专题2.2 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.2 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·全国·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线L上的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）对于抛物线的说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限 C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小 6．（2024·浙江宁波·一模）已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 9．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上． 若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 12．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 ． 13．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点…都是和谐点，请写出二次函数的图象上所有和谐点的坐标是 ． 14．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，小刚利用计算机绘制了一个树叶图案，曲线为抛物线的一部分，顶点为A，曲线与曲线关于直线对称，点B为点A的对称点，则点B的坐标为 ． 15．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ． 17．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 ． 18．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 20．（8分）（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 21．（10分）（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（10分）（2024·福建泉州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为E，在该抛物线第一象限内有一点A，轴，垂足为B．点F坐标分别为，点C是的中点，轴，垂足为E，，垂足为D． (1)求证：； (2)求证：B，D，F三点共线； (3)若，判断四边形是何种特殊的四边形，并说明理由． 23．（10分）（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： (1)求之间满足的函数关系式； (2)已知在此函数图象上，请求出的面积． 24．（12分）（23-24九年级上·浙江·期末）二次函数与（a，b是实数，）． (1)当时，完成以下表格： 函数表达式 对称轴 直线 直线______ 顶点坐标 （，____） 与坐标轴交点 ，（_____，0） 再取几对不同的a，b值，继续探究这两个二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点，观察发现，它们图象的_______（填序号）相同． ①形状        ②对称轴        ③顶点坐标       ④与坐标轴的交点 (2)若函数的图象经过（．点是图象上的一点．可以利用这两个函数图象之间的关系，快速求出t的值，请你也求一求． (3)若函数的图象向上平移6个单位，与x轴仅有一个交点．点均在的图象上，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B B D D C D C 1．D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 2．B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线图象的性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为y轴，必在抛物线L上的是， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了根的判别式及二次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程没有实数根确定k的取值范围，然后根据二次函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称， 四个选项中，只有选项C符合， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式以及二次函数的平移性质，先整理，再结合向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数，， 该函数的图象开口向上，图象经过第一、二象限，对称轴是轴，顶点坐标为，有最小值2，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误， 故选：B． 6．D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且， 在第三象限，在第一象限， 由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 在第一象限， ，， ． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，完全平方公式，先得出点，根据正方形的性质得点．再把点代入，得出，整理出，结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意当时，则， ∴点， 四边形为正方形，， 则， 点． 将点代入中， 得． ， ． ， ， ， 的最小值为4． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与、与、与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与、与、与都关于点A对称， ∴， ∴， 又，， ∴ ， 故选：C． 9．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点间的距离，利用平方差公式因式分解，设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，根据“焦点”定义可知：，，则，根据两点间的距离可得，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， 设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则， 根据“焦点”定义可知：，， ∵点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 由得：， ∴， 即：， 整理得：， ∴， ∴，解得：， ∴焦点的坐标为， 故选：． 11． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，决定开口方向和大小是解题的关键．利用对于二次函数，顶点相同即不变，形状也相同即不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决． 【详解】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式， 即只有二次项系数相反， 则其解析式为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和谐点的定义，设点在二次函数的图象上，把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意，设点在二次函数的图象上， 则：，解得：或， ∴的图象上所有和谐点的坐标是； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于直线对称的点的坐标，如关于直线的对称点为，根据二次函数的性质和关于对称点的特点求解即可． 【详解】抛物线的顶点为A， ， 点B是点A关于直线的对称点， ， 故答案为：． 15．10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 16．8 【分析】本题考查了二次函数的性质以及正方形的性质，根据“美丽抛物线”的定义，得出D的坐标为，再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴抛物线的顶点A的坐标为，点C的坐标为 ∵“美丽抛物线”的定义 ∴点D的坐标为 将代入， 得 解得（舍去）或． 故答案为：8 17．5 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等等，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接，利用勾股定理求出，根据题意推出的周长，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：5． 18． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质是解题的关键． 设，则，由勾股定理得，，，证明，则，即，可得，将代入，可求，则，可求顶点坐标为，然后计算求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得，， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴顶点坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 19．(1)，；，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象得，；再联立方程组，解出即； （2）运用数形结合思想，得出当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点， ∴，， 即，； ∵抛物线与直线相交于点，． ∴ ∴ 整理得 ∴ 则 结合图象，得； （2）解：∵，且， ∴由图得． 20．(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 21．(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在．理由见解析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）由，可得，设，则，，，由两点间距离公式得，，，则，进而结论得证； （2）由，，可得的中点坐标为，即是的中点，进而结论得证； （3）如图，由题意知，，，证明，则，，是等边三角形，，由轴，可得，由（2）知是的中点，则，是等边三角形，则，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设，则，，， 又∵点F坐标分别为 ∴由两点间距离公式得，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴的中点坐标为， ∴是的中点， ∴B，D，F三点共线； （3）解：四边形是菱形，理由如下； 如图， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，， 由题意知，轴， ∴， 由（2）知是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定等知识．熟练掌握勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定是解题的关键． 23．(1) (2) 【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式； （2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积. 【详解】（1）解：连接，过点作轴于． 则，， ，． ． （2）由（1）知，，如图， . 【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 24．(1)，，；②④； (2)； (3)的值为6． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质． （1）利用配方法得到两抛物线的对称轴和顶点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质找出两函数图象的相同点； （2）抛物线可用交点式表示为，再把代入得，由于两抛物线有相同的对称轴，则抛物线的解析式为，然后计算自变量为对应的函数值得到的值； （3）利用二次函数图象的几何变换，函数的图象向上平移6个单位后抛物线解析式为，根据根的判别式的意义得到△，再确定抛物线的对称轴为直线，所以，则，消去得到，然后解方程得到的值． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为， 令，则， 解得，， 与轴的交点为，； ， 对称轴直线为， 故答案为：，，；②④； （2）解：抛物线可表示为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，； （3）解：函数的图象向上平移6个单位后抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴仅有一个交点， △， 点，均在的图象， 抛物线的对称轴为直线， 即， 解得， ， 解得（舍去），， 即的值为6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$