4.4 一次函数的应用 一次函数与图形面积的四种常见考题2024-2025学年北师大版数学八年级上册

一次函数与图形面积的四种常见考题 类型一：由一次函数图像求面积 1．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点. 求： （1）图象与x轴的交点坐标； （2）图象与两坐标轴围成的三角形面积. 2．已知一次函数． (1)求直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标； (2)求直线与坐标轴围成的三角形面积． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点为A（m，2）． (1)求此一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积． 4．如图，直线与x轴､y轴分别交于点E，F．点E的坐标为，点是这条直线上的一个动点，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是第二象限内的这条直线上的一个动点．当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； (3)若的面积为，求所有符合条件的P点坐标． 类型二：由面积求一次函数表达式或点坐标 1．因为一次函数y=kx+b与y=-kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y=kx+b与y=-kx+b（k≠0）互为“镜子”函数． （1）请直接写出函数y=3x-2的“镜子”函数： ； （2）如果一对“镜子”函数y=kx+b与y=-kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式． 2．已知，直线：与直线平行，并与y轴交于点A，与x轴交于点B如图所示． (1)求直线的表达式； (2)请直接写出：A点坐标（______），B点坐标（______）； (3)在直线上，是否存在点P使得的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求点C和点D的坐标； (2)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 类型三：一次函数中的与平移有关的面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，已知直线l： (1)将直线l向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值； (2)在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长交于点E，求的面积． 类型四：一次函数中与面积有关的存在性问题 1．已知函数回答下列问题： (1)画出函数的图象；当_________时，． (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，求出的面积． (3)直线上是否存在一点（与不重合），使的面积等于8？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次函数与图形面积的四种常见考题（答案） 类型一： 1．（1）（-2，0）.（2）2. 【详解】试题分析：（1）利用待定系数法求得一次函数的解析式，然后令y=0，解关于x的方程即可求得图象与x轴的交点坐标； （2）根据直线与坐标轴的交点坐标求得围成的直角三角形的两直角边，然后根据直角三角形的面积公式求得即可. 试题解析：（1）因为一次函数图象经过（0，2），（1，3）两点， 则将这两点坐标代入函数可得：解得b=2，k=1. 所以一次函数为y=x+2. 函数与X轴的交点坐标为当y=0时，x的值.即x+2=0，x=-2.Z,X,X,K] 所以它与x轴的交点坐标为（-2，0）. （2）因为一次函数y=x+2与坐标轴的交点是（-2，0），（0，2）， 图象与两坐标轴围成的三角形面积为×2×2=2. 考点：1.待定系数法求一次函数解析式；2.一次函数图象上点的坐标特征. 2．(1) (2)4 【分析】（1）分别求出当时y的值，当时x的值即可得到答案； （2）求出，再求出即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为4．    【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求直线与坐标轴围成的图形面积，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．(1)y=2x-2； (2)△AOB的面积为2 【分析】（1）先把A（m，2）代入正比例函数解析式可计算出m=2，然后把A（2，2）代入y=kx-k计算出k的值，即可得到一次函数解析式； （2）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：把A（m，2）代入y=x得m=2， 则点A的坐标为（2，2）， 把A（2，2）代入y=kx-k得2k-k=2， 解得k=2， 所以一次函数的表达式为y=2x-2； （2）解：把x=0代入y=2x-2得y=-2，则B点坐标为（0，-2）， 所以S△AOB=×2×2=2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 4．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数解析式，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）将代入，得，计算求解即可； （2）由（1）得：直线的解析式为，则，根据，计算求解即可； （3）当时，则，解得，，进而可P点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得，， ∴， ∴P点的坐标为． 类型二 1．（1）y=-3x-2；（2）y=-x+4与y=x+4 【分析】（1）直接利用“镜子”函数的定义得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出AO=BO=CO，进而得出各点坐标，即可得出函数解析式． 【详解】（1）根据题意可得：函数y=3x-2的“镜子”函数：y=-3x-2； 故答案为y=-3x-2； （2）∵△ABC是等腰直角三角形，AO⊥BC， ∴AO=BO=CO， ∴设AO=BO=CO=x，根据题意可得：x×2x=16， 解得：x=4， 则B（-4，0），C（4，0），A（0，4）， 将B，A分别代入y=kx+b得： ， 解得：， 故其函数解析式为：y=x+4， 故其“镜子”函数为：y=-x+4． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质，得出各点坐标是解题关键． 2．(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，求一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）根据两平行直线解析式中的一次项系数相同即可得到答案； （2）分别求出自变量和函数值为0的函数值和自变量的值即可得到答案； （3）根据三角形面积计算公式可得，据此求出P的横坐标，进而求出P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：在中，当时，；当时，， ∴； 故答案为：；； （3）解：∵， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，；当时，； ∴点P的坐标为或． 3．(1)， (2)存在，P点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． （1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出和，再根据勾股定理即可求出的长，设，则,再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标； （2）求出的值，再根据，即可求出的值，从而即得出P点坐标． 【详解】（1）令得：， ∴． ∴， 令得：， 解得：， ∴． ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，，即， 解得：， ∴． 故，； （2）存在，理由如下： ∵， ∴． ∵点P在y轴上，， ∴，即， 解得：， ∴P点的坐标为或． 4．(1)； (2) (3)2或6 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，代值求解即可得到答案； （3）根据点C的横坐标求出纵坐标，得到和面积，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，，，则． （2）解：当时，，则， ∴． （3）解：∵点C的横坐标为m， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或2． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 类型三 1．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形的面积，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． （1）根据直线平移的规律，可设平移后的直线解析式为，把点代入，求出，得到平移后的直线解析式为，进而求出； （2）先求出点的横坐标为，再把代入，那么点的坐标为，，根据三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）设平移后的直线解析式为， 过点， ， ， 平移后的直线解析式为， ； （2）如图所示． ∵ 正方形的边长为2，且点 A 的坐标为， ∴． 把 代入 得 则． 的面积． 类型四 1．(1)图象见解析， (2)4 (3)存在，点C的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标并画出函数图象是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，描点、连线，即可画出一次函数的图象，观察函数图象，即可得出当时，； （2）由点A，B的坐标可得出，的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积； （3）设点的纵坐标为a，根据题意可得：，得出，再分别求出C点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． 由图象可知：当时，． 故答案为：； （2）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， 的面积为； （3）存在点，使的面积等于8，理由如下： 设点的纵坐标为a， 根据题意可得：， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 所以点C的坐标为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$