精品解析：云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二年级期中考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用集合的交、并、补运算即可. 【详解】对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 故选：D． 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可. 【详解】∵，开口向右， ∴，∴准线方程为． 故选：B． 3. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）. A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点的位置进行分类讨论，结合双曲线渐近线方程和实轴长的定义进行求解即可. 【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：； 当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：. 综上所述，双曲线的方程为或. 故选：D 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用指数函数单调性比较与，运用介值法界定的大小即可. 【详解】由，，知，， 又，，函数单调递增，所以，即， 故． 故选：C． 5. 设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项． 【详解】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是. 故选：B 6. 在中，，已知点，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用正弦定理及椭圆定义可得动点的轨迹，运用数形结合即可求得结果. 【详解】由已知，，则6， 因为，则由正弦定理可知， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为12的椭圆，不含左、右顶点， 所以当且仅当点是椭圆的上、下顶点时，点到直线的距离最大为， 当时，点到直线的距离最大为， 所以． 故选：D． 7. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C D. 两两相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC：先求，，结合古典概型分析判断；对于D：根据独立事件改了乘法公式可知事件A与不相互独立. 【详解】由题意得，事件A的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为， 对于选项：事件与共有样本点2，3，所以不互斥，故A错误； 对于选项B：事件样本点，所以，故B错误； 对于选项D：因为，， 且事件样本点，则， 可得，所以事件A与不相互独立，故D错误； 对于选项C：因为事件样本点，可得， 所以，故C正确. 故选：C. 8. 如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由双曲线，可得，则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 C. 如果，那么是纯虚数 D. 若复数满足，则在复平面对应的点是 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用复数幂周期性可判断A项，运用复数的模的几何意义可判断B项 ，运用复数分类可判断C项，运用复数运算及几何意义可判断D项. 【详解】对于A选项，由虚数单位的定义，，则，故A项正确； 对于B选项，设在复平面内的点为，由，即，点在以为圆心，1为半径的圆上，故B项正确； 对于C选项，若，那么是实数，故C项错误； 对于D选项，，所以在复平面对应的点是，故D项正确． 故选：ABD． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则（ ） A. 双曲线的焦距为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的离心率为 D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出的值，可判断A选项；利用双曲线的定义可得出，，然后解，可求出的值，可得出的值，进一步可得出的值，可判断BC选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，双曲线的焦距为，故A正确； 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 由对称性可知，（为原点）， 又因为， 所以在中，，得， 所以，，故虚轴长为，离心率，故B错误，C正确； 因为，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与夹角是 D. 与AC所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用向量法求解判断；B选项，由判断；C选项，利用向量夹角公式判断；D选项，利用向量夹角公式判断. 【详解】因为以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， 则，所以A正确； ，则， 故，所以B正确； 显然为等边三角形，则. 因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角也是，所以C不正确； 因为， 所以 ， 所以，所以D不正确. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的值，即可求得的值，进而可得出结果. 【详解】设，易知， 结合，可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，所以的短轴长为． 故答案为：. 13. 已知函数，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】换元法令，，求出的解析式，进而解方程即可. 【详解】令，，则，， 故，得． 故答案为：1． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得两两互相垂直，且，，从而可求得，，，利用余弦定理建立关于的方程即可求解. 【详解】 由题意，，所以，， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，且面， 所以平面，又平面，所以， 所以， ， 因为， 所以由余弦定理有， 即， 所以，即， 所以或，又离心率， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线与曲线相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，列出方程化简即可； （2）通过斜率存在与不存在两类情况讨论即可. 【小问1详解】 设，由，得， 整理得，即曲线方程为． 【小问2详解】 因为，所以点在圆外， 当直线斜率不存在时，与圆不相切， 当直线斜率存在时，设直线为， 则圆心到直线的距离， 整理得，当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为． 16. 已知抛物线的焦点为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）为定值. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． 【小问2详解】 由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 17. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，再结合即可证明； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 连接，在中，因为分别为，的中点，所以， 因为直三棱柱中，为侧棱，所以平面， 因为平面，所以，又为直角，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以. 【小问2详解】 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因此，， 设平面的法向量为，则， 令，则，于是， 设直线与平面所成角为， 所以. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出即可得解. （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设，接着与曲线E联立方程结合韦达定理求得和，由得，与韦达定理结合即可求出，进而即可得直线的斜率. 【小问1详解】 将代入，得， 所以，所以， 所以由题得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设，，， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 19. 如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， （1）若轴，求的面积； （2）若，求点的坐标； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，直接求出，即可求解； （2）设，直线的方程为，联立椭圆方程，求出，结合条件得到，即可求出，从而求解； （3）直接求出的纵坐标，从而得到，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，， 则，，，所以，， 当时，由，得，所以， 所以的面积为． 【小问2详解】 设，，则直线的方程为， 由，消可得，整理得， 所以，得， 所以， 因为，所以，可得， 所以，解得，代入，得出， 所以点的坐标为. 【小问3详解】 设，由（2）得，则直线的方程为， 由，消得到， 所以，得， 得到， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期中考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，，则下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）. A. B. 或 C. D. 或 4. 设，，，则（ ） A. B. C D. 5. 设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，已知点，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则（ ） A B. C. D. 7. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 两两相互独立 8. 如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于复数，下列说法正确是（ ） A. B. 若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 C. 如果，那么是纯虚数 D. 若复数满足，则在复平面对应的点是 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则（ ） A. 双曲线的焦距为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的离心率为 D. 的面积为 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与AC所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为______． 13. 已知函数，若，则________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线与曲线相切，求直线的方程． 16. 已知抛物线焦点为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 17. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 19. 如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， （1）若轴，求的面积； （2）若，求点的坐标； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $