专题27.5 相似三角形的判定（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.5 相似三角形的判定（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相似三角形 【要点说明】 (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即对应的点写在应对的位置上 (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【知识点二】相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 【要点说明】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【要点说明】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【知识点三】相似三角形的常见图形及其变换： 【题型目录】 【题型1】利用“两角对应相等，两三角形相似”证明两三角形相似.................2 【题型2】利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”进行证明.............3 【题型3】利用“三边对应成比例，两三角形相似”进行证明.......................4 【题型4】选择或补充条件使两个三角形相似.....................................4 【题型5】综合三种判定方法证明三角形相似.....................................6 【题型6】直通中考...........................................................7 【题型7】拓展延伸...........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用“两角对应相等，两三角形相似”证明两三角形相似 【例1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． 求证：． 【变式1】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    【变式2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型2】利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”进行证明 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【变式2】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型3】利用“三边对应成比例，两三角形相似”进行证明 【例3】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，，，，求证：．    【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 【题型4】选择或补充条件使两个三角形相似 【例4】（24-25九年级上·广西·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 【变式4】 （2024·云南昆明·一模）如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    【题型5】综合判定三角形相似 【例5】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，过点B作x轴的垂线，垂足为A，过点B作y轴的垂线，垂足为C．点D从点O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；点E从点O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度的速度运动；点F从点B出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动．当点E运动到点A时，其余三点随之停止运动，设运动时间为t秒．   (1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标； (2)若与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【例2】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，在中，为上一点，且满足．   （1）求证：； （2）当时，，，求的长． 【例2】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．   （1）证明：； （2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.5 相似三角形的判定（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相似三角形 【要点说明】 (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即对应的点写在应对的位置上 (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【知识点二】相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 【要点说明】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【要点说明】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【知识点三】相似三角形的常见图形及其变换： 【题型目录】 【题型1】利用“两角对应相等，两三角形相似”证明两三角形相似.................2 【题型2】利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”进行证明.............5 【题型3】利用“三边对应成比例，两三角形相似”进行证明.......................7 【题型4】选择或补充条件使两个三角形相似.....................................8 【题型5】综合三种判定方法证明三角形相似....................................11 【题型6】直通中考..........................................................15 【题型7】拓展延伸..........................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用“两角对应相等，两三角形相似”证明两三角形相似 【例1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． 求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，余角性质，由四边形为平行四边形得到，，得到，，由得到，又由得到，进而可得到，即可得到，进而得到，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由，得到，求出，根据相似三角形的判定得到结论即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 【题型2】利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”进行证明 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 证明： ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2). 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 【题型3】利用“三边对应成比例，两三角形相似”进行证明 【例3】（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在中，，，，求证：．    【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明． 解：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到结论． 证明：，，，，，， ，，， ， ． 【题型4】选择或补充条件使两个三角形相似 【例4】（24-25九年级上·广西·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可． 解：∵， ∴,即， ∴A，B，D都可判定， 选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似． 故选：C． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断A、B选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断C选项，从而解题． 解：A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、， ， ， ，不符合题意； D、，， 无法证明，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：． 【变式4】 （2024·云南昆明·一模）如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似． 解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5】综合判定三角形相似 【例5】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意，，，根据等腰直角三角形的性质知，所以，即可求得答案； （2）对和两种情况分别列方程求解，即得答案． 解：（1）由题意，，， 若为等腰直角三角形，则， ， 解得， 当为何值时，为等腰直角三角形； （2）分两种情况讨论： 在矩形中， ①若时，， ， 解得； ②若时，， ， 解得； 所以当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，过点B作x轴的垂线，垂足为A，过点B作y轴的垂线，垂足为C．点D从点O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；点E从点O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度的速度运动；点F从点B出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动．当点E运动到点A时，其余三点随之停止运动，设运动时间为t秒．   (1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标； (2)若与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，运用相似三角形的性质来解决问题.易错之处是这两种情况都要考虑到． （1）根据题意，根据四边形是矩形，可得，从而可求得，即得E、F的坐标； （2）只需分两种情况①当时，②当时，来讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决． 解：（1）∵轴，轴，， ∴， 根据题意，得，其中， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∵， ∴ ∵轴， ∴ ∵与以点A，E，F为顶点的三角形相似， ∴或， ①当时，， ∴， 解得(不符合题意，舍去)，， ②当时，， ∴，解得 (不符合题意，舍去)， (不符合题意，舍去)， 故当与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 解：（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 【例2】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，在中，为上一点，且满足．   （1）求证：； （2）当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得，再结合可得，然后结合运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）先根据直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质、等量代换可得，即是的角平分线、，进而说明，最后根据角平分线的判定定理即可解答． （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：作 于 H．    ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ∴，即是的角平分线， ∴， ∵ ∴, ∵是的角平分线，，， ∴． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、30度所对的直角边等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． 【例2】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．   （1）证明：； （2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析；(2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． （1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$