精品解析：上海市松江一中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

松江一中2024学年度第一学期期中考试卷 高一数学 命题教师 王瑾 韩秀平 审核人 王瑾 2024.11 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 1. 已知集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解. 【详解】集合，，则． 故答案为：. 2. 若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，直接利用基本不等式求出其最小值． 【详解】因为，则，当且仅当 时，等号成立， 故答案为： 3. 已知幂函数的图象过点，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，根据题意，幂函数的图象过点，代入计算即可求解. 【详解】设函数，又因为幂函数的图象过点， 所以，解得：，所以函数， 故答案为：. 4. 若代数式有意义，则其中实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数符号中，真数大于0，即可得到结果． 【详解】若代数式有意义，则需满足， 即，∴或， 则x的取值范围是． 故答案为：． 5. 函数（且）恒过定点_____________. 【答案】 【解析】 【分析】令指数，即即可得解. 【详解】当时，，所以函数（且）恒过定点. 故答案为：. 6. 已知，则_________．（用的代数式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算即可得． 【详解】由，，则． 故答案为：． 7. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意讨论：时显然满足题意；时，结合二次函数图象求解即可. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 8. 设，方程的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集. 【详解】依题意， 当时，方程化为，恒成立. 当时，方程化为，不符合. 当时，方程化为. 当时，方程化为，恒成立. 方程的解集为. 故答案为： 9. 已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】根据充分、必要条件分析可知：是的真子集，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意可知：是的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】当时，因，为减函数，故； 当时，因，为减函数，故. 依题意，该函数存在最小值，需使，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫的上确界，若且，则的上确界为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知和基本不等式可以求出的取值范围，然后根据题中所给的信息，可以求出的上确界. 【详解】因，，所以有，由基本不等式可知：，所以， 由题中所给的信息，可以确定的上确界为,故答案为. 【点睛】本题考查了基本不等式求代数式的取值范围，读懂题意是解题的关键. 12. 对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________. ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解. 【详解】因为，所以 ， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，则或，或， 若，取，则； 若，取，则； 若，取，则； 若有一个为负数，则或， 若，则取，则； 若，则取，则； 故①正确； 对于任意，存在，使得 取，存在使得，所以， 不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在使得， 同②得中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确. 故答案：①②③. 【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 若,则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ ∴设 代入可知均不正确 对于，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D 14. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的关系，及有理数指数幂的运算性质化简各式即可判断正误. 【详解】对于A，，所以，错误； 对于B，因为，所以，则，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误． 故选：C． 15. 在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（ ）倍． A. 10 B. 100 C. 1.2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【详解】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积． 【详解】根据定义有或， ，则，这是一个边长为1的正方形，面积为1， 同理，，也都形成一个边长为1的正方形，面积都是1， 所以 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，再利用集合的基本运算求解； （2）先求出集合，，由可得，进而列出不等式组，求出的取值范围即可. 【小问1详解】 若，则， 由可得，即， 解得，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 集合， 由可得， 则，解得， 即实数取值范围为. 18. 已知幂函数在上为严格减函数. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义先求出，在根据幂函数性质检验的值是否满足题意； （2）根据幂函数性质求解即可. 【小问1详解】 因为函数是幂函数， 所以，得或， 因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得 设函数， 因为函数在上严格单调递减， 所以或或，得或. 所以实数的取值范围是. 19. 《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本（元）与每月分类处理量（吨）之间的函数关系式可近似表示为，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益. （1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 【答案】（1）200吨；（2）. 【解析】 【分析】（1）先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量的函数关系，再结合重要不等式求最值即可，再运算取等的条件； （2）先列出每月获利元与分类处理量的函数关系，再求解即可得解. 【详解】解：（1）由题意可知，每吨垃圾分类处理平均成本为月处理成本除以月处理量， 即， 又 ，当且仅当，即时取等号， 故时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）设该小区每月获利为元，则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本， ， 令，解得，又， 即， 故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在. 【点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法，重点考查了阅读理解能力，属中档题. 20. 已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，使得结论成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集； （2）利用换元法，可化为在上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解； （3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立． 【小问1详解】 由已知得， 即，因为是增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意令，因为，所以， 所以不等式在上恒成立， 可化为在上恒成立， 分离参数得，因为，当且仅当时取等号， 则要使原式恒成立，只需即可，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 首先要使函数在上有意义，需，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或4，由②得，故无解，舍去； 由④得或，由③得，故无解，舍去； 综上可知，不存在a使结论成立． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 21. 对于函数，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点 （1）判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由； （2）若函数在上恒有两个不同的次不动点，求实数的取值范围； （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 【答案】（1）是，2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列方程，进而求得的不动点为2； （2）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围； （3）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围. 小问1详解】 假设为不动点函数，则 当时，，方程无解，舍去； 当时，，解之得，符合题意， 则是“不动点”函数，2是的一个不动点. 【小问2详解】 由题意知在上恒有两个解 即在上恒有两个解 则，解之得 则实数的取值范围是 【小问3详解】 由题意可知在上，且唯一 ①函数在上仅有一个不动点时， 令，在上是单调增函数 ，即 ②函数在上仅有一个次不动点时， 在上是单调增函数 令，即 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江一中2024学年度第一学期期中考试卷 高一数学 命题教师 王瑾 韩秀平 审核人 王瑾 2024.11 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 1. 已知集合，，则_________． 2. 若，则的最小值为______． 3. 已知幂函数图象过点，则_________. 4. 若代数式有意义，则其中实数的取值范围是_________． 5. 函数（且）恒过定点_____________. 6. 已知，则_________．（用的代数式子表示） 7. 已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是______． 8. 设，方程的解集为__________. 9. 已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______； 10. 已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数取值范围是________ 11. 对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫的上确界，若且，则的上确界为___________. 12. 对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是___________. ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 若,则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. 14. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（ ）倍． A. 10 B. 100 C. 1.2 D. 12 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A 1 B. C. 4 D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知幂函数在上为严格减函数. （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 19. 《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本（元）与每月分类处理量（吨）之间的函数关系式可近似表示为，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益. （1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低； （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 20. 已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 对于函数，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点 （1）判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由； （2）若函数在上恒有两个不同次不动点，求实数的取值范围； （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$