专题06 一元一次方程易错必刷题型专训（72题24个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题06 一元一次方程易错必刷题型专训（72题21个考点） 【易错必刷一 判断各式是否是方程】（共3小题） 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是理解方程的定义． 依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数），逐个判断即可． 【分析】解：A、不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意； B、是方程，故此选项符合题意； C、不是等式，故此选项不符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【易错必刷二 列方程】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式和列方程，正确理解题意列出对应的式子或方程是解题的关键． 【详解】解：A、a与5的和的3倍可以列式为，不能得到方程，不符合题意； B、甲数的3倍与乙数的2倍的和可以列式为（a、b分别代表甲、乙），不能得到方程，不符合题意； C、a与b的差的可以列式为，不能得到方程，不符合题意； D、一个数的5倍是18可以列式为（m代表这个数），能得到方程，符合题意； 故选：D． 2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）列式表示：比大5的数等于的2倍与的差 ． 【答案】 【分析】比大5的数为，的2倍与的差为，即可得出答案． 【详解】比大5的数等于的2倍与的差表示为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了列方程，弄清题意，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来是解题的关键． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，列代数式； （1）长方体盒子底面的宽为，则长为；容积=长×宽×高； （2）令(1)代数式表示出的容积=15即可． 【详解】（1）长方体盒子底面的宽为，则长为． 容积为； （2）根据题意，得 【易错必刷三 方程的解】（共3小题） 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若是关于x的方程的解，则a的值等于（    ） A．20 B．15 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．把代入解关于a的方程解题即可． 【详解】解:把代入方程得：， 解得：， 故选D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，将代入可得到，再整体代入，即可得出答案．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ， ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是根据方程的解的定义； （1）使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解，把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解，即可解答． （2）把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解，即可解答 【详解】（1）解：当时，左边，左边右边，故不是方程的解， 当时，左边，左边右边，故是方程的解； （2）当时，左边，左边右边，故是方程的解， 当时，左边，左边右边，故不是方程的解． 【易错必刷四 一元一次方程的定义】（共3小题） 1．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解此题的关键． 根据一元一次方程未知数的次数为列方程，解方程可求出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ， 解得：， 故答案为： 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知方程是关于的一元一次方程.求、的值． 【答案】； 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程叫做一元一次方程，根据一元一次方程的定义即可得出，，求解即可，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，， 解得， ， 解得． 【易错必刷五 等式的性质】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题是关于等式变形的题目，需要熟练掌握等式的性质． 根据等式的性质可知，等式两边所乘的（或除以的）数或式子不能为0．利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案． 【详解】解：若， 则， ∴， 解得或， ∴不正确； 若， 则， ∴正确； 若， 则， ∴正确； 若， 则， ∴正确． 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】由，只有当时，等式的两边才能同时除以a得出，故①错误； 由的两边都减去3，得出，故②正确； 的两边都乘a得，故③正确； 由可得，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的． (1)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (2)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (3)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ． 【答案】(1)8，等式的基本性质1，都加5 (2)－4，等式的基本性质2，都除以 (3)7，等式的基本性质1，都减 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1即可解答； （2）根据等式的基本性质2即可解答； （3）根据等式的基本性质1即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质1， 在等式两边都加5； 故答案为：8，等式的基本性质1，都加5； （2）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质2， 在等式两边都除以； 故答案为：－4，等式的基本性质2，都除以； （3）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质1， 在等式两边都减． 故答案为：7，等式的基本性质1，都减． 【易错必刷六 一元一次方程的解法】（共12小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活求解是关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （3）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以5，得． （2） 解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． （3） 解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． （1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可； （2）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解：， 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． （2）解：， 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以4，得． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等． （1）通过合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值； （2）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， ， ． 4．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）解方程或比例． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，比例的基本性质， 对于（1）先移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； 对于（2），先整理，再合并同类项，然后系数化为1，求解即可； 对于（3），先根据比例的基本性质变形，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）， 整理，得， 合并同类项，得， 将系数化为1，得； （3）， 由比例的基本性质，得， 即， 将系数化为1，得． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能熟记解一元一次方程的基本步骤是解此题的关键． 先将分母化为整数，再去分母，去括号，移项合并，系数化为1 即可． 【详解】解：， 原方程可变为：， 即， 移项合并同类项得：． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握等式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）运用去分母，去括号，合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解； （2）运用去分母，去括号，合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以，得； （2）解： 去分母、去括号，得， 移项、合并同类项，得 方程的两边都除以，得． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． 先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可； 【详解】解：， 原方程可化为， 去分母，得， 去括号得， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把系数化为1，即可求出解． （2）先移项，将最简公分母较小，易于通分的整式放在一起，再通分计算，即得答案． 【详解】（1）解：方程整理得：，即， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． （2）解：移项得， 通分得， ， ， 解得． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】解： 原方程可变为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 10、（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程：去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解： ， ， ， ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 先把方程中分子分母的小数根据分数的基本性质转化为整数，然后先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为，从而得到方程的解． 【详解】解：， 方程可化为，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握移项、合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解； （3）根据移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以，得； （2）解： 移项，得 合并同类项，得； （3）解： 移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以，得． 【易错必刷七 一元一次方程解法的拓展】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”． 例知：的解为， 且所以方程是“乘解方程”， 请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“乘解方程”，求a的值． 【答案】(1)不是“乘解方程”，理由见解析 (2)a的值为 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可； （2）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】（1）不是“乘解方程”， ， 解得：， ∴方程不是“乘解方程”； （2）由解得：． ∵关于x的一元一次方程是“乘解方程” ∴， 解得：， ∴a的值为． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“完美方程”．根据上面的规定解答下列问题： (1)判断方程是否为“完美方程”并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“完美方程”，求m的值． 【答案】(1)不是为“完美方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法及新定义方程解法，理解新定义及掌握一元一次方程解法是解题的关键． （1）根据“完美方程”定义判断即可得到答案； （2）求出含参数的方程的解，再由“完美方程”求出方程的解，两个列等式即可得到答案． 【详解】（1）解：不是为“完美方程”，理由为： 解方程得， ∵， ∴方程不是为“完美方程”； （2）解：∵一元一次方程是“完美方程”， ∴， 解得：． 【易错必刷八 行程问题】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）A，B两地相距55千米，甲于上午6时从A地步行出发，下午5时到达B地，乙于上午10时从A地骑自行车出发，下午3时到达B地，则乙是在什么时间追上甲的？ 【答案】下午1点20分 【分析】考查了一元一次方程的应用，根据题意知道：甲每小时走这段路程的，乙每小时走这段路程的，并且甲比乙早出发4小时，可以设乙x小时追上甲，那么根据乙x小时走的路程和甲路程相等即可列出方程，解此方程即可． 【详解】解：设乙x小时追上甲， 依题意，得， ∴， 小时小时分， ∴下午1点20分追上甲的． 答：乙是在下午1点20分追上甲的． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）太原南站与吕梁站相距173千米，某天一列快车从吕梁站出发开往太原南站，行驶33千米后，一列动车从太原南站出发开往吕梁站，动车出发0.5小时后与快车相遇，若动车每小时行驶的路程比快车每小时行驶的路程的1.5倍少20千米，则动车的速度是多少？ 【答案】动车的速度是160千米/小时． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用．根据路程=速度×时间，可以得到相应的方程，从而可以求得动车平均每小时行驶多少千米． 【详解】解：设快车每小时行驶x千米，则动车每小时行驶千米．根据题意，得 ， 解得， 则动车的速度是（千米/小时）． 答：动车的速度是160千米/小时． 3．（2024七年级下·四川成都·专题练习）（环形问题）小林和小军沿着公园的环湖跑道跑步，跑道一圈的长度是．他们两人同时从同一地点反方向跑步，如图所示．小林每分跑，小军每分跑，多长时间后两人相遇？ 【答案】15分钟后两人相遇 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设经过x分钟两人相遇，根据（小林的速度小军的速度）相遇时间环湖跑道的总路程，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设经过x分钟两人相遇，根据题意得： 解得：， 答：15分钟后两人相遇． 【易错必刷九 配套问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板， 由题意，得， 解得， （人）． 答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个，底面个 (2)能做21个盒子 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减的应用，正确的找出题中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）方法剪个侧面，方法剪个侧面和个底面， ，， 共有侧面个，底面个； （2）根据已知条件可得， 解得， ， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子． 3．（23-24七年级上·广东珠海·期末）某车间每天能制作甲种零件500个，或者制作乙种零件250个，一个甲种零件和两个乙种零件配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，问： (1)甲、乙两种零件各需制作多少天？ (2)最多可以制作出多少成套产品？ 【答案】(1)甲零件需制作6天，乙零件需制作24天； (2)最多可以配出3000套产品． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲零件需制作天，则乙零件需制作天，利用一个甲种零件和两个乙种零件配成一套产品，再建立方程求解即可； （2）结合（1）的结论列式计算即可． 【详解】（1）解：设甲零件需制作天，则乙零件需制作天，由题意得 解得 答：甲零件需制作6天，则乙零件需制作24天． （2）（套） 答：最多可以配出3000套产品． 【易错必刷十 工程问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 【答案】1.5小时 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，根据工作效率×工资时间=工作总量列方程求解即可． 【详解】解：设两位同学应该合作x小时， 根据题意，得， 解得， 答：两位同学应该合作1.5小时． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现计划有一部分人先做，再增加2人和他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作? 【答案】具体应先安排2人工作． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设具体应先安排人工作， ， 解得，， 答：具体应先安排2人工作． 【易错必刷十一 销售盈亏问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了2055元，其中每支毛笔比钢笔贵4元，求每支钢笔和每支毛笔的单价各为多少元？ 【答案】钢笔的单价为25元，毛笔的单价为29元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为元，根据“购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了2055元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出钢笔的单价，再将其代入中，即可求出毛笔的单价． 【详解】解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：钢笔的单价为25元，毛笔的单价为29元． 2．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 3．（2024·河南周口·模拟预测）“黄河三尺鲤，本在孟津居．”这里所产鲤鱼尾巴浅红、肚皮鲜白，肉质细嫩，味道鲜美，无泥腥味，营养丰富，滋补健身，为宴席佳肴．孟津黄河鲤鱼是河南省洛阳市孟津县的特产．唐朝大诗人李白曾赋诗：“黄河三尺鲤，本在孟津居，点额不成龙，归来伴凡鱼．”某水产超市欲购进甲、乙两种鲤鱼共100箱，两种鲤鱼的相关信息如下表： 黄河鲤鱼 甲 乙 进价/（元/箱） 60 75 售价/（元/箱） 80 100 (1)若该水产超市购进这两种鲤鱼（共100箱），用去6825元，问甲、乙两种鲤鱼各购进多少箱？ (2)在每个品牌水产品销售利润不变的情况下，若该超市销售这批水产品的总利润不少于2300元，则至少需购进乙种鲤鱼多少箱？ 【答案】(1)甲种鲤鱼45箱，乙种鲤鱼55箱 (2)60箱 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找到题中的相等关系和不等关系列出方程和不等式是解题的关键． （1）设购进甲种鲤鱼x箱，则购进乙种鲤鱼箱，根据用去6825元列方程即可求解； （2）设购进乙种鲤鱼y箱，则购进甲种鲤鱼箱，根据销售这批水产品的总利润不少于2300元列不等式求解即可； 【详解】（1）解：设购进甲种鲤鱼x箱，则购进乙种鲤鱼箱， 由题意得， 解得， ∴ ∴该水产超市购进甲种鲤鱼45箱，乙种鲤鱼55箱． （2）解：设购进乙种鲤鱼y箱，则购进甲种鲤鱼箱． 由题意得， 解得， ∴至少需购进乙种鲤鱼60箱． 【易错必刷十二 比赛积分】（共3小题） 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 【答案】该队负了1场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队平了x场，则负了场．再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设该队平了x场，则负了场． 由题意得 解得 则 答：该队负了1场． 2．（23-24六年级上·山东淄博·期末）某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 (1)参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由： (2)参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 【答案】(1)不可能，详见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5分、答错一道扣1分成为解答本题的关键． （1）由参赛者A可得答对1题得5分，设答错1题扣x分，，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据共作答20道，可补全参赛者B、D；设参赛者C答对y题，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）不可能， ∵参赛者A答对20题答错0题得100分， ∴答对1题得5分， 设答错1题扣x分， 由参赛者B的得分可得，． 解得， ∴答错1题扣1分 ∴参赛者E说他错了10个题，不可能得50分； （2）∵共有20题，参赛者B答错2题， ∴答对18题， ∵参赛者D答对10题， ∴答错10题， 设参赛者C答对y题， 由题意得，， 解得． 故参赛者C答对14题． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 【答案】该班级胜负场数分别是场和场； 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键，设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为41分，再建立方程求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：该班级胜负场数分别是场和场； 【易错必刷十三 方案选择】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）某商场销售一种夹克和衬衣，夹克每件定价元，衬衣每件定价元，商场在开展促销活动期间，向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一件夹克送一件衬衣； 方案二：夹克和衬衣均按定价的付款． 现有顾客要到该商场购买夹克件，衬衣件． (1)用含的代数式表示按方案一购买的费用元和按方案二购买的费用元； (2)购买衬衣多少件时，两种方案付款一样多？ 【答案】(1)， (2)件 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，正确地列代数式，并根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据两种优惠方案分别列式并化简即可； （2）当时，即两种方案付款一样多，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得； ， 即，； （2）解：令， 则， 解得：， 答：购买衬衣件时，两种方案付款一样多． 2．（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【答案】(1)元，元 (2)年 (3)折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意计算出两种冰箱一年的用电费用即可； （2）设使用x年时，两种冰箱用去的总费用相同，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设需要打y折才能使购买两种冰箱的总费用一样，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：型冰箱：元， 型冰箱：元； （2）解：设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：使用年时，两种冰箱用去的总费用相同； （3）解：设需要打折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 根据题意得：， 解得：， 答：需要打折． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）“元旦”假期，某学校的3位老师带领a名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． (1)这3位老师和a名学生选择甲旅行社所需费用为_________元，选择乙旅行社所需费用为_________元；（用含a的式子表示） (2)若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ (3)若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 【答案】(1)甲旅行社的总费用元，乙旅行社的总费用为元 (2)选择甲旅行社更划算 (3)位老师带了名学生 【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出代数式和方程． （1）分别根据甲、乙旅行社的收费标准列代数式即可； （2）分别将代入（1）中的代数式进行计算即可得到答案； （3）当时，两家旅行社付的钱是一样的，解方程即可． 【详解】（1）解：∵甲旅行社的收费标准为老师全价，学生七折优惠， ∴这位老师和名学生在甲旅行社的总费用为元； ∵乙旅行社不分老师和学生一律八折优惠， ∴这位老师和名学生在乙旅行社的总费用为元； （2）当时， 甲旅行社的费用为：元， 乙旅行社的费用为：元 ， 故选择甲旅行社更划算； （3）解：当时，两家旅行社付的钱是一样的， 解方程得， ∴这位老师带了名学生． 【易错必刷十四 几何问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·四川达州·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求得，，，故可列式，计算求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵结合图形可得，，， ∴，，， ∴“优美矩形”的周长为， 又∵“优美矩形”的周长为， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如图，一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米和30平方米．另一个长方形的面积是 平方米． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，推导出上面两个长方形面积的比等于下面两个长方形面积的比是解题的关键． 设另一个长方形的面积是x平方米，由上面两个长方形的宽相等，下面两个长方形的宽也相等，推导出上面两个长方形面积的比等于下面两个长方形面积的比，则，然后解方程即可解答． 【详解】解：设另一个长方形的面积是x平方米， ∵上面两个长方形的宽相等，下面两个长方形的宽也相等， ∴上面两个长方形面积的比等于它们的长的比，下面两个长方形面积的比也等于它们的长的比， ∴上面两个长方形面积的比等于下面两个长方形面积的比， ∴，解得， ∴另一个长方形的面积是24平方米． 故答案为：24． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． (1)第______次按键后，点M正好到达原点； (2)第6次按键后，求m比n大多少？ (3)在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值； (4)试判断点M与点N的距离能否为2024个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 【答案】(1)3； (2)m比n大18； (3)或； (4)不能；理由见解析． 【分析】本题考查了数轴上的平移，解方程，有理数的加减混合运算，有理数的加减乘法混合运算，熟练掌握规律，解方程和运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得点A到原点的距离为6为单位长度，即可求解； （2）求出点m，n的值，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点M在原点的右侧时，当点M在原点的左侧时，即可求解； （4）假设第x次按键后，点M与点N的距离能否为2024个单位长度，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示的点A． ∴点A到原点的距离为6为单位长度， ∵， 即第3次按键后，点M正好到达原点； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：， ， 即第6次按键后，m比n大18； （3）解：当点M在原点的右侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 当点M在原点的左侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 综上所述，n的值为或； （4）解：点M与点N的距离不能为2024个单位长度，理由如下： 假设第x次按键后，点M与点N的距离能否为2024个单位长度，则 ， 解得：不是整数，不符合题意， 所以点M与点N的距离不能为2024个单位长度． 【易错必刷十五 和差倍分问题】（共3小题） 1．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）甲、乙、丙三人按如下步骤玩交换硬币的游戏： 第一步：设每个人都发x枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）； 第二步：甲拿出2枚硬币给丙； 第三步：乙拿出1枚硬币给丙； 第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲． 此时，甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则不正确的是（    ） A．甲最后的硬币数比丙的多4个 B．乙最后的硬币数可表示为 C．丙最后的硬币数与无关 D．甲最后的硬币数最多 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出四步后的一元一次方程即可．可设每个人都发x枚硬币，根据题目要求用含x的代数式分别表示出每步之后甲、乙、丙手中硬币的数量，再根据甲的硬币数是丙的硬币数的2倍列出方程计算即可得解． 【详解】解：设每个人都发x枚硬币，由题意知，第一步中，甲有x枚硬币、乙有x枚硬币，丙有x枚硬币， 第二、三步后，甲有枚硬币，乙有枚硬币，丙有枚硬币， 第四步后，甲有枚硬币，丙的硬币有（枚）， 依题意有， 解得， 此时，甲有10枚硬币，丙有5枚硬币，乙有（枚）． A、甲最后的硬币数比丙的多个，故错误，符合题意； B、乙最后的硬币数可表示为，故正确，不符合题意； C、丙最后的硬币数为5枚，与无关，故正确，不符合题意； D、甲最后的硬币数最多，为10枚，故正确，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，已知爸爸的年龄是小明的4倍，妈妈的年龄比爸爸小2岁，那么小明今年 岁． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设出小明今年的年龄，即可表示出爸爸和妈妈今年的年龄，然后根据小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设小明今年的年龄是岁，则爸爸今年的年龄是岁，妈妈今年的年龄是岁， 由题意可得：， 解得， 即小明今年9岁， 故答案为：9． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有525名同学，分为三组进行活动，第一组的是第二组的，第二组的是第三组的．问三个组各有多少人？ 【答案】第一组：120人，第二组：180人；第三组：225人． 【考点】本题主要考查了比的应用和一元一次方程等知识点，设第一组有人，则第二组有人；第三组人数，然后列出方程，解方程即可得解，设出未知数，用未知数表示出各组的人数是解题关键． 【详解】依题意设第一组有人，则第二组有人；第三组人数； ∵三组人共525人， ∴， 解方程得，， ∴（人），（人），（人）， ∴第一组有120人，则第二组有180人；第三组人数225人． 【易错必刷十六 电费和水费问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）为鼓励市民节约用水，某地自来水公司推出如下收费标准：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2元：若每户每月用水超过5立方米，则超过部分每立方米收费2.5元，已知小明家这个月的水费为15元，则小明家这个月的用水量是（    ） A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小明家每月用水x吨，由，可得，从而列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小明家每月用水x吨， ∵， ∴， ∴， 解得:， 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某城市按以下规定收取水费，用水量如果不超过6吨，按每吨元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨元收费，而超过的部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份的水费为平均每吨元，那么该用户5月份应交水费 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 水费平均为每吨元大于元，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解，求出所用吨数，再乘以平均价格，即可求出5月份应交水费． 【详解】解：设该用户5月份用水吨， 则， 整理得：， ， 解得：， 元， 答：该用户5月份应交水费元． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)60 (2)12.5 (3)该户居民4月份用水，5月份用水 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题有理数四则运算的实际应用，注意分类讨论思想的运用． （1）根据总价单价数量，再由分段计费的方式求出即可； （2）先判断3月份用水在哪个阶段，再根据总价单价数量，列出方程求解即可； （3）设月份水量为，则月份为，根据题意列方程求解即可，注意考虑的取值范围． 【详解】（1）解：， 2月份应交水费为：（元）． （2）解：（元），（元），， 该户居民3月份用水， ，整理得：， 解得：， 答：的值为； （3）解：设月份水量为，则月份为， 由题意， 当时， 则， 解得：（舍去）， 当， ， 解得：， 则， 答：月份用水，月份用水． 【易错必刷十七 比例分配】（共3小题） 1．（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 2．（23-24六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 3．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 【易错必刷十八 日历问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用（日历问题），由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，故圈出的最小数为x，则圈出的最大数为；接下来根据圈出的9个数中最大数与最小数的和为42可列方程，求解即可得到圈出最小数；此时再根据圈出的9个数中，每一行相邻两数相差1，每一列相邻两数相差7即可写出这9个数，再求和即可． 【详解】解：设圈出的最小数为x，则圈出的最大数为， 由题意得，， 解得， 故圈出的最小的三个数为13，14，15， 下面一行的数分别比上面三个数大7，故为20，21，22， 第三行的数分别比上一行三个数大7，故为27，28，29， 圈出的这9个数的和为：． 故选D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 【答案】23 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得： 解得：； 故答案为：23． 3．（23-24七年级下·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)9,2001 (2) (3)506 (4)四数的和不能为308． 【分析】本题考查了列代数式的应用，并考查了学生的阅读理解及总结规律的能力，是一道综合性的题目． （1）当，S取最小值，当时，S取得最大值； （2）根据图中关系，可知，即可求解； （3）由（2）题可知，求m的值即可； （4）同（3）理解得m的值，注意m不能为四个边上的任一数． 【详解】（1）解：由图中关系可得：当，S取最小值，； 当时，S取得最大值，． （2）因为每排为7个数，m与上列正对的数表示为，所以可得与上列正对数相邻数的表示方法为；同理m与下列正对的数差为，即可得与下列正对数相邻数的表示方法． ∴ （3）由（2）题可知： ∴，解得 （4）由（2）题可知： ∴，解得 ∵m为7的倍数时在最右列，故不符合要求，所以四数的和不能为308． 【易错必刷十九 古代问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．设醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗酒”，即可列出相应的方程． 【详解】解：设醑酒斗，则清酒斗， 由题意可得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设合伙人数为x,根据“若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱”， 即可得出关于x的一元一次方程求解可得合伙人数，再将其代入计算即可求出羊价． 【详解】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 【易错必刷二十 一元一次方程的含参问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程． 把代入方程，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得． 故选：B 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）已知是方程解，则 ． 【答案】 【分析】把解代入方程，求得a值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程解， ∴, 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若代数式的值比的值大3，求a的值， 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得： 解得：． 【易错必刷二十一 一元一次方程的新定义问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如 ． (1)在上述运算法则下， ． (2)在上述运算法则下，若，则 ． (3)在上述运算法则下，若不论取何值时，等式总成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算； （1）先根据已知条件中的新定义，把*写成有理数混合运算的算式，按照有理数混合运算法则进行计算即可． （2）根据运算定义列出一元一次方程并求解． （3）先根据新定义，求出*再根据不论取何值时，等式*总成立，得到，然后分解因式，列出关于的方程，求出即可． 【详解】解：（1）*， * ， 故答案为：． （2）解：由题意得，， 解得， 故答案为：． （3）解：*， * ， 不论取何值时，等式*总成立， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次方程易错必刷题型专训（72题21个考点） 【易错必刷一 判断各式是否是方程】（共3小题） 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【易错必刷二 列方程】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）列式表示：比大5的数等于的2倍与的差 ． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【易错必刷三 方程的解】（共3小题）1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若是关于x的方程的解，则a的值等于（    ） A．20 B．15 C．4 D．3 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 【易错必刷四 一元一次方程的定义】（共3小题） 1．（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知方程是关于的一元一次方程.求、的值． 【易错必刷五 等式的性质】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的． (1)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (2)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (3)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ． 【易错必刷六 一元一次方程的解法】（共12小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）解方程或比例． (1)； (2)； (3)． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： 6．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 10、（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷七 一元一次方程解法的拓展】（共3小题） 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”． 例知：的解为， 且所以方程是“乘解方程”， 请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“乘解方程”，求a的值． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“完美方程”．根据上面的规定解答下列问题： (1)判断方程是否为“完美方程”并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“完美方程”，求m的值． 【易错必刷八 行程问题】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）A，B两地相距55千米，甲于上午6时从A地步行出发，下午5时到达B地，乙于上午10时从A地骑自行车出发，下午3时到达B地，则乙是在什么时间追上甲的？ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）太原南站与吕梁站相距173千米，某天一列快车从吕梁站出发开往太原南站，行驶33千米后，一列动车从太原南站出发开往吕梁站，动车出发0.5小时后与快车相遇，若动车每小时行驶的路程比快车每小时行驶的路程的1.5倍少20千米，则动车的速度是多少？ 3．（2024七年级下·四川成都·专题练习）（环形问题）小林和小军沿着公园的环湖跑道跑步，跑道一圈的长度是．他们两人同时从同一地点反方向跑步，如图所示．小林每分跑，小军每分跑，多长时间后两人相遇？ 【易错必刷九 配套问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 3．（23-24七年级上·广东珠海·期末）某车间每天能制作甲种零件500个，或者制作乙种零件250个，一个甲种零件和两个乙种零件配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，问： (1)甲、乙两种零件各需制作多少天？ (2)最多可以制作出多少成套产品？ 【易错必刷十 工程问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现计划有一部分人先做，再增加2人和他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作? 【易错必刷十一 销售盈亏问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了2055元，其中每支毛笔比钢笔贵4元，求每支钢笔和每支毛笔的单价各为多少元？ 2．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 3．（2024·河南周口·模拟预测）“黄河三尺鲤，本在孟津居．”这里所产鲤鱼尾巴浅红、肚皮鲜白，肉质细嫩，味道鲜美，无泥腥味，营养丰富，滋补健身，为宴席佳肴．孟津黄河鲤鱼是河南省洛阳市孟津县的特产．唐朝大诗人李白曾赋诗：“黄河三尺鲤，本在孟津居，点额不成龙，归来伴凡鱼．”某水产超市欲购进甲、乙两种鲤鱼共100箱，两种鲤鱼的相关信息如下表： 黄河鲤鱼 甲 乙 进价/（元/箱） 60 75 售价/（元/箱） 80 100 (1)若该水产超市购进这两种鲤鱼（共100箱），用去6825元，问甲、乙两种鲤鱼各购进多少箱？ (2)在每个品牌水产品销售利润不变的情况下，若该超市销售这批水产品的总利润不少于2300元，则至少需购进乙种鲤鱼多少箱？ 【易错必刷十二 比赛积分】（共3小题） 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 2．（23-24六年级上·山东淄博·期末）某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 (1)参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由： (2)参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 【易错必刷十三 方案选择】（共3小题） 1．（2024七年级上·全国·专题练习）某商场销售一种夹克和衬衣，夹克每件定价元，衬衣每件定价元，商场在开展促销活动期间，向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一件夹克送一件衬衣； 方案二：夹克和衬衣均按定价的付款． 现有顾客要到该商场购买夹克件，衬衣件． (1)用含的代数式表示按方案一购买的费用元和按方案二购买的费用元； (2)购买衬衣多少件时，两种方案付款一样多？ 2．（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）“元旦”假期，某学校的3位老师带领a名学生去冰雪大世界游玩，有两家旅行社可供选择，定价都是每人300元．其中甲旅行社的优惠方案是老师全价，学生七折优惠，乙旅行社的优惠方案是不分老师和学生一律八折优惠． (1)这3位老师和a名学生选择甲旅行社所需费用为_________元，选择乙旅行社所需费用为_________元；（用含a的式子表示） (2)若这3位老师带领10名学生去游玩，他们选择哪家旅行社比较划算？ (3)若他们选择甲、乙两家旅行社所付的费用一样，求这3位老师共带了几名学生去游玩？ 【易错必刷十四 几何问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·四川达州·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如图，一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米和30平方米．另一个长方形的面积是 平方米． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． (1)第______次按键后，点M正好到达原点； (2)第6次按键后，求m比n大多少？ (3)在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值； (4)试判断点M与点N的距离能否为2024个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 【易错必刷十五 和差倍分问题】（共3小题） 1．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）甲、乙、丙三人按如下步骤玩交换硬币的游戏： 第一步：设每个人都发x枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）； 第二步：甲拿出2枚硬币给丙； 第三步：乙拿出1枚硬币给丙； 第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲． 此时，甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则不正确的是（    ） A．甲最后的硬币数比丙的多4个 B．乙最后的硬币数可表示为 C．丙最后的硬币数与无关 D．甲最后的硬币数最多 2．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，已知爸爸的年龄是小明的4倍，妈妈的年龄比爸爸小2岁，那么小明今年 岁． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）有525名同学，分为三组进行活动，第一组的是第二组的，第二组的是第三组的．问三个组各有多少人？ 【易错必刷十六 电费和水费问题】（共3小题） 1．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）为鼓励市民节约用水，某地自来水公司推出如下收费标准：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2元：若每户每月用水超过5立方米，则超过部分每立方米收费2.5元，已知小明家这个月的水费为15元，则小明家这个月的用水量是（    ） A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某城市按以下规定收取水费，用水量如果不超过6吨，按每吨元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨元收费，而超过的部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份的水费为平均每吨元，那么该用户5月份应交水费 元． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【易错必刷十七 比例分配】（共3小题） 1．（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 2．（23-24六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 3．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【易错必刷十八 日历问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 3．（23-24七年级下·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【易错必刷十九 古代问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【易错必刷二十 一元一次方程的含参问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）已知是方程解，则 ． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若代数式的值比的值大3，求a的值， 【易错必刷二十一 一元一次方程的新定义问题】（共3小题） 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如 ． (1)在上述运算法则下， ． (2)在上述运算法则下，若，则 ． (3)在上述运算法则下，若不论取何值时，等式总成立，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$