精品解析：云南省云县第一完全中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

2024—2025学年云县第一完全中学上学期高二年级11月月考卷 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 过点作圆的切线，则的斜率为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 3. 已知，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为偶函数，且，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5. 当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（ ） A 圆，椭圆，两条直线，双曲线 B 圆，椭圆，双曲线 C 椭圆，一条射线，双曲线，圆 D. 圆，椭圆，一条直线，双曲线 6. 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点.若，则的长轴长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为8 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D. 的单调递增区间为 11. 已知直线经过，两点，为上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且为圆上一点，则（ ） A. B. 的值可以为 C. 的最小值为 D. 直线一定过坐标原点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，的最小值为_______． 13. 如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为__________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 （2）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上. （1）若平面，求证：为的中点； （2）若为中点，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. （1）若的斜率存在，求出斜率的取值范围； （2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； （3）若直线，交于点，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年云县第一完全中学上学期高二年级11月月考卷 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件可得答案. 【详解】若，则或，可得，或， 故由不一定推出； 反之，若，则，则， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 过点作圆的切线，则的斜率为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】首先说明点圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或. 故选：C. 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 4. 已知为偶函数，且，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再根据为偶函数求出，由此即可计算求解. 【详解】设，则，因为函数为偶函数， 则，可得，因为， 则. 故选：A. 5. 当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（ ） A. 圆，椭圆，两条直线，双曲线 B. 圆，椭圆，双曲线 C. 椭圆，一条射线，双曲线，圆 D. 圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据变化规律得出对应的余弦值的大小，再由圆、椭圆、双曲线等标准方程对应即可得出结论. 【详解】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线. 故选：A. 6. 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点.若，则的长轴长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】现根据椭圆离心率求出，再根据求出，联立两式可求出、，由此即可求解. 【详解】因为离心率，解得，， 由题意易得，，. 所以，，因为，所以， 将代入，解得，，即，，故的长轴长为. 故选：B. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题计算可得直线过定点，则当时，有最小，借助垂径定理计算即可得. 【详解】直线可化为：，令，，则，， 所以直线过定点，设， 由圆可得圆心，半径， 则，则当时，最小， 此时. 故选：B. 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据直二面角可得，利用勾股定理求出即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C；利用向量法求线线夹角即可判断D. 【详解】对于选项A：设的中点为，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角， 故，即， 可知，则， 所以是等边三角形，故B正确； 对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点与平面的距离，故C错误； 又因为， 且与所成的角取值范围为， 可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：1．利用空间向量求空间角的一般步骤 （1）建立恰当的空间直角坐标系． （2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标． （3）结合公式进行论证、计算． （4）转化为几何结论． 2．利用空间向量求点到平面距离的方法 如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为8 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出，再逐项计算判断即得. 【详解】依题意，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，的虚部为8，C正确； 对于D，在复平面内对应的点位于第一象限，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D. 的单调递增区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设知周期，得的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A、B，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，所以，，故A错误，B正确； 对于C，，的图象向左平移个单位长度后得到 函数的图象，故C正确； 对于D，由，可得， 所以的单调递增区间为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知直线经过，两点，为上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且为圆上一点，则（ ） A. B. 的值可以为 C. 的最小值为 D. 直线一定过坐标原点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两点间距离公式即可判断A，由向量数量积的定义即可得到，即可得到，再结合点到直线的距离公式可得，代入计算，即可判断B，由条件可得代入计算，即可判断C，求得以线段为直径的圆的方程然后与圆方程相减作差，即可判断D. 【详解】 圆可化为， 其圆心，半径， 直线，即， 对于A，，则，因此，A正确； 对于B，点到直线的距离，则， 若，即，解得， 则，，，矛盾，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，设点，以线段为直径的圆， 即，与圆的方程相减得直线，此直线恒过原点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】因为，则， 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. 故答案为：. 13. 如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，再利用数量积运算性质即可得出. 【详解】因为，即， 所以， 又因为平行六面体各条棱长均为， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【详解】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 （2）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图性质可得，根据中位数的定义计算即可； （2）根据古典概型公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据频率分布直方图性质可得：， 所以， 因为共五组，前三组的频率和， 前四组的频率和，所以中位数位于第四组. 设中位数为，则， 根据中位数的定义，可得， 所以； 【小问2详解】 因为第四组与第五组的频率之比为， 故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，；第五组抽取人数为人，记为，， 从人中选出人，共有，，，，，，，，，，，，，，共有种， 其中选出的人来自同一区间的有种，，，，，，，； 则选出的人中来自同一组的概率为． 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，整理成三角方程，根据角的范围即可求角； （2）由余弦定理代值整理求得的值，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理可得，， 因，故得，即， 因，故； 【小问2详解】 由余弦定理，，代值整理可得，， 又，代入解得，， 于是，的面积为. 17. 已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上. （1）若平面，求证：为的中点； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质可得，即可得结果； （2）方法一：建立适当空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可得；方法二：作出相应辅助线，可得即为直线与平面所成角，进而可得线面夹角得余弦值， 【小问1详解】 连接，因为平面平面， 平面平面，所以， 又因为是的中点，所以是中点； 【小问2详解】 方法一：因为底面，如图建立坐标系， 则，可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， ， 设直线与平面所成角为， 则，又，则， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 方法二：过点作交于，连接， 因为底面底面，则， 且平面，则平面， 由平面，可得，且， 平面，所以平面， 可知即为直线与平面所成角， 在中，，则，所以， 又，，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设、，根据平面向量的坐标运算得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程； （2）设，则，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出为定值. 【小问1详解】 根据题意，、， 设、，则，， 由于，所以， 则，得，故， 又为圆上，所以，化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 设，则， 直线方程是，代入，得，即， 不等于0时，直线方程是，代入，得，即 时，即，所以， 所以 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. （1）若的斜率存在，求出斜率的取值范围； （2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； （3）若直线，交于点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是， （3） 【解析】 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，再利用的单调性可得答案. 【小问1详解】 由的渐近线方程为可得， 易知直线的斜率不为0，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线得，， 则 解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； 【小问2详解】 依题意，，，由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ； 【小问3详解】 由（2）可知，， 设直线与直线的方程分别为，， 联立两直线方程可得交点的横坐标为1， 故 . 当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法：（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $