专题2.1 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次函数的概念 1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、二次函数必须同时具备的条件 （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0. 【知识点2】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质 1、 抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点. 抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点. 2、 用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤 （1） 列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格； （2） 描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相应的点； （3） 连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸. 3、 二次函数y=ax²的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0. 【知识点3】二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象和性质 1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系 二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+k可由抛物线y=ax²沿y轴向上（下）平移个单位长度得到.当，沿y轴向上平移个单位，当时，向下平移个单位. 2、二次函数y=ax²+k的图象和性质 y=ax²+k(a≠0) a>0 k>0 a<0, k>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为k. 当x=0时，y有最大值为k. 题型目录 【题型1】二次函数的概念.......................................................3 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质............................................3 【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质.........................................4 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象平移关系................................5 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象和性质几何应用..........................6 【题型6】直通中考.............................................................7 【题型7】拓展延伸.............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数的概念 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【变式2】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，作交边于点，若设，，则关于的函数表达式是 . 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知、、在函数的图像上，则的大小关系是 ．（用“”号联结） 【题型3】二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．   (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系 【例4】（20-21九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）． 【变式1】（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【变式2】（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为 . 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象和性质几何应用 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【变式1】（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 【变式2】（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·湖北鄂州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，有两点，，过两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为直线与相交于点，则线段，，所以……①，我们把①式称作两点间的距离公式．请根据此公式，求出，两点之间的距离； （2）如图2，平面直角坐标系中，的三个顶点都在抛物线上，且轴，，过点作，垂足为，请直接运用第一问的结论求出的长； （3）如图3，的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处，设直线的解析式为，试证明该直线必过一定点． 【例2】（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次函数的概念 1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、二次函数必须同时具备的条件 （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0. 【知识点2】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质 1、 抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点. 抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点. 2、 用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤 （1） 列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格； （2） 描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相应的点； （3） 连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸. 3、 二次函数y=ax²的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0. 【知识点3】二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象和性质 1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系 二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+k可由抛物线y=ax²沿y轴向上（下）平移个单位长度得到.当，沿y轴向上平移个单位，当时，向下平移个单位. 2、二次函数y=ax²+k的图象和性质 y=ax²+k(a≠0) a>0 k>0 a<0, k>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为k. 当x=0时，y有最大值为k. 题型目录 【题型1】二次函数的概念.......................................................3 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质............................................4 【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质.........................................7 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象平移关系................................9 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象和性质几何应用.........................13 【题型6】直通中考............................................................18 【题型7】拓展延伸............................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数的概念 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 解：（1）由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 解：由题意得，解得：， 故选：． 【变式2】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，作交边于点，若设，，则关于的函数表达式是 . 【答案】 【分析】先证明，根据线段的和差可得，，再利相似三角形的性质可得关于的函数解析式，然后根据的长即可得的取值范围。 解：， ， ∵，， ， ， ，，，， ，， 化简整理得： 故答案为：。 【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，列函数关系，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键。 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质 【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点，； (2)抛物线，上，y轴（或直线）；(3)减小，增大. 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 解：（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知、、在函数的图像上，则的大小关系是 ．（用“”号联结） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．先判断出点也在函数的图像上，再利用二次函数的增减性判断即可得． 解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴时的函数值等于时的函数值，即点也在函数的图像上， ∵二次函数的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点、、在函数的图像上，， ∴， 故答案为：． 【题型3】二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【答案】(1)5，3; (2)或2; (3)或; (4)或. 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得；（3）根据函数图象即可求得；（4）根据图象求得答案即可． 解：（1）把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系 【例4】（20-21九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）． 【答案】（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论； (2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2． (3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断． 解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变； （2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同， ∴a＝±2， ∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合， ∴c＝﹣2， 故答案为：±2，﹣2． （3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0， ∴p＜m＜n， 故答案为：p＜m＜n． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 【变式1】（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【变式2】（21-22九年级上·浙江宁波·期末）已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为 . 【答案】 【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数的图象上，进而算出m的值． 解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)， ∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)， ∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后， ∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)， ∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方， ∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上， 把(-2+m，0)代入，得 -2(-2+m)2=0， 解得m=2； 把(-2+m，-2)代入，得 -2(-2+m)2=-2， 解得m1=1，m2=3； ∴的值为1，2，3， 故答案为1，2，3． 【点拨】此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x，y)的横纵坐标满足二次函数解析式． 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象和性质几何应用 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【答案】(1); (2)是，; 【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答． （2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答． 解：（1）设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 【点拨】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ∴ 依此类推，则正方形的边长为． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例2】（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 【答案】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·湖北鄂州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，有两点，，过两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为直线与相交于点，则线段，，所以……①，我们把①式称作两点间的距离公式．请根据此公式，求出，两点之间的距离； （2）如图2，平面直角坐标系中，的三个顶点都在抛物线上，且轴，，过点作，垂足为，请直接运用第一问的结论求出的长； （3）如图3，的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处，设直线的解析式为，试证明该直线必过一定点． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据材料提示的两点之间的距离公式，把点，代入即可求解； （2）的三个顶点都在抛物线上，由对称性可设，，，根据勾股定理即可求解； （3）的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处，可知，设，，由两点间距离公式，勾股定理可得，联立、即可求解． 解∶（1）∵，， ∴； （2）∵的三个顶点都在抛物线上， 由对称性可设，，，则，， ∴  ① ，，， ∴， 化简得．② 联立①、②得，或0，又因为， ∴，即； （3）的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处， ∴， 设，， 由两点间距离公式可得，，， 又由勾股定理得， ∴，化简得  或0 ∵， ∴， 联立、得，， 的两个根分别是， 由根与系数的关系得：， ∴，， ∴直线必过点． 【点拨】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图形的性质，材料中给出的两点间距离公式的计算方法，勾股定理是解题的关键． 【例2】（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)图见解析，抛物线；(2)； (3)或 【分析】（1）按要求画出点，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，即可判定曲线的类型； （2）由勾股定理建立方程，整理后即可得x，y满足的函数关系式； （3）由的横坐标可求得的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，求出与y轴的交点坐标，则可求出的面积；设直线与直线交于点B，则可求得；而由点P的横坐标得，进而求出线段，则可求出的面积，由的面积不超过的面积的一半，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的范围． （1）解：如图所示， 则L是抛物线； （2）解：由题意轴，则， ， 而，， 由于，由勾股定理得：， 即， 整理得：； （3）解：由题意知，当时，；当时，； 即； 设过的直线解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则，即直线与y轴交点为， ； 设直线与直线交于点B，则；而， ， 故， 由题意得， 即， ∴， 解不等式得：或； 即a的取值范围为：或． 【点拨】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与不等式，勾股定理等知识，综合性强，运算量大，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$