专题14 线段、角的模型专题突破-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版新教材）

专题14 线段、角的模型专题突破 1.已知点P是AB的中点，则; 2.双中点和型：已知C是线段AB上任意一点，点、分别是线段AC、BC的中点，则； 3.双中点差型：已知C是线段AB延长线上任意一点，点、分别是线段AC、BC的中点，则。 题型一 线段中点模型 例1．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案； （2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （4）由（1）（2）（3）总结出结论即可. 【解析】解：（1） ，分别是的中点， （2） ，分别是的中点， （3） ，分别是的中点， （4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【1-1】下列说法正确的是（    ） A．到线段两个端点距离相等的点叫作线段的中点 B．线段的中点到线段两个端点的距离相等 C．线段的中点可以有两个 D．线段的中点有若干个 【答案】B 【解析】A．线段上到线段两个端点距离相等的点叫作线段的中点，原说法错误，不符合题意； B．线段的中点到线段两个端点的距离相等，正确，符合题意； C．线段的中点只有一个，原说法错误，不符合题意； D．线段的中点只有一个，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【1-2】如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（   ） A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有 C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定 【答案】B 【解析】解：∵M，N分别是线段，的中点， ∴，， ∴，即不论点C在什么位置都有； 故选：B ． 【1-3】如图，C、D两点将线段分成三部分，E为线段的中点，，求线段和的长． 【答案】， 【解析】解：设， ∵， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∵为线段的中点， ∴ ， ． 【1-4】追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【解析】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 题型二 线段n等分点模型 例2．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【解析】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 【2-1】已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 【2-2】已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【解析】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【2-3】如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 【答案】 【解析】解：， ， 而是线段的中点， ， 又， ， ， ， 故线段的长为cm． 【2-4】如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）解：由图可得，线段共有条， 故答案为：； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 角平分线与n等分的有关计算 例3．如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，“优线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“优线”的定义． （1）根据“优线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“优线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“优线”定义得到方程求解即可； 【解析】（1）解：当是的角平分线时， ， 故的角平分线是这个角的“优线”， 同理：或时，为的“优线”． 故一个角共有3条“优线”． （2）解：射线为的“优线”， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为，， （3）解：旋转的时间后，，，， 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 综上所述，为24秒或30秒或秒时，射线是的优线． 【3-1】如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 【3-2】如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【3-3】如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【解析】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 【3-4】如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【解析】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 一、单选题 1．如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：因为D为的中点，， 所以． 因为， 所以． 如图①，当点E在点A右侧时． 因为，所以， 所以； 如图②，当点E在点A左侧时 因为， 所以． 综上所述，的长为或； 故选D． 2．如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 3．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 4．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【解析】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故选：D． 5．如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 故选：D． 6．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【解析】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 二、填空题 7．已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段 ． 【答案】或3 【解析】解：当点C在线段上时，如图1，    ∵， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴； 当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， 即或3． 故答案为：或3 8．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8或16 【解析】解：当点C在点B的左边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴； 当点C在点B的右边时，如图所示． ∵分别为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为8或16， 故答案为：8或16． 9．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【解析】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 10．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 11．如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 ． 【答案】60° 【解析】解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD， 设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x， ∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝x＋x＋x＋2x＋3x＋2x＝10x＝200°， ∴x＝20°， ∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3x＝60°， 故答案为：60°． 12．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 【答案】或 【解析】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB， ∴，． 设， 分类讨论：①当点C在AO之间时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； ②当点C在OB之间时，如图， 由图可知，，． ∴此时不成立； ③当点C在点B右侧时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； 综上可知OC的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 13．如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)4(2) 【解析】（1）解：∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴． 14．如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 15．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1)(2)(3)或 【解析】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 16．如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)平分，理由见解析． 【解析】（1） 解：，平分， ， ； （2）解：，， ， ； （3）平分； 理由：，， ， 又 ， 平分． 17．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴． 18．【问题探究】 (1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______； 【方法迁移】 (2)已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______． 【学以致用】 (3)小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义） 【答案】(1)(2)(3)该班共有学生人 【解析】（1）解：∵点M，N分别是的中点，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵点M，N分别是的中点，， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：如图，点B在线段上，，． 表示未参加延时服务的女生，表示参加延时服务的女生，表示全班男生，表示参加延时服务的男生， ∴表示全班参加延时服务的总人数， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴该班共有学生人． 19．已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【解析】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 20．【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）t值为s或9s 【解析】解：（1）， ， ∴是的三等分线， 故答案为：是； （2）， ， ， ； （3）当与第二次重合时，从转向，此时，， ，， ∴当后， 当时，此时，向转动，此时，， 当时， ， ∴， 当时， ， ． 综上，t值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 线段、角的模型专题突破 1.已知点P是AB的中点，则; 2.双中点和型：已知C是线段AB上任意一点，点、分别是线段AC、BC的中点，则； 3.双中点差型：已知C是线段AB延长线上任意一点，点、分别是线段AC、BC的中点，则。 题型一 线段中点模型 例1．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案； （2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （4）由（1）（2）（3）总结出结论即可. 【解析】解：（1） ，分别是的中点， （2） ，分别是的中点， （3） ，分别是的中点， （4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【1-1】下列说法正确的是（    ） A．到线段两个端点距离相等的点叫作线段的中点 B．线段的中点到线段两个端点的距离相等 C．线段的中点可以有两个 D．线段的中点有若干个 【1-2】如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），M，N分别是线段，的中点，下列判断正确的是（   ） A．点C越靠近线段的中点，线段越长 B．不论点C在什么位置都有 C．点C越靠近两个端点，线段越短 D．线段的长度无法确定 【1-3】如图，C、D两点将线段分成三部分，E为线段的中点，，求线段和的长． 【1-4】追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 题型二 线段n等分点模型 例2．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【解析】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 【2-1】已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【2-2】已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【2-3】如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 【2-4】如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 题型三 角平分线与n等分的有关计算 例3．如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，“优线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“优线”的定义． （1）根据“优线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“优线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“优线”定义得到方程求解即可； 【解析】（1）解：当是的角平分线时， ， 故的角平分线是这个角的“优线”， 同理：或时，为的“优线”． 故一个角共有3条“优线”． （2）解：射线为的“优线”， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为，， （3）解：旋转的时间后，，，， 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 综上所述，为24秒或30秒或秒时，射线是的优线． 【3-1】如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【3-2】如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【3-3】如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【3-4】如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 一、单选题 1．如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 4．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 5．如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 二、填空题 7．已知，点C在直线上，，点M是线段的中点，则线段 ． 8．已知点都在同一条直线上，分别为的中点．若，则的长为 ． 9．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 10．如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 11．如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 ． 12．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 三、解答题 13．如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 14．如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 15．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 16．如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 17．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 18．【问题探究】 (1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______； 【方法迁移】 (2)已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______． 【学以致用】 (3)小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义） 19．已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 20．【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$