精品解析：湖北省部分重点高中2024-2025学年高一上学期11月联考数学试卷

2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高一11月期中联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 无法确定 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足，当时，，当时， （ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 狄里克雷是解析数论的创始人之一，年他提出“狄里克雷函数”，下列叙述正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 11. 已知函数，其中，则下面说法正确的有（ ） A. 存在，使得为偶函数 B. 存在，使得为奇函数 C. 若时，函数的最小值 D. 若时，函数的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则函数的定义域为__________． 13. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，若，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知，，关于的方程的两根均大于． （1）若为真命题，求实数的取值范围 （2）若和中一个为真命题一个为假命题，求实数的取值范围． 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 18. 已知函数，其中 （1）用定义证明：函数，在上单调递增 （2）若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 （3）已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 19. 已知，其中 （1）若函数为偶函数，求的值 （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围 （3）若函数的最小值为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高一11月期中联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，后由交集定义可得答案. 【详解】集合， ， ． 故选：D 2. 已知，是实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式性质可得是的必要条件，通过举特例可得不是的充分条件，即可得答案. 【详解】  ，，，即是的必要条件 由于，当，，不是的充分条件. 故是的必要不充分条件， 故选：B． 3. 已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，，研究函数的符号及性质，利用排除法可得结果. 【详解】当时，函数； 当时，函数， 将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数的图象， 排除AB； 当时，函数， 则函数在单调递增，排除D. 故选：C． 5. 已知函数满足，当时，，当时， （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设时，代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可. 【详解】当时，， 又． 故选:C． 6. 若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求分段函数的两段均递增，且端点处的左侧函数值不大于右侧函数值． 【详解】因为函数在上为增函数，所以，解得. 故选：D． 7. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 8. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由作差法结合题意可判断各选项正误； 【详解】由，， 对于，由，所以 A正确； 对于B，由，所以B错误； 对于C，由，因为的符号不确定，则与的大小无法确定，所以C错误； 对于中，因为，又，所以，故，即，所以D正确． 故选： AD 10. 狄里克雷是解析数论的创始人之一，年他提出“狄里克雷函数”，下列叙述正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A. 分x是有理数和无理数讨论求解判断. 对于B. 分是有理数和是无理数讨论求解判断；对于C， 取，为有理数，计算可判断；对于D，取，计算可判断. 【详解】对于A、当是有理数时，， 当是无理数时，，， 故D，故A正确； 对于B、当是有理数时，也是有理数，； 当是无理数时，也是无理数，， 故对任意实数，都有，即是偶函数，故B正确； 对于C、取，为有理数，则，，显然C错误； 对于D、取，，则，，显然D错误． 故选：AB. 11. 已知函数，其中，则下面说法正确的有（ ） A. 存在，使得为偶函数 B. 存在，使得为奇函数 C. 若时，函数的最小值 D. 若时，函数的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分 析】取及偶函数定义可判断A；取及奇函数定义可判断B；通过绝对值定义去掉绝对值符号，结合分段函数图像得到最小值，可判断C，D. 【详解】解：对于A，当时，，定义域为， 且， 故是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，定义域为， 且, 故是奇函数，故B正确； 对于C，当时，， 作出图象： 结合图象知时，最小值为，故C错误； 对于D，若时，， 作出图象： 结合图象知时，最小值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数非负，列出不等式求得的定义域，进而可求的定义域. 【详解】要使函数，有意义，必须，解得， 函数的定义域为； 由函数，令，解得， 函数的定义域是． 故答案为：. 13. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的特征分析，从而求解出，然后根据基本不等式解得的最小值. 【详解】解：因为 的定义域为  ， 易知和在  递增， 所以  在  为增函数，且 ， 因为  ， 所以  ，即，且， 所以， 当且仅当   ，即时，等号成立，则的最小值是, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入求出，解不等式化简，再利用补集、交集、并集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 当时，， 或，， 所以，. 【小问2详解】 由，得， 当，即时，，满足，则； 当时，，由，得或， 解，得无解；解，得，则， 所以实数m的取值范围是. 16. 已知，，关于的方程的两根均大于． （1）若为真命题，求实数的取值范围 （2）若和中一个为真命题一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况让命题为真列不等式组求解； （2）分真假，假真两种情况分别求解即可得出参数范围. 【小问1详解】 因为，， ， 当，即时，满足题意； 当时，则有，解得， 综上，实数的取值范围； 【小问2详解】 两根均大于 若真假， 若假真， 综上得：或 17. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】（1）， （2）7万元 【解析】 【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． 【小问2详解】 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 18. 已知函数，其中 （1）用定义证明：函数，在上单调递增 （2）若函数的图象不经过第四象限，求的取值范围 （3）已知，当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） ，，且， ， ，， 故， 即， 在上单调增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义可证明； （2）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； （3）作出示意图，数形结合可求得的取值范围； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：只要即可， 的取值范围为； 【小问3详解】 当时， 要使函数的图象与的图象有且只有一个交点， 也就是方程有一个解，如图可知， 只要， 即， 的取值范围为 19. 已知，其中 （1）若函数为偶函数，求的值 （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围 （3）若函数的最小值为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数为偶函数根据定义列方程计算即可； （2）分三种情况讨论函数在区间上单调性即可求参； （3）令，把函数最值转化为即可解题. 【小问1详解】 为偶函数，即，，； 【小问2详解】  时，对称轴，在上单调递增，符合题意；  时，只需即可，；  时，时，而不满足题意． 综上的取值范围 【小问3详解】 ， 令， ，， 函数，当时，，只要即可， ，综上的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点为令，则，可以把函数最小值为转化为计算即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $