过点O 作OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ AC于点F，连接OA. ∵点O 是∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的 平分线的交点，∴ OE=OD， OF=OD. ∴ OE=OF=OD=3 . ∴ S △ ABC=S △ ABO＋S △ BCO＋S △ ACO= AB·OE＋BC· OD＋AC·OF= ×3×(AB＋BC＋AC)= ×3×2 0 =3 0 . 知5－练 感悟新知 9-1. 如图，有一块三角形的空地ABC，其三边长AB，AC，BC 分别为30 m，40 m，5 0 m.现要把它分成面积比为3 ∶4 ∶5 的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. 知5－练 感悟新知 解：方案如图所示． 知5－练 感悟新知 分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地． 理由：易得P为△ABC的三个内角平分线的交点，∴点P到AB，AC，BC的距离均相等． ∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为AB，AC，BC的长度的比，即3∶4∶5.(答案不唯一) 知5－练 感悟新知 角的平分线 角的 平分线 性质 判定 几何命题的证明 作已知角 的平分线 尺规 全等 课堂小结 证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB， CD⊥AD，∴CD＝CE. 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL)．∴BE＝FD. 证明：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，∠C＝90°，∴DC＝DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. 在Rt△FCD和Rt△BED中， ∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL)． ∴CF＝BE. ∴AE－BE＝AC－CF＝AF. 在△ABD和△A′B′D′中， ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)． ∴AD＝A′D′. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)． ∴BE＝CF. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. $$