精品解析：江苏省淮安市浦东实验中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

淮安市浦东实验中学2024—2025学年第一学期 八年级期中考试—数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是无理数的为（ ） A. B. C. D. 3. 用一根小木棒与两根长分别为、的小木棒组成直角三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 估计的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 25的平方根是_____． 10. 比较大小：______（填或）． 11. 将精确到千位_____．（用科学记数法表示） 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 13. 在实数范围内分解因式：＝______． 14. 淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要_____米． 15. 如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为______． 16. 如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. （1）如图1，利用网格线作图：在线段上找一点Q，使； （2）如图2，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．在边上寻找一点N，使得． 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）求和的度数． 22. 如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE． 23. 如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 24. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 25. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 26. 如图1，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动． （1）请在的网格纸图2中画出运动时间t为3秒时的线段，其长度为________； （2）在动点P、Q运动的过程中，若是以或为底的等腰三角形，则t的值为________； 27. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为、、，求的度数．思路：由于、、不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处，易得________，线段的长度为________，是________三角形，从而可以求出________；（本题先把图补充完整，再填写结果） （2）请你利用第（1）题的方法，解答下面问题：已知如图2，中，，，、为边上的点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市浦东实验中学2024—2025学年第一学期 八年级期中考试—数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形找到对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，本选项正确； B．不是轴对称图形，本选项错误； C．不是轴对称图形，本选项错误； D．不是轴对称图形，本选项错误； 故选：A． 2. 下列是无理数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根等知识点，熟练掌握无理数的定义和常见类型是解题的关键：无理数是指无限不循环小数，常遇到的无理数有三类：一是开方开不尽的数，二是无限不循环小数，三是含的数． 按照无理数的定义和常见类型逐项判断即可． 【详解】解：，， ，，都是有理数，是无理数， 故选：． 3. 用一根小木棒与两根长分别为、的小木棒组成直角三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，∴、、的小木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴、、的小木棒能组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，∴、、的小木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴、、的小木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握一个三角形两较小边平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形是解题的关键． 4. 如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质等几何知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质定理可得，据此即可求出的周长． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故选：C． 5. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分腰长为和两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，此时周长为； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，此时，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 6. 估计的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】利用解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了估算无理数，利用夹逼法进行无理数的估算是解题的关键． 7. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质．根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：根据折叠的性质有：，即， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用勾股定理得出的长，再利用得出点位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ， 故， 则点表示的数是：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是正确应用勾股定理求解． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 10. 比较大小：______（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11. 将精确到千位_____．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，求一个数的近似数等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此确定的值以及的值即可．将其用科学记数法表示后，再将其近似到所要求的分位即可． 【详解】解：将数用科学记数法表示为， 将精确到千位， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 13. 在实数范围内分解因式：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，得． 【详解】解：根据平方差公式，得 故答案为：． 【点睛】此题考核知识点：平方差公式，解题的关键在于将式子化为形式． 14. 淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键． 根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形， 则矩形的长为：（米）， 地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 15. 如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为______． 【答案】169 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，正方形的面积为，正方形的面积为，两正方形的面积和为，对于，由勾股定理得，代入即可得出答案． 【详解】解：由题意得，正方形面积为，正方形的面积为，两正方形的面积和为，在中， ∴， 故答案为：169． 16. 如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，此时即为边上的高，然后根据即可求出的长，即的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，即为边上的高， ， 即：， ， 即：的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求算术平方根、负整数指数幂和零指数幂，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可； （2）按照二次根式的混合运算法则进行计算即可—先计算乘除，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根，解题的关键是： （1）先把系数化为1后，然后根据平方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解∶ 【小问2详解】 解∶ 19. （1）如图1，利用网格线作图：在线段上找一点Q，使； （2）如图2，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．在边上寻找一点N，使得． 【答案】 （1）如图所示，点即为所求， （2）如图所示，点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图与尺规作图，垂直平分线的性质； （1）找到的格点，则垂直平分，交于点，则点即为所求； （2）作的垂直平分线交于点，点即为所求； 【详解】（1）略 （2）连接， ∵在的垂直平分线上， ∴ ∴ 20. 如图，，，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）所作图形如图， 【解析】 【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立； （2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键． 21. 如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）求和的度数． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）的度数为，的度数为 【解析】 【分析】（1）由角平分线，可得，由平行线，三角形外角的性质可得，，即，进而结论得证； （2）由题意知，，则，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为，的度数为． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE． 【答案】 证明：如图， 连接GE、GD， ∵△ABC中，BD、CE是高， ∴△BEC和△BDC是直角三角形， ∵G是BC的中点， ∴GE=GD=BC， ∴△GED是等腰三角形， ∵F是DE的中点， ∴GF⊥DE． 【解析】 【分析】连接EG、FG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG＝EG＝BC，再根据等腰三角形三线合一的证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 23. 如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积． 【详解】解：是边上的中线 是直角三角形且 过A作，垂足为E， 如图：， 24. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． （1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】（1） 解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 25. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 【答案】秋千支柱AD的高为3m. 【解析】 【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB＝(x－0.5)m，根据右图得AE＝(x－1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可． 【详解】解：设AD＝xm，则由题意可得 AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m， 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， 即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2， 解得x＝3． 即秋千支柱AD的高为3m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，若在一个直角三角形中，已知一条边，而其他两边具有一定的数量关系，则可利用勾股定理列方程求出其他两边． 26. 如图1，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动． （1）请在的网格纸图2中画出运动时间t为3秒时的线段，其长度为________； （2）在动点P、Q运动的过程中，若是以或为底的等腰三角形，则t的值为________； 【答案】（1） 由图中可知的位置如图1， （2）或 【解析】 【分析】（1）因为已知的速度，根据时间即可求出各自运动路程，从而画出； （2）①当时，；②当时，；分别列出方程求出后根据取舍即可得． 【小问1详解】 解：∵点的运动速度为每秒1个单位和运动时间为3秒， 则由已知条件可得， ； 【小问2详解】 解：作于点，由题意知、， 则、， ∵， ∴，则， 即， ∵， ∴当，即以为底时，， 则， 解得：； 当，即以为底时，， 解得：； 综上，当或时，能成为以或为底的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理及等腰三角形的判定． 27. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为、、，求的度数．思路：由于、、不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处，易得________，线段的长度为________，是________三角形，从而可以求出________；（本题先把图补充完整，再填写结果） （2）请你利用第（1）题的方法，解答下面问题：已知如图2，中，，，、为边上的点，且，求证：． 【答案】（1）150，3，直角，150 （2） 证明：将绕A旋转到 旋转 ， ， ， 又 即 在和中 又 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答． （2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示， 解：， 、、， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ． 故答案为：150，3，直角，150； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $